웨첼의 문제

수학에서 Wetzel의 문제는 각각의 논거에 대해 몇 가지 뚜렷한 값을 갖는 일련의 분석함수의 카디널리티에 대한 한계에 관한 것이다.그것은 일리노이 대학교의 수학자인 Urbana-Champaign의 이름을 따서 지어졌다.^[1][2]

F는 도메인의 각 x에 대해 F map x의 함수를 카운트 가능한 값 집합으로 하는 속성과 함께 주어진 도메인에서 구별되는 분석 함수의 집합이 되도록 한다.Wetzel은 그의 박사학위 논문에서 이러한 가정이 F 그 자체가 반드시 셀 수 있는 것이라는 것을 의미하는지 물었다.^[3]폴 에르디스는 차례로 이 문제에 대해 리 알버트 루벨을 통해 미시간 대학에서 배웠다.^[1]Erdős는 이 문제에 관한 논문에서 익명의 수학자가 각 x가 유한한 값 집합에 매핑될 때 F는 반드시 유한하다는 관찰을 했다고 인정했다.^[4]

그러나, Erdss가 보여주었듯이, 계산할 수 있는 세트에 대한 상황은 더 복잡하다: Wetzel의 질문에 대한 답은 연속체 가설이 거짓일 경우에만 그렇다.^[4]즉, 각 x를 카운트 가능한 값 집합에 매핑하는 헤아릴 수 없는 함수 집합의 존재는 카디널리티가 모든 실수 집합의 카디널리티보다 작은, 셀 수 없는 실수 집합의 존재하지 않는 것과 동등하다.이 동등성의 한 방향은 다른 UIUC 수학자인 로버트 댄 딕슨에 의해 독립적으로 증명되었지만 발표되지는 않았다.^[1]1963년 폴 코헨에 의해 증명된 연속체 가설의 독립으로부터,^[5] 웨첼의 문제에 대한 해답은 ZFC 세트 이론과 무관하다는 것이 그 뒤를 잇는다.^[1]Erdős의 증거는 너무 짧고 우아해서 THE BOOK의 교정본 중 하나로 간주된다.^[2]

연속체 가설이 거짓인 경우, Erdős는 각 복잡한 숫자들이 연속체보다 작은 이미지 세트를 가질 정도로 연속체의 카디널리티와 함께 분석함수의 계열이 있는지 물었다.아슈토시 쿠마르와 사하론 셀라가 나중에 증명했듯이, 이 질문에 대한 긍정적이고 부정적인 대답은 모두 일치한다.^[6]

참조