웰치의 t-테스트

통계에서 Welch의 t-검정 또는 동일하지 않은 분산 t-검정은 2-표본 위치 검정으로, 두 모집단의 평균이 동일하다는 가설을 검정하는 데 사용된다. 이 샘플은 제작자 Bernard Lewis Welch의 이름을 따서 명명되었으며,^[1] 학생 t-테스트를 각색한 것으로, 두 표본의 분산이 동일하지 않거나 표본 크기가 동일하지 않을 때 더 신뢰성이 높다.^[2][3] 이러한 시험은 비교되는 두 표본의 기초가 되는 통계단위가 비과잉일 때 일반적으로 적용되기 때문에 흔히 "부식" 또는 "독립 표본" t-검정으로 불린다. 웰치의 t-검정은 학생 t-검정보다^[2] 덜 인기가 있고 독자들에게는 덜 친숙할 수 있다는 점을 감안할 때, 보다 유익한 이름은 "Welch의 불평등 분산 t-검정" 즉 간결함을 위한 "불평등 분산 t-검정" 또는 "불특정 분산 t-검정"이다.^[3]

가정

학생의 t-검정은 두 모집단에 대해 비교되는 모집단 모수가 정규 분포를 따르고 모집단이 동일한 분산을 갖는다고 가정한다. Welch의 t-검정은 불평등한 모집단 분산을 위해 설계되었지만 정규성에 대한 가정은 유지된다.^[1] 웰치의 t 테스트는 베렌스-피셔 문제에 대한 대략적인 해결책이다.

계산

Welch의 t-검정은 통계 t를 다음과 같은 공식으로 정의한다.

${\displaystyle t={\frac {\Delta {\overline{X}}{s_{\\}델타 {{\bar{X}}}={\frac {{\overline {{X}_{1}-{\overline{X}-{X}}}{\sqrt {{s_{{\bar{X}}}}^{1}}}}}}+{{\bar {{X}}}}}}},},},}$

${\displaystyle s_{{\bar{X}_{i}}={s_{i}}\\\\sqrt{N_{i}}},}$

여기서 $X$의${\displaystyle {\stackrel{}{}i}_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle s_{}}$의${\displaystyle {{\stackrel{}{}i}_{}}_{}}$ ${\$는 ${\displaystyle {\text{주어진<img alt="{displaystyle s\_{{bar {X}}\_i}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/54283c33983b6ea1e76c910f97af35e295b59f8c" style="vertical-align: -1.171ex; width:3.348ex; height:2.509ex;" papago-attr-id="33">}}^{}}$ 표본 표준 편차 및 표본 크기에 $대한{\displaystyle {}^{}}$ i ${\$의 표본 평균과 표준 오차이다. 학생의 t-검정과는 달리 분모는 합동 분산 추정치에 기초하지 않는다.

이 분산 추정치와 관련된$$ 자유도 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu$}은(는) Welch-Satterthwaite 방정식을 사용하여 근사치를 구한다.^[4]

${\displaystyle \nu \quad \approx \quad {{\left(\;{s_{1}^{2} \over N_{1}}\;+\;{s_{2}^{2} \over N_{2}}\;\right)^{2}} \over {\quad {s_{1}^{4} \over N_{1}^{2}\nu _{1}}\;+\;{s_{2}^{4} \$$N_{2}^{$2}^{$2}\nu _{2}}\quad }}}$에 걸쳐.$$

$N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$2$}} :

${\displaystyle \nu \approx {\frac {s_{\Delta {\bar {X}}}^{4}}{\nu _{1}^{-1}s_{{\bar {X}}_{1}}^{4}+\nu _{2}^{-1}s_{{\bar {X}}_{2}}^{4}}}}$ .

여기서 $\nu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \nu _{i}=N_{i}-1}$은 i번째 분산 추정치와 관련된 자유도다$$.

카이-제곱 분포의 근사치를 가지고 있기 때문에 통계량은 대략 t-분포에서 나온 것이다. 이 근사치는 N ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및 ${\displaystyle N_{}}$ 2 ${\$}} 모두 5보다$$ 클 때 더 잘한다.^[5][6]

통계시험

t 및 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu}$을(를) 계산한$$ 후, 이러한 통계량을 t-분포와 함께 사용하여 가능한 두 가지 귀무 가설 중 하나를 검정할 수 있다.

• 두 모집단 평균이 같으며, 이 경우 두 개의 꼬리 시험을 적용한다.
• 모집단 평균 중 하나가 다른 평균보다 크거나 같으며, 이 경우 한 쪽 꼬리 검정이 적용된다.

대략적인 자유도는 가장 가까운 정수로 반올림된다.^{[citation needed]}

장점과 한계

Welch의 t-검정은 학생의 t-검정보다 강력하며, 균일하지 않은 분산과 정규성 하에서의 불균등한 표본 크기에 대해 제1종 오류율을 공칭에 가깝게 유지한다. 게다가, 인구 분산이 같고 표본 크기가 균형을 이룬 경우에도 웰치의 t 검정력은 학생 t 검정력에 근접한다.^[2] Welch의 t-검정은 2-표본 이상으로 일반화할 수 있으며,^[7] 이는 일원 분산 분석(ANOVA)보다 강력하다.

등분산 사전 검정을 한 후 학생 t 검정 또는 웰치의 t 검정 중에서 선택하는 것은 권장되지 않는다.^[8] 오히려 웰치의 t-테스트는 위에서 언급한 학생 t-테스트를 실질적으로 불이익 없이 직접 적용할 수 있다. Welch의 t-검정은 치우친 분포와 큰 표본 크기에 대해 견고하게 유지된다.^[9] 신뢰도는 Welch의 t-검정을 수행할 수 있는 왜곡된 분포와 작은 표본에 대해 감소한다.^[10]

예

다음의 세 가지 예는 웰치의 t-테스트와 학생의 t-테스트를 비교한 것이다. 표본은 R 프로그래밍 언어를 사용한 랜덤 정규 분포에서 추출한 것이다.

세 가지 예에서 모두 모집단 평균은 $\mu {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 20}$ ${\displaystyle \mu _{1}=20},$ ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 22}$ ${\displaystyle \mu _{2}=22}$이었다$$$.$

첫 번째 예는 등분산($$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ =$$σ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 4}$ {\$displaystyle$ \$sigma _{1$}^{$1}^{2}=$$4})$$및$동일한 $표본$ 크기$(N$ 1 =$$N$$2${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle N_{1$}={$2}={$15$}).$ A1과 A2는 두 개의 랜덤 표본을 나타낸다.

${\displaystyle A_{1}=\{27.5,21.0,19.0,23.0,23.6,17.0,17.9,16.9,20.1,21.9,22.6,23.1,19.6,19.0,21.7,21.4\}}$

${\displaystyle A_{2}=\{27.1,22.0,20.8,23.4,23.4,23.5,25.8,22.0,24.8,20.2,21.9,22.1,22.5,24.4\}}$

The second example is for unequal variances (${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=16}$, ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}=1}$) and unequal sample sizes (${\displaystyle N_{1}=10}$, ${\displaystyle N_{2}=20}$). 표본이 작을수록 분산이 크다.

${\displaystyle {\reasoned}A_{1}&=\{17.2,20.9,22.6,18.1,21.7,21.4,23.5,24.2,14.7,21.8\}\\A_{2}&=\{21.5,22.8,21.0,23.0,21.6,23.6,22.5,20.7,23.4,21.8,20.7,21.7,21.5,22.5,23.6,21.5,22.5,23.5,21.5,21.8\}\end{aligned}}}$

The third example is for unequal variances (${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=1}$, ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}=16}$) and unequal sample sizes (${\displaystyle N_{1}=10}$, ${\displaystyle N_{2}=20}$). 표본이 클수록 분산:

${\displaystyle {\reasoned}A_{1}&=\{19.8,20.4,19.6,17.8,18.5,18.9,18.3,18.9,19.5,22.0\}\\A_{2}&=\{28.2,26.6,20.1,23.3,25.2,22.1,17.7,27.6,20.6,13.7,23.2,17.5,20.6,18.0,23.9,21.6,24.3,20.4,24.0,13.2\}\end{aigned}}$

참조 p-값은 동일한 모집단 평균의 귀무 가설(${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}=0})$에 대한 t 통계 분포를 시뮬레이션하여 얻었다. 결과는 아래 표에 두 개의 꼬리 p-값으로 요약되어 있다.

	샘플 A1			샘플 A2			학생 t-테스트				웰치의 t-테스트
예	${\displaystyle N_{1}.$	${\displaystyle {\overline{X}_{1}$	${\displaystyle s_{1}^{2}}$	${\displaystyle N_{2}}$	${\displaystyle {\overline{X}_{2}}:$	${\displaystyle s_{2}^{2}}$	$(\daystyle t}$	$\displaystyle \nu }$	$P}$	${\displaystyle P_{\mathrm {sim}}}}}$	$(\daystyle t}$	$\displaystyle \nu }$	$P}$	${\displaystyle P_{\mathrm {sim}}}}}$
1	15	20.8	7.9	15	23.0	3.8	−2.46	28	0.021	0.021	−2.46	24.9	0.021	0.017
2	10	20.6	9.0	20	22.1	0.9	−2.10	28	0.045	0.150	−1.57	9.9	0.149	0.144
3	10	19.4	1.4	20	21.6	17.1	−1.64	28	0.110	0.036	−2.22	24.5	0.036	0.042

Welch의 t-검사와 학생 t-검정은 두 표본의 분산과 표본 크기가 동일할 때 동일한 결과를 얻었다(예 1). 그러나 분산이 동일한 모집단의 데이터를 표본으로 추출하는 경우 표본 분산이 서로 다르며, 두 t 검정의 결과도 마찬가지라는 점에 유의하십시오. 따라서 실제 데이터로, 두 테스트는 거의 항상 다소 다른 결과를 제공할 것이다.

분산이 같지 않은 경우, 학생 t-검정은 작은 표본의 분산이 클 때 p-값(예 2)을 낮추고, 큰 표본의 분산이 클 때 p-값을 높였다(예 3). 불균등 분산의 경우 Welch의 t-검정은 p-값을 시뮬레이션 p-값에 가깝게 제공했다.

소프트웨어 구현

언어/프로그램	함수	문서화
리브레오피스	TTEST(Data1; Data2; Mode; Type)	[11]
매트랩	ttest2(data1, data2, 'Vartype', 'unequal')	[12]
Microsoft Excel 이전 2010(학생 T 테스트)	TTEST(array1, array2, tails, type)	[13]
Microsoft Excel 2010 이상(학생의 T 테스트)	T.TEST(array1, array2, tails, type)	[14]
Minitab	메뉴를 통해 액세스 가능	[15]
SAS(소프트웨어)	기본 출력 위치 proc ttest ("Satterthwaite"라는 레이블)
Python(타사 라이브러리 SciPy를 통해)	scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=False)	[16]
R	t.test(data1, data2, alternative="two.sided", var.equal=FALSE)	[17]
하스켈	Statistics.Test.StudentT.welchTTest SamplesDiffer data1 data2	[18]
JMP	Oneway( Y( YColumn), X( XColumn), Unequal Variances( 1 ) );	[19]
줄리아.	UnequalVarianceTTest(data1, data2)	[20]
스타타	ttest varname1 == varname2, welch	[21]
Google 시트	TTEST(range1, range2, tails, type)	[22]
그래프패드 프리즘	그것은 t 테스트 대화 상자의 선택이다.
IBM SPSS 통계	메뉴의 옵션	[23][24]
GNU 옥타브	welch_test(x, y)	[25][26]

참고 항목

• 학생 t-테스트
• Z-테스트
• 요인 실험
• 일원 분산 분석
• Hoteling의 2-표본 T-제곱 통계량, Welch의 t-검정의 다변량 확장

참조