와인가르텐 함수

수학에서 Weingarten 함수는 고전파 그룹보다 행렬 계수의 곱을 계산하는 데 사용할 수 있는 정수의 분할에 의해 지수화된 합리적인 함수다.이들은 먼저 자신의 무증상 행동을 발견한 웨인가르텐(1978)이 연구했고, 이들을 단일군 집단에 대해 명시적으로 평가한 콜린스(2003)가 이름을 지었다.

유니터리 그룹

Weingarten 함수는 형태 매트릭스 계수의 단일 그룹 U에_d 대한 통합 평가에 사용된다.

${\displaystyle \int_{U_{d}U_{1}j_{1}j_{1}}\cdots U_{i_{q}j_{q}}}}}}}}}U_{i_{1}^{\premy }j_{1}^{\premy }^{**}\cdots U_{i_{q}^{\premy }^{{j_{q}^{}}}}}^{*dU,}}$

여기서 $\ast {\displaystyle }$ ${\displaystyle *}$은(는) 복잡한 결합을 의미한다$$.Note that ${\displaystyle U_{ji}^{*}=(U^{\dagger })_{ij}}$ where ${\displaystyle U^{\dagger }}$ is the conjugate transpose of ${\displaystyle U}$, so one can interpret the above expression as being for the ${\displaystyle i_1{j}_1\dots i_q{j}_q{j}_1^{\prime }{i}_1^{\prime }\dots j_q^{\prime }{i}_q^{\prime }}$${\displaystyle i_{1}j_{1}\ldots i_{q}j_{q}j'_{1}i'_{1}\ldots j'_{q}i'_{q}}$ matrix element of ${\displaystyle U\otimes \cdots \otimes U\otimes U^{\dagger }\otimes \cdots \otimes U^{\dagger }}$.

이 적분은 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{\sigma ,\tau \in S_{q}}\delta _{i_{1}i_{\sigma (1)}^{\prime }}\cdots \delta _{i_{q}i_{\sigma (q)}^{\prime }}\delta _{j_{1}j_{\tau (1)}^{\prime }}\cdots \delta _{j_{q}j_{\tau (q)}^{\prime }}W\!g(\sigma \tau ^{-1},d)}$

여기서 Wg는 Weingarten 함수로서, 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle W\!g(\sigma ,d)={\frac {1}{q!^{2}}:}\sum _{\frac {\chi ^{\patchda }(1)^{2}\chi ^{\probda }(\probma )}{s_{\probda,d}(1)}}}$

여기서 합계는 q의 모든 파티션에 걸쳐 있다(Collins 2003).여기서 χ은^λ 칸막이 λ에 해당하는 S의_q 문자로 s는 λ의 슈르 다항식이기 때문에 s_λd(1)는 λ에 해당하는 U의_d 표현 차원이다.

Weingarten 함수는 d에서 합리적인 함수다.그들은 d의 작은 값에 대한 폴을 가질 수 있는데, 이것은 위의 공식에서 취소된다.Weingarten 함수에 대한 대안적인 불평등 정의가 있는데, 여기서 사람들은 대부분의 d 파트를 가진 칸막이를 요약할 뿐이다.이것은 더 이상 d의 합리적 함수가 아니라 모든 양의 정수 d에 대해 유한하다.weingarten 함수의 두 종류는 q보다 큰 d에 대해 일치하며, 둘 중 하나를 적분 공식에 사용할 수 있다.

예

처음 몇 가지 Weingarten 함수 Wg(σ, d)는 다음과 같다.

${\displaystyle {\displaystyle W}}$ ${\displaystyle {\displaystyle g}}$(${\displaystyle {\displaystyle }}$, d${\displaystyle {\displaystyle }}$)${\displaystyle {\displaystyle }}$= ${\displaystyle {\displaystyle 1}}$ ${\$d $디스플레이$ 스타일 $\displaystyle W\!g(,d)=1}($Q = 0인 경우 사소한 경우)

${\displaystyle \d\!g(1,d)={\frac {1}{d}}$

${\디스플레이 스타일 \dplaystyle W\!g(2,d)={\frac {-1}{d(d^{2}-1)}}$

${\displaystyle \d\\patchstyle W\!g(1^{2},d)={\frac {1}{d^{2}-1}}$

${\displaystyle \d\!g(3,d)={\frac {2}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}}}$

${\displaystyle \d!g(21,d)={\frac {-1}{(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}}}$

${\displaystyle \d\patchstyle W\!g(1^{3}d)={\frac {d^{2}-2}{d(d^{2}-1)(d^{2}-4)}}}}$

여기서 순열 σ은 주기 모양에 의해 표시된다.

이러한 표현을 만들어내기 위한 컴퓨터 대수 프로그램이 존재한다.^[1][2]

점근거동

large d의 경우 Weingarten 함수 Wg는 점근거동을 가지고 있다.

${\displaystyle W\!g(\sigma ,d)=d^{-n- \sigma }\prod _{i}-1(-1)^{C_{{i} -1}c_{{{i}+O(d^{-n- \sigma -2})}$

여기서 순열 σ은 길이_n C와_i c = (2n)!/n!(n + 1)의 주기의 산물이다!카탈로니아 숫자로, σ은 σ의 산물인 전이 중 가장 적은 수이다.1/d 단위의 전력 시리즈로서 단일 집단을 통한 통합을 체계적으로 계산하는 도표적 방법이^[3] 존재한다.

직교 및 동일선 그룹

직교 및 공감각 그룹의 경우, Weingarten 함수는 Collins & Eniniady(2006)에 의해 평가되었다.그들의 이론은 단일 집단의 경우와 유사하다.파티션에 의해 매개변수가 지정되므로 모든 부품의 크기가 균일하다.

외부 링크

• Collins, Benoît (2003), "Moments and cumulants of polynomial random variables on unitary groups, the Itzykson-Zuber integral, and free probability", International Mathematics Research Notices, 2003 (17): 953–982, arXiv:math-ph/0205010, doi:10.1155/S107379280320917X, MR 1959915
• Collins, Benoît; Śniady, Piotr (2006), "Integration with respect to the Haar measure on unitary, orthogonal and symplectic group", Communications in Mathematical Physics, 264 (3): 773–795, arXiv:math-ph/0402073, Bibcode:2006CMaPh.264..773C, doi:10.1007/s00220-006-1554-3, MR 2217291, S2CID 16122807
• Weingarten, Don (1978), "Asymptotic behavior of group integrals in the limit of infinite rank", Journal of Mathematical Physics, 19 (5): 999–1001, Bibcode:1978JMP....19..999W, doi:10.1063/1.523807, MR 0471696

참조