균일화(세트 이론)

수학의 한 분야인 세트 이론에서 획일화의 공리는 선택의 공리의 약한 형태다.It states that if ${\displaystyle R}$ is a subset of ${\displaystyle X\times Y}$, where ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are Polish spaces, then there is a subset ${\displaystyle f}$ of ${\displaystyle R}$ that is a partial function from ${\displaystyle X}$ to ${\display$$스타일 Y}$및 도메인($f{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$)${\displaystyle f(x)}$이(가) 존재하는$$ 모든$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 집합)과 동일함

$[\displaystyle \{x\in X\mid \exists y\in Y:(x,y)\in R\}\,}$

이러한 $함수$를 R$${\$displaystyle R$의 균일화 함수 또는 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 균일화 함수라고 한다$.$

함수 f(빨간색)에 의한 R(연청색)의 균일화.

선택 공리와의 관계를 보려면 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) $Y$의$$하위 $집합$인 X {\$displaystyle$X$\}$의 각 요소와 연관되는 것으로 생각할$$ 수 있음을 관찰하십시오$.$ 그런 다음$$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 균일화는 부분 집합이 비어 있지 않을 때마다 해당 부분 집합에서 정확히 하나의 요소를 선택한다.따라서 임의의 집합 X와 Y를 허용하면(폴란드 공간뿐만 아니라) 균일화의 공리가 선택 공리와 동등하게 된다.

A pointclass ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ is said to have the uniformization property if every relation ${\displaystyle R}$ in ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ can be uniformized by a partial function in ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$.획일화 속성은 적어도 특정 형태의 적절한 포인트 클래스에 대해 척도 속성에 의해 암시된다.

$\pi {\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\$}:{1}:{1$},$ $\sigma$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$boldsymbol {\\$sigma }_{2}^{1}{$1}가 균일화 속성을 갖는$$ 것은 ZFC에서만 뒤따른다.그것은 다음과 같은 충분한 대형 추기경의 존재에서 비롯된다.

• ${\displaystyle {\mathbf{\pi }}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$$displaystyle$ ${\boldsymbol {\Pi }_{2n+1}^{$1}:{$1},$ $\sigma$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}^{}}$+ 2 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$}{1$}$는 모든 $자연수$ n에 대한 통일 속성을 가지고 있다$$$.$
• 따라서 투영 집합의 집합은 통일화 특성을 갖는다.
• L(R)의 모든 관계는 통일될 수 있지만 반드시 L(R)의 함수에 의해 통일될 수는 없다.사실 L(R)은 균일화 특성을 가지고 있지 않다(동일화라는 공리를 충족하지 못한다).
  • (주: V가 선택 공리를 만족한다고 가정할 때, L(R)의 모든 관계가 V로 통일될 수 있다는 것은 사소한 일이다.요점은 그러한 모든 관계는 결정성의 공리가 가지고 있는 V의 어떤 전이적 내부 모델에서 통일될 수 있다는 것이다.)

참조

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory. North Holland. ISBN 0-444-70199-0.