2단계 M-Estimator

2단계 M 추정자는 관심 매개변수를 얻기 위해 예비 추정이 필요한 M 추정 문제를 다룬다.2단계 추정기의 점근 분포는 일반적으로 1단계 추정기에 의존하기 때문에 2단계 M 추정은 일반적인 M 추정 문제와 다르다.점근 분포의 이러한 변화를 설명하는 것은 유효한 추론에 중요하다.

묘사

2단계 M 추정치의 클래스에는 Heckman의 표본 ^[1]선택 추정기, 가중 비선형 최소 제곱 및 생성된 회귀기가 ^[2]있는 일반 최소 제곱이 포함됩니다.

아이디어를 수정하려면 { $\{W_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq R^{d}$ i $\{W_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq R^{d}$ $i$ $\{W_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq R^{d}$ $\{W_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq R^{d}$ $\{W_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq R^{d}$ $\{W_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq R^{d}$ $\{W_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq R^{d}$ { { $displaystyle$ \ { $W _$ { i } \ { i $\{W_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq R^{d}$ = $\{W_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq R^{d}$ 1 $}^{n}$ \ $subseteq R^{d}}$ 를 $\{W_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq R^{d}$ i.i.d. 샘플로 합니다. $\{W_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq R^{d}$ $θ$ \ $displaystyle$ \ $\Theta$ Theta $\Theta$ } and $\Gamma$ 、 $display$ \ $displaystyle$ \ $\Gamma$ Gamma $\Gamma$ } 、 $R^{q}$ $R^{p}$ \ $displaystyle$ $R^$ { $q$ }의 $R^{p}$ $R^{q}$ . $m(;;;):R^{d}\times \Theta \times \Gamma \rightarrow R$ m ( $m(;;;):R^{d}\times \Theta \times \Gamma \rightarrow R$ ; $m(;;;):R^{d}\times \Theta \times \Gamma \rightarrow R$ ; ) $m(;;;):R^{d}\times \Theta \times \Gamma \rightarrow R$ : $m(;;;):R^{d}\times \Theta \times \Gamma \rightarrow R$ d × $m(;;;):R^{d}\times \Theta \times \Gamma \rightarrow R$ × $m(;;;):R^{d}\times \Theta \times \Gamma \rightarrow R$ $m(;;;):R^{d}\times \Theta \times \Gamma \rightarrow R$ R \ $display style$ m $;$ ; : $R$ ${\hat {\theta }}$ $^{d}\times$ \ $Theta \times \Gamma \rightarrow$ R}, 2단계 M 추정자 $^$ { $displaystyle$ \hat $\theta }$ 는 다음과 같이 정의됩니다.

(\displaystyle {\theta } : = max _{\theta \in \theta } {\frac {1} {n}} \sum _{i} m big bigl ( } W _ i , \theta , {\hat } ) 。

${\hat {\gamma }}$ 서 $^(\$ 은 $\hat\gamma$ 첫 번째 단계에서 계산해야 하는 방해 모수의 M 추정치입니다.

2단계 M 추정치의 일관성은 일부 수정이 필요할 수 있지만 일반적인 M 추정치에 대한 일관성 조건을 확인하여 검증할 수 있다.실제로 확인해야 할 중요한 조건은 식별 ^[2]조건입니다. ${\hat {\gamma }}\rightarrow \gamma ^{*},$ ${\hat {\gamma }}\rightarrow \gamma ^{*},$ $、$ \ $displaystyle$ ${\hat {\gamma }}\rightarrow \gamma ^{*},$ \ $hat$ $}$ \ $rightarrow ^$ { * } 、 $\gamma ^{*}$ $γ$ 、 $E[m(W_{1},\theta ,\gamma ^{*})]$ （ \ $displaystyle$ \ $displaystyle ^$ { * $} }$ $\Theta$

점근 분포

규칙성 조건에서 2단계 M-추정자는 점근 정규성을 가집니다.유의해야 할 중요한 점은 2단계 M 추정기의 점근 분산은 일반적으로 첫 번째 단계 추정이 필요하지 ^[3]않은 일반적인 M 추정기의 점근 분산과 같지 않다는 것이다.이 사실은 $^{$ hat $\theta$ }가 ${\hat {\gamma }}$ 랜덤 객체이고 그 변동성이 $(\displaystyle\Theta$ 의 추정에 영향을 미치므로 직관적이지만, 2단계 M-추정자의 점근적 분산이 마치 1단계 추정절차가 없었던 것처럼 나타나는 특수한 경우가 있다.요. 이러한 특수한 경우는 다음과 같은 경우에 발생합니다.

E{\frac}{\display \theta \display }}m(W_{1},\theta _{0},\display ^{*})= 0

γ ^{\displaystyle{\hat{\gamma}의 θ{\theta\displaystyle}어디θ 0{\displaystyle \theta_{0}}은 진정한 가치와γ ∗{\displaystyle \gamma ^{*}}은 확률 한계}}.[3]이 조건을 해석하려면 먼저 노트는 규칙적 조건에서, E(W1,0θ∂ θ m∂. , $E{\frac {\partial }{\partial \theta }}m(W_{1},\theta _{0},\gamma ^{*})=0$ $\theta _{0}$ $=$ 0 { $display$ $\theta _{0}$ E { \ $frac$ } { \ $frac$ } { \ $theta } m$ ( W $E{\frac {\partial }{\partial \theta }}m(W_{1},\theta _{0},\gamma ^{*})=0$ _ { 1 , \ $theta$ $}$ ) $E[m(W_{1},\theta ,\gamma ^{*})]$ $=$ 0 $E{\frac {\partial }{\partial \theta }}m(W_{1},\theta _{0},\gamma ^{*})=0$ $\theta _{0}$ $E[m(W_{1},\theta ,\gamma ^{*})]$ 、 display $0$ $E[m(W_{1},\theta ,\gamma ^{*})]$ $\theta _{0}$ $E[m(W_{1},\theta ,\gamma ^{*})]$ [ $E[m(W_{1},\theta ,\gamma ^{*})]$ ( $E[m(W_{1},\theta ,\gamma ^{*})]$ W $E[m(W_{1},\theta ,\gamma ^{*})]$ , ) 、 $displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay ][$ W _ 0 ]e 1차 조건따라서 큰 표본에서 $^$ {\ $displaystyle$ {\ $hat {gamma }}$ 의 $\hat\gamma$ 변동성은 점근 분산의 불변 특성을 설명하는 목적 함수의 아르그맥스에 영향을 미치지 않는다.물론 이 결과는 표본 크기가 무한대에 이르는 경향이 있기 때문에 유효하므로 유한 표본 특성은 상당히 다를 수 있습니다.

MLE 관련

첫 번째 단계가 최대우도 추정기일 때, 일부 가정 하에서, 2단계 M 추정기는 알려진 첫 번째 단계 모수가 있는 M 추정기보다 점근적으로 더 효율적이다(즉, 점근 분산이 작다).추정기의 일관성과 점근 정규성은 2단계 M ^[4]추정기의 일반 결과에서 파생됩니다.

{V_i,W_i,Z_i}ⁿ
_i=1를 랜덤 샘플로 하고 두 번째 단계 M ${\widehat {\theta }}$ $^(\$ 를 ${\widehat {\theta }}$ 다음과 같이 합니다.

{\widehat}: = 언더셋 {\operatorname {filename\max}}}}\sum _{i=1}^{n}m(v_i}, w_{i},z_{i}:\theta,{\widehat}}}}}

여기서 $^(\$ widehat})은 ${\widehat {\gamma }}$ 첫 번째 단계에서 최대우도로 추정된 파라미터입니다.MLE의 경우

{\displaystyle\widehat}: = 언더셋 {\operatorname {max}}}\sum _{i=1}^{n}\log f(v_{it:z_{i},\sum}}

여기서 f는 주어진 Z의 V의 조건부 밀도이다.이제 주어진 Z, V가 W와 조건적으로 독립적이라고 가정합니다.이를 조건부 독립성 가정 또는 관측 ^[4]^[5]가능성의 선택이라고 합니다.직관적으로 이 조건은 Z가 V의 좋은 예측 변수이므로 Z에 한 번 조건화되면 V는 W에 대한 체계적인 의존성을 갖지 않습니다. 조건부 독립성 가정 하에서 2단계 추정기의 점근 분산은 다음과 같습니다.

{{displaystyle \mathrm {E} [\nabla _{\theta _{0},\gamma _{0}}}{-1}\mathrm {E}[g(\theta _{0},\gamma _0})] \mathrm {LA {0}

어디에

{\displaystyle{\begin{정렬}(\theta ,\gamma)&amp은 =s(\theta ,\gamma)-\mathrm{E}[s(\theta ,\gamma)\nabla_{\gamma}d(\gamma)^{\mathrm{T}}]\mathrm{E}[\nabla_{\gamma}d(\gamma)\nabla_{\gamma}d(\gamma)^{\mathrm{T}}]^ᆱd(\gamma)\\s(\theta ,\gamma)&amp은.=\nabla _ᆪm(V,W,Z:\theta ,\gamma)\\d(\gamma)&amp은.=\nabla _{\gamma}\log f(5:Z,\syslogs)\end{aligned}}

θ는행 벡터에 대한 편도함수를 나타낸다. $θ$ 가₀ 알려진 경우 점근 분산은 다음과 같다.

{\displaystyle \mathrm {E} [\nabla _{\theta }s(\theta _{0},\gamma _{0})]^{-1}\mathrm {E}[s(\theta _0},\gammathrm {0})]

따라서 $\mathrm {E} [s(\theta ,\gamma )\nabla _{\gamma }d(\gamma )^{\mathrm {T} }]=0$ E [ $\mathrm {E} [s(\theta ,\gamma )\nabla _{\gamma }d(\gamma )^{\mathrm {T} }]=0$ ( $\mathrm {E} [s(\theta ,\gamma )\nabla _{\gamma }d(\gamma )^{\mathrm {T} }]=0$ , $\mathrm {E} [s(\theta ,\gamma )\nabla _{\gamma }d(\gamma )^{\mathrm {T} }]=0$ ) $\mathrm {E} [s(\theta ,\gamma )\nabla _{\gamma }d(\gamma )^{\mathrm {T} }]=0$ ( $\mathrm {E} [s(\theta ,\gamma )\nabla _{\gamma }d(\gamma )^{\mathrm {T} }]=0$ ( $\mathrm {E} [s(\theta ,\gamma )\nabla _{\gamma }d(\gamma )^{\mathrm {T} }]=0$ ) T $\mathrm {E} [s(\theta ,\gamma )\nabla _{\gamma }d(\gamma )^{\mathrm {T} }]=0$ ] $\mathrm {E} [s(\theta ,\gamma )\nabla _{\gamma }d(\gamma )^{\mathrm {T} }]=0$ \ $displaystyle$ \ $mathrm$ { $E$ } [ $s$ ( \ $seta$ , \ $scaps ) ]d$ ( \ $scaps )^{$ \ $mathrm$ { $T$ } ] $= 0$ 을 $\mathrm {E} [s(\theta ,\gamma )\nabla _{\gamma }d(\gamma )^{\mathrm {T} }]=0$ 하고, 2단계 M-imator 는 통상적인 M-imator 보다 효율적입니다.이 사실은 $δ$ 가₀ 선험적으로 알려진 경우에도 MLE로 $δ$ 를 추정함으로써 효율이 향상된다는 것을 시사하며, 예를 들어 치료효과 ^[4]추정에서 이 결과의 적용을 찾을 수 있다.

예

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적응형 추정기

레퍼런스

^ Heckman, J., The Common Statistical Models of Truntation, Sample Selection, and Limited Dependent Variables and Simple Estimator, 경제 및 사회 측정 연보, 5,475-492.
^ ^a ^b Woldridge, J.M., 단면 및 패널 데이터의 계량 분석, MIT Press, Cambridge, Mass.
^ ^a ^b 뉴이, K.W., D.McFadden, R의 대형 표본 추정 및 가설 검정.엥겔과 D.McFadden, ed., 계량경제 핸드북, 제4권, 암스테르담:노스홀랜드.
^ ^a ^b ^c Woldridge, J.M., 단면 및 패널 데이터의 계량 분석, MIT Press, Cambridge, Mass.
^ Heckman, J.J., R.Robb, 1985, 개입의 영향을 평가하기 위한 대체 방법:경제학 저널, 개요, 30, 239-267.

[1] Heckman, J., The Common Statistical Models of Truntation, Sample Selection, and Limited Dependent Variables and Simple Estimator, 경제 및 사회 측정 연보, 5,475-492.

[Wooldridge2002-2] Woldridge, J.M., 단면 및 패널 데이터의 계량 분석, MIT Press, Cambridge, Mass.

[NeweyMcfadden-3] 뉴이, K.W., D.McFadden, R의 대형 표본 추정 및 가설 검정.엥겔과 D.McFadden, ed., 계량경제 핸드북, 제4권, 암스테르담:노스홀랜드.

[Woolridge-4] Woldridge, J.M., 단면 및 패널 데이터의 계량 분석, MIT Press, Cambridge, Mass.

[5] Heckman, J.J., R.Robb, 1985, 개입의 영향을 평가하기 위한 대체 방법:경제학 저널, 개요, 30, 239-267.

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