환적 문제

환적 문제는 운송 문제의 한 부분군을 형성하며, 여기서 환적이 허용된다. 환적에서 운송은 중간 노드를 통과하거나 통과해야 하며, 운송 모드를 변경할 수 있다.

환적문제는 무역이 대중적인 현상이 되기 시작한 중세 시대에^{[dubious – discuss]} 기원을 두고 있다. 최소 비용 경로를 확보하는 것이 우선이었다. 그러나 기술 발전은 서서히 최소의 시간적 교통 문제를 우선시했다.

개요

환적 또는 환적은 중간 목적지로 상품이나 컨테이너를 운송한 후 거기서 다른 목적지로 운송하는 것이다. 한 가지 가능한 이유는 (예를 들어 선박 운송에서 도로 운송으로) 이동 중에 운송 수단을 변경하기 위해서입니다, 운송 로딩이라고 알려져 있다. 또 다른 이유는 작은 화물을 큰 화물로 묶어서 다른 끝에서 큰 화물을 나누기 위해서(화합)이다. 환적은 보통 교통 허브에서 이루어진다. 많은 국제 환적이 지정된 세관 구역에서도 이루어지기 때문에 세관 검사나 관세가 필요하지 않으며, 그렇지 않으면 효율적인 운송에 큰 장애가 된다.

문제의 공식화

환적 문제를 완전히 공식화하기 위해서는 몇 가지 초기 가정이 필요하다.

시스템은 m 원점과 n개의 대상으로 구성되며, 각각 다음과 같은 인덱싱: $i=1,\ldots ,m$ = 1 , $i=1,\ldots ,m$ $displaystyle i=1,\ldots,$ $j=1,\ldots ,n$ $i=1,\ldots ,m$ j $j=1,\ldots ,n$ = $j=1,\ldots ,n$ , $j=1,\ldots ,n$ ${\displaysty j=1,\ldots ,n}$
선적해야 할 통일재가 하나 있다.
목적지에서 요구되는 재화의 양은 출발지에서 구할 수 있는 생산량과 같다.
출발지에서 동시에 출발하며, 어느 노드에서든 다른 노드로든 운송이 가능하다(출발지와 목적지로도 운송 가능
운송비용은 선적금액과 무관하다.
환적 문제는 모든 선원과 싱크대가 동시에 화물을 수신하고 분배할 수 있다는 가정(양방향 기능)^[1]을 고려한다는 점에서 독특한 선형 프로그래밍 문제(LLP)이다.

공증

$t_{r,s}$ $t_{r,s}$ , $t_{r,s}$ ${\$ : 노드 r에서 노드 s로 이동하는 시간
$a_{i}$ $a_{i}$ ${\$ : 노드 i에서 사용 가능한 상품
$b_{m+j}$ $b_{m+j}$ + $b_{m+j}$ ${\$ : 노드의 재화에 대한 요구(m+j)
$x_{r,s}$ $x_{r,s}$ , $x_{r,s}$ ${\$ : 실제 node r에서 node s로 운송되는 양

문제의 수학적 공식화

목표는 $\sum \limits _{i=1}^{m}\sum \limits _{j=1}^{n}t_{i,j}x_{i,j}$ subject $\sum \limits _{i=1}^{m}\sum \limits _{j=1}^{n}t_{i,j}x_{i,j}$ $\sum \limits _{i=1}^{m}\sum \limits _{j=1}^{n}t_{i,j}x_{i,j}$ = $\sum \limits _{i=1}^{m}\sum \limits _{j=1}^{n}t_{i,j}x_{i,j}$ $\sum \limits _{i=1}^{m}\sum \limits _{j=1}^{n}t_{i,j}x_{i,j}$ $\sum \limits _{i=1}^{m}\sum \limits _{j=1}^{n}t_{i,j}x_{i,j}$ = $\sum \limits _{i=1}^{m}\sum \limits _{j=1}^{n}t_{i,j}x_{i,j}$ t $\sum \limits _{i=1}^{m}\sum \limits _{j=1}^{n}t_{i,j}x_{i,j}$ j $\sum \limits _{i=1}^{m}\sum \limits _{j=1}^{n}t_{i,j}x_{i,j}$ $\sum \limits _{i=1}^{m}\sum \limits _{j=1}^{n}t_{i,j}x_{i,j}$ j ${\$ ,j $},j}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ j}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

$x_{r,s}\geq 0$ $x_{r,s}\geq 0$ , $x_{r,s}\geq 0$ $x_{r,s}\geq 0$ 0 ${\displaystyle x_{r},s}\geq$ 0 $x_{r,s}\geq 0$ $\forall r=1\ldots m$ r = $\forall r=1\ldots m$ … $\forall r=1\ldots m$ ${\displaystyle \forall r=1\ldots m$ $s=1\ldots n$ = $s=1\ldots n$ … n ${\displaysty s=1\ldotsn}$
$\sum _{s=1}^{m+n}{x_{i,s}}-\sum _{r=1}^{m+n}{x_{r,i}}=a_{i}$ ; $\forall i=1\ldots m$
$\sum _{r=1}^{m+n}{x_{r,m+j}}-\sum _{s=1}^{m+n}{x_{m+j,s}}=b_{m+j}$ ; $\forall j=1\ldots n$
$\sum_{i=1}^{m}{a_{i}=\sum _{j=1}^{n}{b_{m+j}}}$

해결책

대부분의 경우 객관적 기능에 대한 명시적 표현이 존재하지 않기 때문에, 대안적인 방법은 라지프와 사티아에 의해 제안된다. 이 방법은 출발지에서 목적지까지의 최소 지속 경로를 밝히기 위해 연속 2단계를 사용한다. 1단계에서는 $n\cdot m$ $n\cdot m$ $n\cdot m$ $n\cdot m$ 시간 최소화 $n\cdot m$ 문제를 기꺼이 해결하며, 각각의 경우 나머지 $n+m-2$ + $n+m-2$ - $n+m-2$ $n+m-2$ 중간 $n+m-2$ 노드를 환적 지점으로 사용한다. 이것은 또한 모든 출처와 목적지 사이의 최소한의 여행으로 이어진다. 2단계에서는 표준 시간 최소화 문제를 해결해야 한다. 시간 최소화 환적문제의 해결은 이 두 단계의 공동해결 결과물이다.

1단계

비용은 선적금액과 무관하기 때문에 각각의 개별적인 문제에서 선적수량을 1로 정상화시킬 수 있다. 그 문제는 이제 i에서 m+j까지 과제 문제로 단순화되었다. $x'_{r,s}=1$ r $x'_{r,s}=1$ , $x'_{r,s}=1$ s = 1 ${\displaystyle x'_{r,s}=$ 1}을 $($ 를) 최적화하는 동안 노드 r과 s 사이의 에지를 사용하는 경우 1로 $x'_{r,s}=1$ 하고, 그렇지 않으면 0으로 한다. 이제 목표는 목표 기능을 최소화하는 $x'_{r,s}$ 모든 x $x'_{r,s}$ , $x'_{r,s}$ $x'_{r,s}$ ${\$ 을(를) 결정하는 것이다.

$T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ i $T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ $T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ + $T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ = $T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ r = $T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ + $T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ $T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ s = $T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ + n $T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ $T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ $T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ $T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ $T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ , s ′ x r $T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ $T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ $T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ ${\$ ,m $+j}=\$ sum $_{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r},s$ },s},s},s},s},\ $cdot x_$ {r_,{cdot x_,{r_ $T_{i,m+j}=\sum _{r=1}^{m+n}\sum _{s=1}^{m+n}{t_{r,s}\cdot x'_{r,s}}$ r_,{ $r,},},},},},$

그런

$\sum _{s=1}^{m+n}{x'_{r,s}=1$
$\sum _{r=1}^{m+n}{x'_{r,s}=1$
$x'_{m+j,i}=1$
$x'_{r,s}=0,1$ $x'_{r,s}=0,1$ , $x'_{r,s}=0,1$ $x'_{r,s}=0,1$ = $x'_{r,s}=0,1$ $x'_{r,s}=0,1$ ${\displaystyle x'_{r,s}=0,1$ } $x'_{r,s}=0,1$ .

코롤라리

$x'_{r,r}=1$ and $x'_{m+j,i}=1$ need to be excluded from the model; on the other hand, without the $x'_{m+j,i}=1$ constraint the optimal path would consist only of $x'_{r,r}$ -type loops 그것은 분명히 실현 가능한 해결책이 될 수 없다.
$x'_{m+j,i}=1$ $x'_{m+j,i}=1$ + $x'_{m+j,i}=1$ 대신 $x'_{m+j,i}=1$ $x'_{m+j,i}=1$ = $x'_{m+j,i}=1$ ${\displaystyle x'_{m+j,$ $t_{m+j,i}=-M$ $}=1$ $t_{m+j,i}=-M$ $t_{m+j,i}=-M$ + j $t_{m+j,i}=-M$ $t_{m+j,i}=-M$ = $t_{m+j,i}=-M$ - $t_{m+j,i}=-M$ $t_{m+j,i}=-M$ 을 쓸 수 있으며 $t_{m+j,i}=-M$ , 여기서 M은 임의로 큰 양의 숫자다. 그러한 수정으로 위의 공식은 헝가리식 방법으로 해결할 수 있는 표준 할당 문제의 형태로 축소된다.

2단계

2단계에서는 환적이 없는 m 기원과 n 목적지로 시간 최소화 문제가 해결된다. 이 단계는 원래 설정과 두 가지 주요 측면에서 다르다.

출발지에서 목적지까지의 운송만 가능하다.
i에서 m+j까지의 이동 시간은 1단계에서 계산한 최적 경로에서 오는 시간의 합계다. $t'_{i,m+j}$ i , $t'_{i,m+j}$ + $t'_{i,m+j}$ $t'_{i,m+j}$ ${\$ 이(가) 표시하여 1단계에서 소개한 시간과 분리할 $t'_{i,m+j}$ 수 있도록 한다.

수학적 형태로

목표는 최소화하는 $x_{i,m+j}\geq 0$ $x_{i,m+j}\geq 0$ $x_{i,m+j}\geq 0$ , m $x_{i,m+j}\geq 0$ + $x_{i,m+j}\geq 0$ $x_{i,m+j}\geq 0$ $x_{i,m+j}\geq 0$ ${\displaystyle x_{i,m+j}\geq$ 0 $}$ 을(를) 찾는 것이다.

$z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ = $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ x $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ { $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ + $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ : $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ + j $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ > 0 $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ = $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ … $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ = $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ … $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ ) $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$ } ${\$ '_{ $t+j:x_{i,m+j}0\;;(i=1\ldotsm,\)\rig\$ rig $z=max\left\{t'_{i,m+j}:x_{i,m+j}>0\;\;(i=1\ldots m,\;j=1\ldots n)\right\}$
그런

$\sum _{i=1}^{m}{x_{i,m+j}=a_{i}}}$
$\sum _{j=1}^{n}{x_{i,m+j}=b_{m+j}}$
$\sum_{i=1}^{m}{a_{i}=\sum _{j=1}^{n}{b_{m+j}}}$

이 문제는 프라카시가 개발한 방법으로 쉽게 해결할 수 있다. The set $\left\{t'_{i,m+j},i=1\ldots m,\;j=1\ldots n\right\}$ needs to be partitioned into subgroups $L_{k},k=1\ldots q$ , where each $L_{k}$ contain the $t'_{i,m+j}$ $t'_{i,m+j}$ -s 같은 값. $L_{k}$ $L_{1}$ ${\$ 순서는 L $L_{1}$ ${\$ 1}에 $L_{1}$ 가장 큰 값 $t'_{i,m+j}$ i $t'_{i,m+j}$ + $t'_{i,m+j}$ { $t'_{i,m+j}$ {\ $displaystyt t_{i,m+j$ $L_{2}$ L $L_{2}$ {\ $displaystyle L_{1}:{$ 1}이 두 번째로 $L_{2}$ 큰 값으로 구성된다 $L_{k}$ . 또한 $M_{k}$ $M_{k}$ ${\$ 양 우선요인은 $M_{k}$ 다음과 같은 규칙으로 하위그룹 $\sum _{L_{k}}{x_{i,m+j}}$ subgroups $\sum _{L_{k}}{x_{i,m+j}}$ $\sum _{L_{k}}{x_{i,m+j}}$ $\sum _{L_{k}}{x_{i,m+j}}$ $\sum _{L_{k}}{x_{i,m+j}}$ + $\sum _{L_{k}}{x_{i,m+j}}$ ${\$ 에 할당된다.

$\alpha M_{k}-\beta M_{k+1}=\좌측\{\begin{array}{cc}-ve,&if\;\alpha <0\\ve,&if\f\;\alpha >0\end{array}\}\rig}\rig}\rig}\rig}\rig}\right.$

모든 $\beta$ $\beta$ 에 대해 $\beta$ $x_{i,m+j}$ 표기법을 사용하여 목표 기능을 최소화하는 모든 $x_{i,m+j}$ $x_{i,m+j}$ $x_{i,m+j}$ m $x_{i,m+j}$ + $x_{i,m+j}$ ${\$ 를 찾는 것이 목표다.

$z_{1}=\sum _{k=1}^{q}{M_{k}\sum _{L_{k}}{x_{i,m+j}}}$

그런

$\sum _{i=1}^{m}{x_{i,m+j}=a_{i}}}$
$\sum _{j=1}^{n}{x_{i,m+j}=b_{m+j}}$
$\sum_{i=1}^{m}{a_{i}=\sum _{j=1}^{n}{b_{m+j}}}$
$\alpha M_{k}-\beta M_{k+1}=\좌측\{\begin{array}{cc}-ve,&if\;\alpha <0\\ve,&if\f\;\alpha >0\end{array}\}\rig}\rig}\rig}\rig}\rig}\right.$

확장

다스 외 연구진(1999년), 말라쿠티(2013년) 등 일부 저자는 다목적 환적 문제를 고려했다.

참조

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다스, S. K., A. 고스와미, S. 알람. "간격 비용, 출처 및 목적지 매개변수의 다중 목적적 교통 문제" European Journal of Operational Research, Vol. 117, No. 1, 1999, 페이지 100–112

[1] "(PDF) Transshipment Problem and Its Variants: A Review". ResearchGate. Retrieved 2020-11-02.

[1]

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목차

개요

문제의 공식화

공증

문제의 수학적 공식화

해결책

1단계

코롤라리

2단계

수학적 형태로

확장

참조