Clairaut 방정식(수학적 분석)

수학적 분석에서 클라이라우트의 방정식(또는 클라이라우트 방정식)은 형태의 미분 방정식이다.

${\displaystyle y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left\frac {dy}{dx}\오른쪽)}$

여기서 f는 계속 다를 수 있다.라그랑주 미분 방정식의 특별한 경우다.1734년 이를 도입한 프랑스의 수학자 알렉시스 클레라우트의 이름을 따서 지은 것이다.^[1]

정의

클라이라우트의 방정식을 풀기 위해 x에 대해 구별하여 양보한다.

${\d^{dx}{dx}={\frac {dy}{dx}}+x{d^{d^{2}y}{dx^{dx}}{dx}}}{dx}}}{dx}\right){\frac {d^{dx^{dx}}}}}}}}}}}},},},}$

그렇게

${\displaystyle \좌측[x+f'\frac {dy}{dx}\우측)\우측]{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}=0.}$

따라서, 어느 쪽이든

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}=0}$

또는

${\displaystyle x+f'\left\frac {dy}{dx}\오른쪽)=0.}$

전자의 경우, 일부 상수 C에 대해 C = dy/dx.이것을 클라이라우트의 방정식으로 대체하면, 사람들은 다음과 같은 직선함수의 패밀리를 얻는다.

${\displaystyle y(x)=Cx+f(C),\,}$

이른바 클라이라우 방정식의 일반적인 해법

후자의 경우는,

${\displaystyle x+f'\left\frac {dy}{dx}\오른쪽)=0,}$

그래프가 일반 솔루션 그래프의 범위인 단일 솔루션 y(x)만 정의한다.단수 용액은 일반적으로 파라메트릭 표기법을 (x(p), y(p)로 표시하며 여기서 p = dy/dx이다.

단일 솔루션에 대한 파라메트릭 설명에는 다음과 같은 형식이 있음

${\displaystyle x(t)=-f'(t),\,}$

$[\displaystyle y(t)=f(t)-tf'(t)],\,}$

여기서 t는 매개변수다.

예

다음 곡선은 두 개의 Clairaut 방정식에 대한 해답을 나타낸다.

• 

  ${\displaystyle f(p)=p^{2}}$
• 

  ${\displaystyle f(p)=p^{3}}$

각각의 경우, 일반적인 해법은 검은색으로, 단수 해법은 보라색으로 표현된다.

확장

확장자별, 폼의 1차 부분 미분 방정식

${\displaystyle u=displaystyle u=su_{x}+u_{y}+f(u_{x},u_{y}})}$

클라이라우트의 방정식으로도 알려져 있다.^[2]

참고 항목

• 달랑베르 방정식
• 크리스탈 방정식
• 레전드르 변환

메모들

참조

• Clairaut, Alexis Claude (1734), "Solution de plusieurs problèmes où il s'agit de trouver des Courbes dont la propriété consiste dans une certaine relation entre leurs branches, exprimée par une Équation donnée.", Histoire de l'Académie royale des sciences: 196–215.

• Kamke, E. (1944), Differentialgleichungen: Lösungen und Lösungsmethoden (in German), vol. 2. Partielle Differentialgleichungen 1er Ordnung für eine gesuchte Funktion, Akad. Verlagsgesell.

• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Clairaut equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.