단일 입자 궤적

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단일 입자 궤적(SPT)은 시간 내에 인과관계가 있는 연속적인 이산 점들의 집합으로 구성된다.이러한 궤적은 실험 데이터의 이미지로부터 얻어진다.세포 생물학의 맥락에서 궤도는 움직이는 분자에 부착된 작은 염료의 레이저에 의한 일시적인 활성화에 의해 얻어진다.null

분자는 현재 수천 개의 짧고 긴 궤도를 정기적으로 수집할 수 있는 최근의 초해상도 현미경을 기반으로 시각화할 수 있다.^[1]이러한 궤도는 세포의 일부를 세포막 위나 3차원으로 탐사하며 그 경로는 뉴런 세포,^[3] 아스트로사이테스, 면역세포 등 다양한 세포 유형에서 강조했듯이 ^[2]세포 내부의 국소적으로 혼잡한 조직과 분자 상호작용에 의해 결정적으로 영향을 받는다.null

SPTs는 통계를 수집하기 위해 세포 내부의 움직이는 분자를 관찰할 수 있게 한다.

SST는 움직이는 입자를 관찰하는 것을 허용했다.이러한 궤도는 세포질이나 막 조직뿐만 아니라 세포핵 역학,^[4] 리모델링 역학 또는 mRNA 생산도 조사하는데 사용된다.계측기의 지속적인 개선으로 인해 공간 분해능이 지속적으로 감소하여 현재 약 20nm의 값에 도달하고 있는 반면, 획득 시간 단계는 일반적으로 라이브 조직에서 발생하는 짧은 사건을 포착하기 위해 10~50ms의 범위에 있다.sptPALm이라 불리는 초해상도 현미경의 변종은 세포 내 분자의 국소적이고 역동적으로 변화하는 조직이나 포유류 핵에서 전사 인자에 의한 DNA 결합의 사건을 감지하는 데 사용된다.고화질 데이터를^[5][6][7] 보장하기 위해서는 초해상도 이미지 획득과 입자 추적이 필수적임

추적 알고리즘을 기반으로 점을 궤적으로 결합

일단 포인트가 획득되면 다음 단계는 궤적을 재구성하는 것이다.이 단계는 획득한 지점을 연결하기 위한 알려진 추적 알고리즘을 수행한다.^[8]추적 알고리즘은 부가적인 무작위 노이즈에 의해 동요된 궤도의 물리적 모델에 기초한다.null

중복 SPT에서 물리적 매개 변수 추출

다수의 쇼트(SPT)의 중복성은 분자 수준의 경험적 데이터에서 생물물리학적 정보 매개변수를 추출하는 핵심 특징이다.^[9]이와는 대조적으로, 오랜 시간 고립된 궤도는 궤도를 따라 정보를 추출하기 위해 사용되어, 다양한 위치와 관련된 자연 공간 이질성을 파괴했다.주요 통계 도구는 평균 제곱 변위(MSD) 또는 2차 통계 모멘트를 계산하는 것이다.

${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle X}$( ${\displaystyle t}$ +${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle X}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}^{}}$~ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$ $\$$sim t^{\$$alpha$ $}}}($^[10][11]평균 초과 실현) 여기서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\$displaystydexent라고 한다$$$.$

브라운 ${\displaystyle 운동}$에서 $⟨{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$ +${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle X}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ t = 2n ${\displaystyle t}$ = 2n t =$$\$displaystyle \langle$X($t+\Delta$ t$)-X(t)$^{$2}\rangele =2nDt$ 여기서 d는 확산 계수, n은 공간의 차원이다.제한된 움직임의 구속 반지름과 같은 일부 다른 특성도 긴 궤도에서 복구할 수 있다.^[12]MSD는 생물학적 맥락에서 길고 반드시 중복되는 단일 입자 궤적을 초기에 적용할 때 널리 사용되어 왔다.그러나 장거리 궤도에 적용된 MSD는 여러 가지 문제로 어려움을 겪고 있다.첫째, 측정된 점이 상관관계가 있을 수 있기 때문에 부분적으로는 정확하지 않다.둘째, 궤적이 자유 확산과 제한 확산의 교대로 전환 에피소드로 구성되는 경우 물리적 확산 계수를 계산하는 데 사용할 수 없다.관측된 궤도의 낮은 주피오템포럴 분해능에서 MSD는 시간에 따라 선형으로 작용하며, 이는 부분적으로 입자 움직임의 다른 단계들의 평균화에 기인하는 변칙적인 확산이라고 알려진 과정이다.셀룰러 이동(ameoboid)의 맥락에서, 장애물을 포함하는 미세 유체 챔버의 긴 SPT의 고해상도 모션 분석은 다른 유형의 셀 모션을 드러냈다.장애물 밀도에 따라: 낮은 밀도의 장애물에서 기어다니는 것이 발견되었고 방향의 움직임과 무작위 단계는 심지어 구별될 수 있다.null

중복된 SPT에서 공간 특성을 복구하는 물리적 모델

운동 모델로서의 Langevin과 Smoluchowski 방정식

SST에서 정보를 추출하는 통계적 방법은 란제빈 방정식이나 그 스몰루코프스키의 한계와 같은 확률적 모델과 추가적인 국소 지점 식별 노이즈 또는 메모리 커널을 설명하는 관련 모델에 기초한다.^[14]란제빈 방정식은 다음과 같이 F($x{\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$) ${\$$displaystyle \Xi }$과(예: 정전, 기계 등$)$라는 표현으로 브라운의 힘 $Ⅱ{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$$displaystyle \Xi$}에 의해 구동되는 확률적 입자를 설명한다$.$

${\displaystyle m{\dot{x}}+\감마 {\dot}-F(x,t)=\Xi ,}$

여기서 m은 입자의 질량이고 ${\displaystyle \gamma }$= ${\displaystyle \mathrm{6\pi }}$, \ = 6π \$displaystyle \Gamma =6\pi$ a$\rho}$은 확산 입자의 마찰 계수, $\rho {\displaystyle }$ ${\displaysty \rho}$ 점성.여기서 $\xi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Xi }$은(는) $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$ - 상관$$ 관계가 있는 가우스 화이트 노이즈 입니다.힘은 잠재적 우물 U에서 파생되어 F${\displaystyle (x}$, ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle F(x,t)=-U'(x)}$을(를) 나타낼 수 있으며$$, 이 경우 방정식은 형식을 취한다.

${\displaystyle m{\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac {dx}{dx}+\nabla U(x)={\sqrt {2\varepsilon \gamma }}\\\frac {d\eta }{dt},},},},}},},},},}}}$

여기서 $\epsilon {\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \varipsilon =k_{B}T,}$는 에너지 및 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$ 볼츠만의 상수와 온도 T이다.랜지빈의 방정식은 관성이나 가속도가 중요한 궤적을 설명하는 데 사용된다.예를 들어, 매우 짧은 시간에 분자가 결합 부위에서 분자를 분리하거나 잠재적 우물에서 탈출할 때 관성 용어는 입자가 유인기에서 멀어질 수 있도록 허용하고 따라서 수치 시뮬레이션을 괴롭힐 수 있는 즉각적인 재결합을 방지한다.null

큰 마찰 한계 $\gamma {\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \gamma \to \infit }}$에서 랭귀빈 방정식의$$ $궤적{\displaystyle }$ x$$(${\displaystyle t}$){\$displaysty$ x $(t)}$은 스몰루코프스키 방정식의 궤적과 확률로 수렴된다.

${\displaystyle \dot{x}}+U^{\premy }(x)={\sqrt {2\barepsilon \gamma}}\,{\dot{w},}$

여기서 w $w{\displaystyle \stackrel{}{}(}$ (${\displaystyle t}$ )$${\$dot{w}(t)}$은(는) Δ${\displaystyle }${\$displaystyle \delta$ \compute $}$ -correlated$$ 입니다.이 방정식은 확산 계수가 공간에 일정할 때 얻어진다.그렇지 않은 경우 거친 갈림 방정식(굵은 공간 분해능에서)은 분자 고려사항에서 도출해야 한다.물리력의 해석은 이토의 대 스트라토노비치의 본질적 표현이나 다른 것으로 해결되는 것이 아니다.null

일반 모형 방정식

기본적인 분자 충돌보다 훨씬 긴 시간 동안, 추적된 입자의 위치는 란제빈 확률적 모델의 더 일반적인 과대포장 한계로 설명된다.실제로 경험적으로 기록된 궤적의 획득 시간 척도가 열변동에 비해 훨씬 낮을 경우 데이터에서 신속한 사건이 해결되지 않는다.따라서 이 코저 주걱턱에서 운동 설명은 유효 확률 방정식으로 대체된다.

${\dot스타일 {\X}(t)={b}(X(t)+{\sqrt{2}}:{B}_{e}(X(t))){\dot{w}(t),\qquad \qquad(1)}$

여기서 $b{\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle {b}(X)}$은(는) 드리프트 필드이고$$ ${\displaystyle {}_{}}$ e ${\$ 확산$$ 행렬이다.유효확산 텐서는 공간 D${\displaystyle (}$ ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle B}$( ${\displaystyle X}$) B ${\displaystyle T^{}}$ ${\$ 스타일 $D(X)={\frac {1}{2}}B(X)B^{{{}}}$에 따라 달라질 수 있다.$T}X^{T}($$X^{}$ T ${\$는 $X$ ${\textstyle X}$의 전치물을 나타낸다$$.$$이 방정식은 도출된 것이 아니라 가정된 것이다.그러나 D의 불연속성은 불연속성의 원천을 분석하기 위한 공간적 스케일링(대개 불활성 장애물 또는 두 매체 사이의 전환)으로 해결되어야 하므로 확산 계수는 충분히 부드러워야 한다.관측된 유효확산 텐서는 반드시 등방성이 아니며 상태 의존적일 수 있는 반면, 마찰계수 ${\displaystyle \gamma }$는 매질이 동일하게 유지되고 현미경 확산계수(또는 텐서)가 등방성을 유지할 수 있는 한 일정하게 유지된다$$.null

이러한 궤도에 대한 통계적 분석

통계적 방법의 개발은 궤도에 적용되는 가능한 디콘볼루션 절차인 확률적 모델에 기초한다.수치 시뮬레이션은 또한 단일 입자 궤적 데이터에서 추출될 수 있는 특정 특징을 식별하는 데 사용될 수 있다.^[16]SPTs 데이터에서 통계적 앙상블을 구축하는 목적은 입자의 국소 나노미터 환경과 입자의 상호작용을 반영하는 속도, 확산, 구속 또는 끌어당기는 힘과 같은 입자의 국소적 물리적 특성을 관찰하는 것이다.다른 크기의 생물학적 물체의 존재를 반영하는 확산 계수 또는 국부 밀도를 구성하기 위해 확률적 모델링을 사용할 수 있다.null

확률적 공정의 유동 및 확산 텐서 실증적 추정기

국부확산계수, 벡터장, 심지어 잠재적 우물 같은 표류지의 조직화된 패턴을 회복하기 위해 여러 경험적 추정기가 제안되었다.^[17]모수 및 비모수 통계량에서 물리적 특성을 복구하는 데 도움이 되는 경험적 추정기의 구성.1차원 시계열 통계에서 확산 프로세스의 통계 매개변수를 검색하는 경우 첫 번째 모멘트 추정기 또는 베이지안 추론을 사용한다.null

모델과 분석은 공정이 정지되어 있어서 궤도의 통계적 특성이 시간에 따라 변하지 않는다고 가정한다.실제로, 이 가정은 예를 들어 뉴런 표면에 느린 변화가 거의 발생하지 않는 1분 미만의 궤적을 획득할 때 충족된다.연속적인 획득 사이에 수십분의 지연을 두고 시간 경과 분석을 사용하여 정지하지 않은 동작을 관찰한다.null

굵은 결절 모델 Eq. 1은$$$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle X}$= X${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$+ ${\displaystyle \Delta }$ t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle X}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \Delta X=X(t+\Delta t)-X(t)}$의 증가분을 계산하여 궤적의 조건부 모멘트로부터 복구된다.

${\displaystyle a(x)=\lim _{\Delta t\오른쪽 화살표 0}{\frac {E[\Delta X(t)\mid X(t)=x]}{\Delta t},}$

${\displaystyle D(x)=\lim _{\Delta t\오른쪽 화살표 0}{\frac {E[\Delta X(t)^{T}\,\Delta X(t)\mid X(t)=x]}{2\,\Delta t}.}$

여기서 표기법 $E{\displaystyle }$[ ${\displaystyle \cdot }$ X${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle E[\cdot \, \,X(t)=x]$는 시간 t에서 점 x에 있는 모든 궤도에 대해 평균을 의미한다$$.스몰루코프스키 방정식의 계수는 각 x 지점에서 시간 t에 있는 x 지점 부근의 궤도에 대한 무한히 큰 표본으로부터 통계적으로 추정할 수 있다.

경험적 추정

실제로 a와 D에 대한 기대치는 유한 표본 평균으로 추정되며 ${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Delta t}$은 기록된 궤적의 시간 분해능이다.a와 D에 대한 공식은 ${\displaystyle \Delta }$ t ${\displaystyle \Delta t}$의 시간 단계에서 근사치로 계산되며$,$ 여기서 어떤 빈에 수십에서 수백 개의 점이 떨어지는 경우.보통 이 정도면 견적을 낼 수 있다.null

국부적 표류 및 확산 계수를 추정하기 위해 궤도는 먼저 작은 인접 지역 내에서 그룹화된다.관찰영역은 측면 r의$$ 사각 빈 $S{\displaystyle (x_{}}$k ,${\displaystyle r}$ $){\displaystyle$ S$(x_{k}r)$와 $중심{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle k_{}}${\$displaystyle x_{k}}}$로 분할되며, 각$$ 사각형에 대한 국부적 표류 및 확산이 추정된다.Considering a sample with ${\displaystyle N_{t}}$ trajectories ${\displaystyle \{x^{i}(t_{1}),\dots ,x^{i}(t_{N_{s}})\},}$ where ${\displaystyle t_{j}}$ are the sampling times, the discretization of equation for the drift ${\displaystyle a(x_k)=(a_x({}_{}}$${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle y_{}}$( ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle a(x_{k}}=(a_{x})(x_{k}), a_{y}($$x_{k})$ 위치$$ $k$에 대한 각 공간 투영에 대해 다음과 같이 지정된다$$.

${\displaystyle a_{x}(x_{k})\approx {\frac {1}{N_{k}}}\sum _{j=1}^{N_{t}}\sum _{i=0,{\tilde {x}}_{i}^{j}\in S(x_{k},r)}^{N_{s}-1}\left({\frac {x_{i+1}^{j}-x_{i}^{j}}{\Delta t}}\right)}$

${\displaystyle a_{y}(x_{k})\approx {\frac {1}{N_{k}}}\sum _{j=1}^{N_{t}}\sum _{i=0,{\tilde {x}}_{i}^{j}\in S(x_{k},r)}^{N_{s}-1}\left({\frac {y_{i+1}^{j}-y_{i}^{j}}{\Delta t}}\right),}$

여기서 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 제곱 S(${\displaystyle x}$ $k{\displaystyle }$,${\displaystyle {}_{}}$r${\displaystyle }$) ${\displaystyle S($${\displaystyle {x\_}_{}}$${k},r)}$에 속하는 궤적의 수입니다$.$ 마찬가지로 유효 확산 텐서 D${\displaystyle (}x{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystytle D(x_{k}})$의 성분도 경험적 합으로 근사한다$$.

${\displaystyle D_{xx}(x_{k})\approx {\frac {1}{N_{k}}}\sum _{j=1}^{N_{t}}\sum _{i=0,x_{i}\in S(x_{k},r)}^{N_{s}-1}{\frac {(x_{i+1}^{j}-x_{i}^{j})^{2}}{2\,\Delta t}},}$

${\displaystyle D_{yy}(x_{k})\approx {\frac {1}{N_{k}}}\sum _{j=1}^{N_{t}}\sum _{i=0,x_{i}\in S(x_{k},r)}^{N_{s}-1}{\frac {(y_{i+1}^{j}-y_{i}^{j})^{2}}{2\,\Delta t}},}$

${\displaystyle D_{xy}(x_{k})\approx {\frac {1}{N_{k}}}\sum _{j=1}^{N_{t}}\sum _{i=0,x_{i}\in S(x_{k},r)}^{N_{s}-1}{\frac {(x_{i+1}^{j}-x_{i}^{j})(y_{i+1}^{j}-y_{i}^{j})}{2\,\Delta t}}.}$

모멘트 추정에는 각 지점을 통과하는 궤적이 다수 필요하며, 이는 생물학적 샘플에 대한 sptPALM 기법에 의해 획득된 것과 같은 특정 유형의 초해상도 데이터에 의해 생성된 방대한 데이터와 정확히 일치한다.라겐빈의 방정식의 정확한 뒤집기는 이론적으로 어떤 관심 지점 x를 통과하는 무한대의 궤적을 요구한다.실제로 한 지역을 반경 r의 사각 격자 또는 미닫이 창(50~100nm 순서)으로 세분화한 후 표류 및 확산 텐서의 회수를 얻는다.null

참조