심슨의 법칙

심슨의 규칙은 2차 보간체 P(x) (빨간색)에 의한 적분 및 f(x) (파란색)의 근사치로 도출할 수 있다.

심슨의 법칙이 포물선과 함수의 근사치를 보여주는 애니메이션과 줄어든 스텝 사이즈로 인한 오류 감소

심슨의 규칙 근사치가 더 많은 스트립과 함께 어떻게 개선되는지 보여주는 애니메이션.

수치적 통합에서 심슨의 규칙은 토마스 심슨(1710–1761)의 이름을 따서 명명된 명확한 통합에 대한 몇 가지 근사치들이다.

심슨의 1/3 규칙 또는 단지 심슨의 규칙이라고 불리는 이 규칙들 중 가장 기본적인 것은 읽는다.

$${\displaystyle \int_{a}^{b(x)\,dx\약 {\frac {b-a}{6}}\좌측[f(a)+4f\좌측]\frac {a+b}{2}}}}\오른쪽)+f(b)\오른쪽.}$$

독일어 및 일부 다른 언어에서는 요하네스 케플러의 이름을 따서 지었는데, 1615년 와인 배럴(바렐 룰, 케플러스체 파스레겔)에 쓰이는 것을 보고 파생한 것이다. f가 3도까지의 다항식일 경우 규칙의 대략적인 동일성이 정확해진다.

통합 범위[a, b]의 n개의 동일한 세분류에 1/3 규칙이 적용되는 경우 복합 심슨의 규칙을 얻는다. 통합 범위 내의 점에는 4/3과 2/3의 가중치가 번갈아 주어진다.

심슨의 두 번째 규칙이라고도 불리는 심슨의 3/8 규칙은 통합 범위 내에서 기능 평가를 한 번 더 요구하고 오차 한도를 낮추지만 오류 순서에 따라 개선되지는 않는다.

심슨의 1/3과 3/8 규칙은 닫힌 뉴턴-코트 공식의 두 가지 특별한 경우다.

해군 건축과 선박 안정성 평가에서도 일반적인 수치 분석에 특별한 중요성이 없는 심슨의 제3규칙(선박 안정성)이 존재한다.

심슨의 1/3 규칙

파생어

이차 보간법

One derivation replaces the integrand ${\displaystyle f(x)}$ by the quadratic polynomial (i.e. parabola) ${\displaystyle P(x)}$ that takes the same values as ${\displaystyle f(x)}$ at the end points ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ and the midpoint ${\dis$$Playstyle m=(a+b)/2$ Lagrange 다항식 보간법을 사용하여 이 다항식의 식을 찾을 수 있다.

$${\displaystyle P(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}$$

$${\displaystyle \int_{a}^{b(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\좌측[f(a)+4f\좌측({\frac {a+b}{2]}}}\오른쪽)+f(b)\오른쪽.}$$

$step{\displaystyle \mathrm{size}}$h = (${\displaystyle b\mathrm{}}$ - ${\displaystyle a}$) / 2 ${\displaystyle h=(b-a)/2}$을$($를) 도입하면 이 또한 일반적으로 다음과 같이 기록된다.

$${\displaystyle \int_{a}^{b(x)\,dx={\frac {h}{3}}\좌측[f(a)+4f\좌측({\frac {a+b}{2]}}}\오른쪽)+f(b)\오른쪽.}$$

$1{\displaystyle \mathrm{}}$/ ${\displaystyle 3\mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 1/$3}$ 요소$$ 때문에 심슨의 규칙은 "심슨의 1/3 규칙"(일반화는 아래 참조)이라고도 한다.

중간점 및 사다리꼴 규칙의 평균화

또 다른 유래는 심슨의 법칙을 두 가지 더 간단한 근사치로부터 구성한다: 중간점 법칙

$${\displaystyle M=(b-a)f\왼쪽({\frac {a+b}{2)}}}$$

$${\displaystyle T={\frac {1}{1}:{2}}(b-a){\big(}f(a)+f(b){\big )}.}$$

이 근사치의 오류는

$${\displaystyle {\frac {1}{24}(b-a)^{3}f"(a)+O{\big (}(b-a)^{4}{\big )}}}}}$$

$${\displaystyle -{\frac {1}{12}(b-a)^{3}f"(a)+O{\big (}(b-a)^{4}{\big )}}}}}$$

여기서 각각 $O{\displaystyle }$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle b}$- ${\displaystyle a{}^{}}$) ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$) ${\$는${\displaystyle }$(${\displaystyle b}$- ${\displaystyle a{}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 무증상 비례하는 용어를 나타낸다$$$.$ 두 $O{\displaystyle }$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle b}$- ${\displaystyle a{}^{}}$) ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle O{{\big (})(b-a)^{4}{\big )}}$ 항이$$ 같지 않음. 자세한 내용은 Big O 표기법을 참조하십시오. 가중 평균을 취하면 선행 오차항이 사라지는 중간점 및 사다리꼴 규칙의 오류에 대한 위의 공식에 따른다.

$${\displaystyle {\frac {2M+T}{3}}.}$$

다른 근사치(예: 점이 두 배 많은 사다리꼴 규칙)를 사용하면 적절한 가중 평균을 취하고 다른 오차항을 제거할 수 있다. 이것이 롬버그의 방법이다.

결정되지 않은 계수

세 번째 파생은 안사츠에서 시작된다.

$${\displaystyle {\frac {1}{b-a}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\약간 \f(a)+\f\flac {a+b}{2}}}\오른쪽)+\f(b)}$$

계수 α, β 및 γ은 이 근사치가 모든 2차 다항식에 대해 정확하도록 요구하여 고정할 수 있다. 이것은 심슨의 지배를 낳는다.

오류

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n=2}$에 대한 심슨의 규칙에 의한 적분 근사치의 오류는 다음과$$ 같다.

$${\displaystyle -{\frac {1}{90}\frac\frac {b-a}{2}}\오른쪽)^{5}f^{(4)(\xi ),}$$

여기서 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}($그리스 문자 xi)는 ${\displaystyle a}$과(와) $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ 사이의 일부 숫자다$.$^[2]

오류는 점증적으로${\displaystyle }$(${\displaystyle b}$- a${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 비례하는 것으로서$,$ 그러나 위의 파생은${\displaystyle }$(${\displaystyle b}$- a${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 비례하는 오류를 암시한다$.$ 심슨의 규칙은 통합과 평가되는 지점들이 간격에 대칭적으로 분포되기 때문에 추가 순서를 얻는다.${\displaystyle }[$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle \text{b}}$ ${\displaystyle ]}$ $[\displaystyle [a,\$ b$]}$

오차항은 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$에서 $f$ ${\displaystyle$ f$}$의 네 번째 파생상품에 비례하므로, 이는 심슨의 규칙이 3도 이하의$$ 모든 다항식 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 대해 정확한 결과를 제공한다는 것을 보여준다$.$ 이러한 다항식의 네 번째 파생상품은 모든 점에서 0이기 때문이다.

두 번째 파생 모델 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$ ${\$ f$'}$이(${\displaystyle 가}$) 존재하며$$ 간격${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle \text{b}}$) ${\displaystyle(a,\b)}$에 볼록한 경우$,$

$${\displaystyle (b-a)f\left\frac {a+b}{2}}\오른쪽)+{\frac {1}{1}{3}\frac {b-a}{2}}\오른쪽)^{3}f"\f"\frac {a+b}{2}}}\오른쪽)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {b-a}{6}\좌측[f(a)+4f\좌측]{a+b}{2}}}\오른쪽)+f(b)\오른쪽.}$$

복합 심슨의 법칙

${\displaystyle \mathrm{통합}}$ 간격${\displaystyle }$[ a ,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$이(가) 어떤 의미에서 "작음"이라면, $n{\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \mathrm{하위}}$ 절연을$$ 가진 심슨의 규칙은 정확한 적분에 대한 적절한 근사를 제공할 것이다. "작다"는 것은 통합되는 기능이${\displaystyle }$[ a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ $[\displaystyle [a,b]}$ 간격에 걸쳐 비교적 부드럽다는 것을 의미한다$.$ 그러한 기능에 대해서는 심슨의 규칙에 사용된 것과 같은 부드러운 2차 보간물이 좋은 결과를 줄 것이다.

그러나 우리가 통합하고자 하는 기능이 그 간격을 두고 매끄럽지 못한 경우가 많다. 일반적으로 이것은 함수가 매우 진동적이거나 특정 지점에서 파생상품이 부족하다는 것을 의미한다. 이런 경우 심슨의 통치는 매우 나쁜 결과를 줄 수도 있다. 이 문제를 처리하는 한 가지 일반적인 방법은 간격 [${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$을(를) > ${\displaystyle n>2}$개의 작은 하위 절편으로 나누는$$ 것이다. 그런 다음 심슨의 규칙은 각 하위 절에 적용되며, 결과는 전체 간격에 걸쳐 적분들에 대한 근사치를 산출하기 위해 합산된다. 이런 종류의 접근은 복합 심슨의 법칙이라고 불린다.

간격${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$이(가) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$ 하위 절편으로$$ 분할되고$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$이(가) 짝수라고$$ 가정합시다. 그 후, 복합 심슨의 규칙은 다음과 같다.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)\,dx&\approx {\frac {h}{3}}\sum _{j=1}^{n/2}{\big [}f(x_{2j-2})+4f(x_{2j-1})+f(x_{2j}){\big ]}\\&={\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_{n}){\bigg ]},\end{aligned}}}$$

where ${\displaystyle x_{j}=a+jh}$ for ${\displaystyle j=0,1,\dots ,n-1,n}$ with ${\displaystyle h=(b-a)/n}$; in particular, ${\displaystyle x_{0}=a}$ and ${\displaystyle x_{n}=b}$. $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n=2$}을$($를) 가진 이 복합 규칙은 앞의 섹션의 일반 심슨 규칙과 일치한다$$.

복합 심슨의 법칙에 의해 저질러진 오류는

$${\displaystyle -{\frac {h^{4}}{180}(b-a)f^{(4)}(\xi ),}$$

$여기$서 ▼ ${\displaystyle \xi}$은(는) ${\displaystyle a}$과$($와) $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ 사이의 일부 번호로, $h{\displaystyle }$= ${\displaystyle (b}$- a${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystysty h=(b-a)/n}$은 "단계 길이"^[3]이다$$. 오차는 (절대값으로) 에 의해 제한된다.

$${\displaystyle {\frac {h^{4}{180}(b-a)\max_{\xi \in [a,b]}f^{(4)(\xi ) .}$$

이 공식은 동일한 길이의 하위 절편에서${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$ 간격을 분할한다. 실제로 길이가 다른 서브인터레이션을 사용하고 통합이 잘 안 되는 곳에 노력을 집중하는 것이 유리할 때가 많다. 이것은 적응 심슨의 방법으로 이어진다.

심슨의 3/8 규칙

심슨의 두 번째 규칙이라고도 불리는 심슨의 3/8 규칙은 토마스 심슨이 제안한 또 다른 수치 통합 방법이다. 그것은 2차 보간보다는 입방 보간법에 근거한다. 심슨의 3/8 규칙은 다음과 같다.

$${\displaystyle {\required}\int _{a}^{b(x)\,dx&\ 약 {\frac {3h}{8}\왼쪽[f(a)+3f\left\frac {2a+b}{3}}}{3]3}}}}\오른쪽)+3f\left\frac {a+2b}{3}}}\오른쪽)+f(b)\오른쪽]\\&={\frac {(b-a)}{8}\왼쪽[f(a)+3f\왼쪽/frac {2a+b}{3}}}}\오른쪽)+3f\left\frac {a+2b}{3}}\오른쪽)+f(b)\오른쪽]\end{aigned}}$$

이 방법의 오류는

$${\displaystyle -{\frac {(b-a)^{5}{6480}f^{(4)}(\xi ),}$$

$여기$서 ▼ ${\displaystyle \xi}$은(는) ${\displaystyle a}$과(와) $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ 사이의 일부 번호$.$ 따라서 3/8규칙은 표준법보다 약 2배 정도 정확하지만 함수 값은 1배 정도 더 사용한다. 복합 3/8 규칙도 위와 유사하게 존재한다.^[4]

임의 수준의 다항식을 사용한 보간술에 대한 이 개념의 추가 일반화는 뉴턴-코트 공식이다.

복합 심슨의 3/8 법칙

간격${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$을(를) $길이{\displaystyle }$ h${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle b}$- a${\displaystyle )}$/ n ${\displaystyle h=(b-a)/n}$의 n ${\displaystyle n}$ 하위 절편으로$$ 나누고$$$$ 노드 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$=${\displaystyle }$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystystyle x_{$i}=$a]$를 $소개$한다$.$

$${\displaystyle{\begin{정렬}\int _ᆬ^ᆭf())\,dx&, \approx{\frac{tertiahora3시간마다.}{8}}{\big[}f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+2f(x_{3})+3f(x_{4})+3f(x_{5})+2f(x_{6})+{}\\&, \qquad\qquad \cdots +3f(x_{n-2})+3f(x_{n-1})+f(x_{n}){\big]}\\&, ={\frac{tertiahora3시간마다.}{8}}\left[f(x_{0})+3\sum_{i\neq 3k}^{n-1}f(x_{나는})+2\sum_{j=1}^{}n/3-1 f(x_{3j})+f(x_{n})\right]\quad{.\text{를}}k\in \mathb {N} _{0}.\end{정렬}}}$$

규칙의 나머지는 다음과^[4] 같이 표시된다.

$${\displaystyle -{\frac {h^{4}}{80}}(b-a)f^{(4)(\xi ),}$$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 3의 배수인 경우에만 이 기능을 사용할 수 있다. 1/3 규칙은 오차항의 순서를 변경하지 않고 남아 있는 하위절차에 사용할 수 있다(반대로 3/8규칙은 홀수 하위절차에 대해 복합 1/3규칙과 함께 사용할 수 있다).

대안적 확장 심슨의 법칙

이것은 복합 심슨 법칙의 또 다른 공식이다. 심슨의 법칙을 근사치할 적분들의 분리 부분에 적용하는 대신에 심슨의 규칙은 중복되는 부분들에 적용되어 양보된다^[5].

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{48}}{\big [}17f(x_{0})+59f(x_{1})+43f(x_{2})+49f(x_{3})+48\sum _{i=4}^{n-4}f(x_{i})+49f(x_{n-3})+43f(x_{n-2})+59f(x_{n-1})+17f(x_{n}){\bigg ]}.}$$

위의 공식은 원래 복합 심슨의 법칙과 극단적 하위절차에 심슨의 3/8 규칙을 사용하고 나머지 하위절차에 표준 3점 규칙을 사용함으로써 얻어진다. 그 다음 두 공식의 평균을 취함으로써 결과를 얻는다.

좁은 봉우리들의 경우 심슨의 법칙

좁은 피크 유사 함수의 전체 영역을 추정하는 작업에서 심슨의 규칙은 사다리꼴 규칙보다 훨씬 덜 효율적이다. 즉, 복합 심슨의 1/3 법칙은 사다리꼴 법칙과 동일한 정확도를^[6] 얻기 위해 1.8배 이상의 점수를 필요로 한다. 복합 심슨의 3/8 법칙은 훨씬 더 정확하지 않다. 심슨의 1/3 규칙에 의해 적분된 것은 사다리꼴 규칙에 의한 적분 2/3과 스텝 h에 의한 적분 1/3의 합으로 나타낼 수 있으며, 그 정확도는 스텝 2h의 직사각형 규칙에 의해 좌우된다. 적절하게 변경된 프레임으로 심슨의 1/3 규칙 복합 합계를 평균하면 다음과 같은 규칙이 생성된다.

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{24}}\left[-f(x_{-1})+12f(x_{0})+25f(x_{1})+24\sum _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n})-f(x_{n+1})\right],}$$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1})+23f(x_{2})+24\sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1})+9f(x_{n})\right],}$$

이 규칙들은 심슨의 대체적인 확장된 심슨의 규칙과 매우 유사하다. 통합되는 영역의 주요 부분 내의 계수는 1이며, 차이는 가장자리에만 있다. 이 두 규칙은 첫 번째 파생상품 용어를 사용하는 오일러-맥라우린 공식과 연관될 수 있으며, 이름을 오일러-맥라우린 통합 규칙으로 명명했다.^[6] 위에 제시된 두 가지 규칙은 지역 엔드에서의 첫 번째 파생상품이 계산되는 방식에서만 다르다. 오일러-맥라우린 통합 규칙의 첫 번째 파생상품 용어는 두 번째 파생상품의 적분을 설명하며, 이는 통합지역 가장자리의 첫 번째 파생상품의 차이와 같다. 오일러-매클라우린 공식으로 정의한 계수를 갖는 파생상품에 3번째, 5번째 등의 차이를 더하면 더 높은 순서의 오일러-매클라우린 규칙을 생성할 수 있다.

불규칙한 간격의 데이터에 대한 복합 심슨의 규칙

일부 애플리케이션의 경우 통합 간격 $I{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle I=[a,b]}$을(를) 불균일한 간격으로 나눌 필요가 있으며$$, 이는 데이터 샘플링이 불균일하거나 데이터 포인트가 누락되거나 손상되었기 때문일 수 있다. 구간 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$을(를) 폭 h ${\displaystyle k_{}}$ ${\$$k}$의 하위$$ 절편의 $짝수{\displaystyle }$ N ${\displaystyle N}$으로 나눈다고 가정합시다. 그 후 심슨의 법칙은 다음과^[7][8] 같다.

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=0}^{N/2-1}{\frac {h_{2i}+h_{2i+1}}{6}}\left[\left(2-{\frac {h_{2i+1}}{h_{2i}}}\right)f_{2i}+{\frac {(h_{2i}+h_{2i+1})^{2}}{h_{2i}h_{2i+1}}}f_{2i+1}+\left(2-{\frac {h_{2i}}{h_{2i+1}}}\right)f_{2i+2}\right],}$$

$${\displaystyle f_{k}=f\left(a+\sum _{i=0}^{k-1}h_{i}\오른쪽)}$$

간격 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$의 샘플링 포인트에$$ $있는{\displaystyle }$ 함수 값이다$.$

하위절차의 홀수 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$인 경우 위의 공식을 두 번째에서 마지막 간격까지 사용하고, 결과에 다음을 추가하여 마지막 간격을 별도로 처리한다.^{[citation needed]}

$${\displaystyle \alpha f_{N}+\beta f_{N-1}-\eta f_{N-2}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {2h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6(h_{N-2}+h_{N-1})}},\\[1ex]\beta &={\frac {h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6h_{N-2}}},\\[1ex]\eta &={\frac {h_{N-1}^{3}}{6h_{N-2}(h_{N-2}+h_{N-1})}}.\end{정렬}}}$$

로부터 컬렉션.collections.properties 수입하다 순서  반항하다 simpson_nonuniform(x: 순서[둥둥 뜨다], f: 순서[둥둥 뜨다]) -> 둥둥 뜨다:     """     심슨은 불규칙한 간격의 데이터를 지배한다.      :param x: 함수 값에 대한 샘플링 포인트     :param f: 샘플링 지점에서의 함수 값      :return: 적분 근사치      ``스파이"를 보라.통합시키다심프슨과 그 밑바탕에 깔려 있는 ``_basic_basic_     Numpy의 방송을 이용하는 보다 효과적인 구현을 위해.     """     N = 렌(x) - 1     h = [x[i + 1] - x[i] 을 위해 i 에 범위(0, N)]     주장하다 N > 0      결과 = 0.0     을 위해 i 에 범위(1, N, 2):         h0, h1 = h[i - 1], h[i]         hph, hdh, 흐음 = h1 + h0, h1 / h0, h1 * h0         결과 += (hph / 6) * (             (2 - hdh) * f[i - 1] + (hph**2 / 흐음) * f[i] + (2 - 1 / hdh) * f[i + 1]         )      만일 N % 2 == 1:         h0, h1 = h[N - 2], h[N - 1]         결과 += f[N]     * (2 * h1 ** 2 + 3 * h0 * h1) / (6 * (h0 + h1))         결과 += f[N - 1] * (h1 ** 2 + 3 * h1 * h0)     / (6 * h0)         결과 -= f[N - 2] * h1 ** 3                     / (6 * h0 * (h0 + h1))     돌아오다 결과 

참고 항목

• 가우스 사분법

메모들

참조

• Atkinson, Kendall E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50023-2.
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2000). Numerical Analysis (7th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9.
• Matthews, John H. (2004). "Simpson's 3/8 Rule for Numerical Integration". Numerical Analysis - Numerical Methods Project. California State University, Fullerton. Archived from the original on 4 December 2008. Retrieved 11 November 2008.
• Press, William H.; Flannery, Brian P.; Vetterling, William T.; Teukolsky, Saul A. (1989). Numerical Recipes in Pascal: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press. ISBN 0-521-37516-9.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003). An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1.
• Kaw, Autar; Kalu, Egwu; Nguyen, Duc (2008). "Numerical Methods with Applications".
• Weisstein, Eric W. (2010). "Newton-Cotes Formulas". MathWorld--A Wolframtite Web Resource. MathWorld. Retrieved 2 August 2010.

외부 링크

• "Simpson formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Simpson's Rule". MathWorld.
• 심슨의 규칙 적용 - 토공 굴착(참고: 이 페이지에 설명된 공식은 올바르지만 계산에 오류가 있어 명시된 623m3이 아닌 569m3의 결과가 나와야 한다.)
• 심슨의 1/3 통합 규칙 - STEM 학부를 위한 Notes, PPT, Mathcad, Matcherlab, Mathematica, Mapatica, Mapatica at Mapal Methods at Number Methods.
• 컴퓨터 구현에 대한 자세한 설명은 Fixnum Days의 Teach Yourself Scheme, 부록 C에서 Dorai Sitaram이 설명한다.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath에 대한 심슨 규정의 코드 자료가 포함되어 있다.