앤더슨 가속

수학에서 앤더슨 혼합이라고도 하는 앤더슨 가속은 고정점 반복의 수렴율 가속을 위한 방법이다.도날드 G가 소개한다.앤더슨,^[1] 이 기법은 계산과학 분야에서 자주 $f(x)=x$ 발생하는 고정점 $f(x)=x$ f $f(x)=x$ $f(x)=x$ ) $f(x)=x$ = $f(x)=x$ $f(x)=x$ 에 대한 해결책을 찾는 데 사용될 수 있다.

정의

감안할 때 함수 f:Rn→ Rn{\displaystyle f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}},;[2]기 위해서는 f{\displaystyle f}의 f그 문제에 대한 클래식 접근법은 고정 소수 점 반복 계획을 쓰는 것이다())=-1{\displaystyle f())=x}. 그 방정식은 해결책은 고정된 포인트,를 발견하는 것의 문제를 고려하모자용액에 대한 $x_{0}$ 초기 $x_{0}$ x $x_{0}$ {\ $displaystyle$ x_ ${0}$ 이(가) 주어진 경우, 어떤 수렴 기준을 충족할 때까지 x $x_{i+1}=f(x_{i})$ $x_{i+1}=f(x_{i})$ + $x_{i+1}=f(x_{i})$ = $x_{i+1}=f(x_{i})$ ( $x_{i+1}=f(x_{i})$ x $x_{i+1}=f(x_{i})$ ) $x_{i+1}=f(x_{i})$ 를 계산한다.그러나 그러한 체계의 정합성은 일반적으로 보장되지 않는다. 더욱이 정합화 속도는 대개 선형이기 때문에 $함수$ f $f$ 의 평가가 계산적으로 비싸면 $f$ 너무 느려질 수 있다.^[2]앤더슨 가속은 고정점 시퀀스의 수렴을 가속화하는 방법이다.^[2]

잔차 $g(x)=f(x)-x$ ( $g(x)=f(x)-x$ ) $g(x)=f(x)-x$ = $g(x)=f(x)-x$ ( $g(x)=f(x)-x$ ) $g(x)=f(x)-x$ - x (x ) - $g(x)=f(x)-x$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-$ x $g(x)=f(x)-x$ 을 $g_{k}=g(x_{k})$ 하고 g $g_{k}=g(x_{k})$ = $g_{k}=g(x_{k})$ ( $g_{k}=g(x_{k})$ $g_{k}=g(x_{k})$ ) ${\displaystyle g_{k}=g(x_$ ${k$ $}})}$ 를 표시한다( $g_{k}=g(x_{k})$ $x_{k}$ 서 x $x_{k}$ ${\$ 는 이전 $x_{k}$ 단락부터 반복하는 순서다.초기 추측 $x_{0}$ $x_{0}$ ${\$ 및 정수 $x_{0}$ 매개변수 $m\geq 1$ $m\geq 1$ 1 ${\displaystyle m\geq$ 1 $}$ 을(를) 감안할 때 $m\geq 1$ 방법은 다음과 같이 공식화할 수 있다.^[3]^{[note 1]}

x_{1}=f(x_{0})

\forall k=1,2,\properties

m_{k}=\min\{m,k\}}

G_{k}={\begin{bmatrix}g_{k_{k}}\dots &g_{k}\end{bmatrix}}}}}

\alpha _{k}=\operatorname {argmin} _{\alpha \in A_{k}\{k}\alpha \ _{2},\quad {\text{where}\;A_{k}=\\\\alpha =(\alpha _{0},\dots,\alpha _{m_{k}+1}:\mathb {R}^{m_{k}+1}:\sum _{i=0}^{m_{k}}\i}=1\}}}}}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

x_{k+1}=\sum _{i=0}^{m_{k}}(\reason _{k})_{i}f(x_{k-m_{k}+i}}}}}}

기존의 정지 기준은 방법의 반복을 끝내는 데 사용될 수 있다.예를 들어 $\|x_{k+1}-x_{k}\|$ ‖ $\|x_{k+1}-x_{k}\|$ $\|x_{k+1}-x_{k}\|$ + $\|x_{k+1}-x_{k}\|$ - $\|x_{k+1}-x_{k}\|$ $\|x_{k+1}-x_{k}\|$ $\|x_{k+1}-x_{k}\|$ ${\displaystyle$ \ $x_{k+1}-$ x_ ${k}\}}$ 이(가)^[2] 규정된 공차에 해당하거나 $\|x_{k+1}-x_{k}\|$ , 잔류 $g(x_{k})$ $g(x_{k})$ $g(x_{k})$ ) ${\displaystyle$ g $(x_{k})$ 가 규정된 공차에 해당될 $g(x_{k})$ 때 반복을 중지할 수 있다.

표준 고정점 반복에 관해서, 그 방법은 더 빨리 수렴하고 더 견고하며, 경우에 따라서는 고정점 순서의 차이를 피하는 것으로 밝혀졌다.^[3]^[4]

최소화 문제 해결

알고리즘의 각 반복에서 제한적 최적화 문제 $\operatorname {argmin} \|G_{k}\alpha \|_{2}$ g $\operatorname {argmin} \|G_{k}\alpha \|_{2}$ $\operatorname {argmin} \|G_{k}\alpha \|_{2}$ $\operatorname {argmin} \|G_{k}\alpha \|_{2}$ 2 ${\$ }} $\operatorname {argmin} \|G_{k}\alpha \|_{2}$ $\alpha \in A_{k}$ α $\alpha \in A_{k}$ A $\alpha \in A_{k}$ k ${\$ 의 적용을 받는 문제를 해결해야 한다 $\alpha \in A_{k}$ .이 문제는 다음과 같은 몇 가지 등가 공식에서 다시 제기될 수 있으며,^[3] 이는 보다 편리한 구현을 초래할 수 있는 다양한 해결 방법을 제시한다.

은 매트릭스 Gk=[gk− mk+1− gk− mk지만 gk− gk− 1]{\displaystyle{{G\mathcal}}_{k}={\begin{bmatrix}g_{k-m_{k}+1}-g_{k-m_{k}정의}&\dots &, g_{k}-g_{k-1}\end{bmatrix}}}및 Xk-경우)k− mk+1−)k− mk…)k− xk− 1. 뻗는다{)Displaystyle{{X\mathcal}}_{k}={\begin{bmatrix}x_{k-m_{k}+1}-x_{k-m_{k}}&\dots &, x_{k}-x_{k-1}\end{bmatrix}}}, γ k=argmin γ를 해결하 ∈ Rmkm그리고 4.9초 만 ⁡ ‖ gk− Gkm그리고 4.9초 만 γ ‖ 2{\displaystyle \gamma_{k}=\operatorname{argmin}_{\gamma\in \mathbb{R}^{m_{k}}})g_{k}-{{G\mathcal}}_{k}\gamma)_{2}}, 세트 )k+ $x_{k+1}=x_{k}+g_{k}-({\mathcal {X}}_{k}+{\mathcal {G}}_{k})\gamma _{k}$ = $x_{k+1}=x_{k}+g_{k}-({\mathcal {X}}_{k}+{\mathcal {G}}_{k})\gamma _{k}$ $x_{k+1}=x_{k}+g_{k}-({\mathcal {X}}_{k}+{\mathcal {G}}_{k})\gamma _{k}$ + $x_{k+1}=x_{k}+g_{k}-({\mathcal {X}}_{k}+{\mathcal {G}}_{k})\gamma _{k}$ $x_{k+1}=x_{k}+g_{k}-({\mathcal {X}}_{k}+{\mathcal {G}}_{k})\gamma _{k}$ - $x_{k+1}=x_{k}+g_{k}-({\mathcal {X}}_{k}+{\mathcal {G}}_{k})\gamma _{k}$ ( X $x_{k+1}=x_{k}+g_{k}-({\mathcal {X}}_{k}+{\mathcal {G}}_{k})\gamma _{k}$ + $x_{k+1}=x_{k}+g_{k}-({\mathcal {X}}_{k}+{\mathcal {G}}_{k})\gamma _{k}$ $x_{k+1}=x_{k}+g_{k}-({\mathcal {X}}_{k}+{\mathcal {G}}_{k})\gamma _{k}$ ) $x_{k+1}=x_{k}+g_{k}-({\mathcal {X}}_{k}+{\mathcal {G}}_{k})\gamma _{k}$ k ${\$ ^[3]^[4] ;
solve $\theta _{k}=\{(\theta _{k})_{i}\}_{i=1}^{m_{k}}=\operatorname {argmin} _{\theta \in \mathbb {R} ^{m_{k}}}\left\ g_{k}+\sum _{i=1}^{m_{k}}\theta _{i}(g_{k-i$ $-g_{k})\right\ _{2}}$ , then set $x_{k+1}=x_{k}+g_{k}+\sum _{j=1}^{m_{k}}(\theta _{k})_{j}(x_{k-j}-x_{k}+g_{k-j}-g_{k})$ .^[1]

최적화 문제는 두 선택 모두에 대해 QR 분해^[3] 및 단수 값 분해와 같은 표준 방법으로 해결할 수 있는 제한되지 않은 선형 최소 제곱 문제의 형태로,^[4] 최적화 문제의 순위 결함과 조건화 문제를 처리하기 위한 정규화 기법을 포함할 수 있다.보통 방정식을 풀어서 최소 제곱의 문제를 해결하는 것은 잠재적 수치 불안정성과 일반적으로 높은 계산 비용 때문에 권장되지 않는다.^[4]

방법의 정체( $x_{k+1}=x_{k}$ , $x_{k+1}=x_{k}$ 한 값을 갖는 후속 반복, x $x_{k+1}=x_{k}$ + 1 $x_{k+1}=x_{k}$ = $x_{k+1}=x_{k}$ $x_{k+1}=x_{k}$ ${\$ 는 최소 제곱 문제의 특이성으로 인해 방법이 파괴된다.마찬가지로 근사치( $x_{k+1}\approx x_{k}$ + $x_{k+1}\approx x_{k}$ $x_{k+1}\approx x_{k}$ $x_{k+1}\approx x_{k}$ $x_{k+1}\approx x_{k}$ ${\$ 는 최소 제곱 문제를 악화시킨다.또한 매개변수 $m$ $m$ 의 선택은 아래에서 설명하는 바와 같이 최소 제곱 문제의 조건을 결정하는 데 관련될 수 있다 $m$ .^[3]

이완

알고리즘은 가변 이완 파라미터(또는 혼합 파라미터) $\beta _{k}>0$ k $\beta _{k}>0$ > $\beta _{k}>0$ $\beta _{k}>0$ 을(를) 도입하여 수정할 수 있다 $\beta _{k}>0$ ^[1]^[3]^[4]각 단계에서 다음과 같이 새로운 반복을 계산하십시오.

x_{k+1}=(1-\beta _{k})\sum _{i=0}^{m_{k}}(\alpha _{k})_{i}x_{k-m_{k}+i}+\beta _{k}\sum _{i=0}^{m_{k}}(\alpha _{k})_{i}f(x_{k-m_{k}+i})\;.

\beta _{k}

\beta _{k}

{\

의 선택은 방법의 수렴 성질에 결정적이다

\beta _{k}

.

\beta _{k}

으로는

\beta _{k}

k

\beta _{k}

{\

displaystyle \beta _{k}

가 일정하게 선택되기는 하지만 반복마다 다를 수 있다

\beta _{k}

.^[4]

m의 선택

매개 변수 $m$ $m$ 에 따라 이전 반복에서 얻은 정보가 새 $x_{k+1}$ x $x_{k+1}$ + $x_{k+1}$ ${\$ 을 계산하는 데 사용되는 양이 $m$ 결정된다 $x_{k+1}$ 한편, $m$ $m$ 이(가) 너무 작다고 선택되면 $m$ , 너무 적은 정보를 사용하게 되고, 원치 않게 융합이 느려질 수 있다.한편, $m$ {\ $displaystyle m}$ 이 $m$ (^[3]가) 너무 크면, 너무 많은 후속 반복에 대해 구 반복으로부터의 정보가 유지될 수 있으므로, 다시 융합이 느려질 수 있다.더욱이 $m$ $m$ 의 선택은 최적화 문제의 크기에 영향을 $m$ 미친다. $m$ $m$ 의 값이 너무 크면 최소 제곱 문제의 상태와 솔루션 비용이 악화될 수 있다 $m$ .^[3]일반적으로 해결해야 할 특정 문제는 $m$ $m$ 매개 $m$ 변수의 최선의 선택을 결정한다.^[3]

$m_{k}$ k ${\$ 선택

위에서 설명한 알고리즘에 관해서, 각 반복에서 $m_{k}$ $m_{k}$ $m_{k}$ ${\$ 의 선택을 수정할 수 있다. $m_{k}=k$ 가지 가능성은 각 $m_{k}=k$ ${\displaystyle m_$ ${k}=k}$ 을 $m_{k}=k$ (를) $m_{k}=k$ 하는 것이다( $k$ 때로는 잘리지 않은 앤더슨 가속이라고도 함).^[3]이러한 방식으로 새로운 반복 $x_{k+1}$ $x_{k+1}$ + $x_{k+1}$ ${\$ }의 $x_{k+1}$ 모든 반복을 이전에 계산한 모든 반복을 사용하여 계산한다 $x_{k+1}$ . $m_{k}$ 정교한 기법은 최소 사각형 문제에 대한 충분한 조건을 유지할 수 있도록 $m_{k}$ $m_{k}$ k ${\$ 를 선택하는 것에 기초한다.^[3]

다른 종류의 방법과의 관계

$f(x)-x=0$ 의 방법은 $f(x)-x=0$ ( x $f(x)-x=0$ ) $f(x)-x=0$ - $f(x)-x=0$ = 0 $f(x)-x=0$ 의 해법에 적용하여 $f(x)-x=0$ $f(x)$ 수렴을 갖는 $f(x)$ f $f(x)$ ( $f(x)$ ) $f(x)$ 의 고정점을 계산할 수 있다.그러나 $f(x)$ 방법은 매우 비용이 많이 들 수 있는 $f(x)$ ( x $f(x)$ ) $f(x)$ 의 정확한 파생상품에 대한 평가를 요구한다 $f(x)$ ^[4]유한차이를 이용하여 파생상품에 근사치를 하는 것이 가능한 대안이지만, 각 반복마다 $f(x)$ $f(x)$ ( x $){\displaystyle f(x)}$ 에 대한 다중 평가가 필요한데, 이는 다시 매우 비용이 많이 들 수 있다.앤더슨 가속은 기능 $f(x)$ ( $f(x)$ ) $f(x)$ 에 대한 반복당 $f(x)$ 하나의 평가만 필요하며, 파생 모델에 대한 평가는 필요하지 않다.반면에 앤더슨 가속 고정점 시퀀스의 수렴은 일반적으로 여전히 선형이다.^[5]

몇몇 저자들은 앤더슨 가속도와 비선형 방정식 해법에 대한 다른 방법들 사이의 유사성을 지적했다.특히:

Eyert와^[6] Fang과 Saad는^[4] 비선형 방정식 $g(x)=0$ ( $g(x)=0$ ) $g(x)=0$ = 0 $g(x)=0$ 의 해법에 대해 잘 알려진 secant 방법을 일반화하는 준 뉴턴 및 멀티세컨트 방법의 클래스 내의 알고리즘을 해석했다 $g(x)=0$ 또한 이 알고리즘이 Broyden 클래스에서 하나의 방법으로 보일 수 있는 방법을 보여주었다.^[7]
워커와 Ni[3][8]은 앤더슨 가속도가 GMRES 메서드에 선형 문제(Ax에 대한 해결책이 없다는 문제 예)){\displaystyle A\mathbf{x}=\mathbf{x}}정사각형 행렬에 대한{\displaystyle})의 같은 경우에는, 따라서 GMRES의지 않은에 대한 일반화로 볼 수 있는 동일한 것으로 나타났다.선형비슷한 결과가 와시오와 오스테리에 의해 발견되었다.^[9]

더욱이, 고정점 방정식의 일반적인 방법이라기 보다는 특정한 관심 적용의 맥락에서 가장 흔히 발생하기는 하지만,^[9]^[10]^[11]^[12]^[13] 몇 가지 동등하거나 거의 동등한 방법들이 다른 저자들에 의해 독립적으로 개발되었다.

MATLAB 구현 예

$다음$ 은 함수 $f(x)=\sin(x)+\arctan(x)$ ( $f(x)=\sin(x)+\arctan(x)$ ) $f(x)=\sin(x)+\arctan(x)$ = $f(x)=\sin(x)+\arctan(x)$ $f(x)=\sin(x)+\arctan(x)$ ( x $f(x)=\sin(x)+\arctan(x)$ ) $f(x)=\sin(x)+\arctan(x)$ + $arctan x$ ( $f(x)=\sin(x)+\arctan(x)$ x )의 고정점을 찾기 위한 앤더슨 가속도 체계의 $MATLAB$ 언어의 $구현$ 예 $f(x)=\sin(x)+\arctan(x)$ 다음 $사항$ 에 유의하십시오 $.$

the optimization problem was solved in the form $\gamma _{k}=\operatorname {argmin} _{\gamma \in \mathbb {R} ^{m_{k}}}\ g_{k}-{\mathcal {G}}_{k}\gamma \ _{2}$ using QR decomposition;
QR 분해의 연산은 차선이다. 실제로 각 반복마다 단일 열이 ${\mathcal {G}}_{k}$ G ${\mathcal {G}}_{k}$ ${\$ 에 추가되고 단일 열이 제거될 수 있다 ${\mathcal {G}}_{k}$ 이러한 사실을 이용하여 QR 분해의 연산 노력을 덜하고 효율적으로 업데이트할 수 있다.^[14]
$x_{k}$ 은 반복 $x_{k}$ {\ $displaystyle x_{k}$ 의 전체 벡터가 필요하지 $x_{k}$ 않은 경우 최근 몇 번의 반복과 잔차만 저장하여 메모리 효율을 높일 수 있다.
그 코드는 벡터 $f(x)$ f $f(x)$ ( $f(x)$ ) ${\displaystyle$ f $(x)}$ 의 경우에 직접적으로 일반화된다 $f(x)$

f = @(x) 죄를 짓다(x) + 아탄(x); 고정점을 계산할 함수 비율. x0 = 1; % 초기 추측.  k_max = 100; 최대 반복 횟수(%) tol_res = 1e-6; 잔차에 대한 공차 %. m = 3; % 매개 변수 m.  x = [x0, f(x0)]; % 반복측정값 x. g = f(x) - x; % 잔차 벡터  G_k = g(2) - g(1); % 잔차 증분 행렬. X_k = x(2) - x(1); 백분율 증분 행렬(x)  k = 2; 하는 동안에 k < k_max && 복근(g(k)) > tol_res     m_k = 분(k, m);       % QR 분해로 최적화 문제를 해결한다.     [Q, R] = qr(G_k);     감마_k = R \ (Q' * g(k));       % 새 반복 및 새 잔차 계산     x(k + 1) = x(k) + g(k) - (X_k + G_k) * 감마_k;     g(k + 1) = f(x(k + 1)) - x(k + 1);       % 증분 행렬을 새 요소로 업데이트.     X_k = [X_k, x(k + 1) - x(k)];     G_k = [G_k, g(k + 1) - g(k)];       n = 치수를 매기다(X_k, 2);     만일 n > m_k         X_k = X_k(:, n - m_k + 1:종지부를 찍다);         G_k = G_k(:, n - m_k + 1:종지부를 찍다);     종지부를 찍다       k = k + 1; 종지부를 찍다  % 출력 결과: 9회 반복 후 계산된 고정점 2.013444 인쇄물("%d 반복\n" 후 계산된 고정점 %f", x(종지부를 찍다), k);

참고 항목

메모들

^ 이 공식은 원작자가 준 것과 같지 않다;^[1] 그것은 워커와 니가 준 동등하고 더 노골적인 공식이다.^[3]

참조

^ ^a ^b ^c ^d Anderson, Donald G. (October 1965). "Iterative Procedures for Nonlinear Integral Equations". Journal of the ACM. 12 (4): 547–560. doi:10.1145/321296.321305.
^ ^a ^b ^c ^d Quarteroni, Alfio; Sacco, Riccardo; Saleri, Fausto. Numerical mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 978-3-540-49809-4.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ Walker, Homer F.; Ni, Peng (January 2011). "Anderson Acceleration for Fixed-Point Iterations". SIAM Journal on Numerical Analysis. 49 (4): 1715–1735. doi:10.1137/10078356X.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Fang, Haw-ren; Saad, Yousef (March 2009). "Two classes of multisecant methods for nonlinear acceleration". Numerical Linear Algebra with Applications. 16 (3): 197–221. doi:10.1002/nla.617.
^ Evans, Claire; Pollock, Sara; Rebholz, Leo G.; Xiao, Mengying (20 February 2020). "A Proof That Anderson Acceleration Improves the Convergence Rate in Linearly Converging Fixed-Point Methods (But Not in Those Converging Quadratically)". SIAM Journal on Numerical Analysis. 58 (1): 788–810. arXiv:1810.08455. doi:10.1137/19M1245384.
^ Eyert, V. (March 1996). "A Comparative Study on Methods for Convergence Acceleration of Iterative Vector Sequences". Journal of Computational Physics. 124 (2): 271–285. doi:10.1006/jcph.1996.0059.
^ Broyden, C. G. (1965). "A class of methods for solving nonlinear simultaneous equations". Mathematics of Computation. 19 (92): 577–577. doi:10.1090/S0025-5718-1965-0198670-6.
^ Ni, Peng (November 2009). Anderson Acceleration of Fixed-point Iteration with Applications to Electronic Structure Computations (PhD).
^ ^a ^b Oosterlee, C. W.; Washio, T. (January 2000). "Krylov Subspace Acceleration of Nonlinear Multigrid with Application to Recirculating Flows". SIAM Journal on Scientific Computing. 21 (5): 1670–1690. doi:10.1137/S1064827598338093.
^ Pulay, Péter (July 1980). "Convergence acceleration of iterative sequences. the case of scf iteration". Chemical Physics Letters. 73 (2): 393–398. doi:10.1016/0009-2614(80)80396-4.
^ Pulay, P. (1982). "ImprovedSCF convergence acceleration". Journal of Computational Chemistry. 3 (4): 556–560. doi:10.1002/jcc.540030413.
^ Carlson, Neil N.; Miller, Keith (May 1998). "Design and Application of a Gradient-Weighted Moving Finite Element Code I: in One Dimension". SIAM Journal on Scientific Computing. 19 (3): 728–765. doi:10.1137/S106482759426955X.
^ Miller, Keith (November 2005). "Nonlinear Krylov and moving nodes in the method of lines". Journal of Computational and Applied Mathematics. 183 (2): 275–287. doi:10.1016/j.cam.2004.12.032.
^ Daniel, J. W.; Gragg, W. B.; Kaufman, L.; Stewart, G. W. (October 1976). "Reorthogonalization and stable algorithms for updating the Gram-Schmidt $QR$ factorization". Mathematics of Computation. 30 (136): 772–772. doi:10.1090/S0025-5718-1976-0431641-8.

[4] 이 공식은 원작자가 준 것과 같지 않다;^[1] 그것은 워커와 니가 준 동등하고 더 노골적인 공식이다.^[3]

[Anderson1965-1] Anderson, Donald G. (October 1965). "Iterative Procedures for Nonlinear Integral Equations". Journal of the ACM. 12 (4): 547–560. doi:10.1145/321296.321305.

[Quarteroni-Sacco-2] Quarteroni, Alfio; Sacco, Riccardo; Saleri, Fausto. Numerical mathematics (2nd ed.). Springer. ISBN 978-3-540-49809-4.

[Walker2011-3] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ Walker, Homer F.; Ni, Peng (January 2011). "Anderson Acceleration for Fixed-Point Iterations". SIAM Journal on Numerical Analysis. 49 (4): 1715–1735. doi:10.1137/10078356X.

[Fang2009-5] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Fang, Haw-ren; Saad, Yousef (March 2009). "Two classes of multisecant methods for nonlinear acceleration". Numerical Linear Algebra with Applications. 16 (3): 197–221. doi:10.1002/nla.617.

[Evans2020-6] Evans, Claire; Pollock, Sara; Rebholz, Leo G.; Xiao, Mengying (20 February 2020). "A Proof That Anderson Acceleration Improves the Convergence Rate in Linearly Converging Fixed-Point Methods (But Not in Those Converging Quadratically)". SIAM Journal on Numerical Analysis. 58 (1): 788–810. arXiv:1810.08455. doi:10.1137/19M1245384.

[7] Eyert, V. (March 1996). "A Comparative Study on Methods for Convergence Acceleration of Iterative Vector Sequences". Journal of Computational Physics. 124 (2): 271–285. doi:10.1006/jcph.1996.0059.

[Broyden1965-8] Broyden, C. G. (1965). "A class of methods for solving nonlinear simultaneous equations". Mathematics of Computation. 19 (92): 577–577. doi:10.1090/S0025-5718-1965-0198670-6.

[Ni2009-9] Ni, Peng (November 2009). Anderson Acceleration of Fixed-point Iteration with Applications to Electronic Structure Computations (PhD).

[Washio1997-10] Oosterlee, C. W.; Washio, T. (January 2000). "Krylov Subspace Acceleration of Nonlinear Multigrid with Application to Recirculating Flows". SIAM Journal on Scientific Computing. 21 (5): 1670–1690. doi:10.1137/S1064827598338093.

[Pulay1980-11] Pulay, Péter (July 1980). "Convergence acceleration of iterative sequences. the case of scf iteration". Chemical Physics Letters. 73 (2): 393–398. doi:10.1016/0009-2614(80)80396-4.

[12] Pulay, P. (1982). "ImprovedSCF convergence acceleration". Journal of Computational Chemistry. 3 (4): 556–560. doi:10.1002/jcc.540030413.

[Carlson1998-13] Carlson, Neil N.; Miller, Keith (May 1998). "Design and Application of a Gradient-Weighted Moving Finite Element Code I: in One Dimension". SIAM Journal on Scientific Computing. 19 (3): 728–765. doi:10.1137/S106482759426955X.

[Miller2005-14] Miller, Keith (November 2005). "Nonlinear Krylov and moving nodes in the method of lines". Journal of Computational and Applied Mathematics. 183 (2): 275–287. doi:10.1016/j.cam.2004.12.032.

[15] Daniel, J. W.; Gragg, W. B.; Kaufman, L.; Stewart, G. W. (October 1976). "Reorthogonalization and stable algorithms for updating the Gram-Schmidt $QR$ factorization". Mathematics of Computation. 30 (136): 772–772. doi:10.1090/S0025-5718-1976-0431641-8.

[1]

[2]

[3]

[note 1]

[4]

[5]

[6]

[7]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Search

앤더슨 가속

네임스페이스

더

목차