슈르 다항식

수학에서 Issai Schur의 이름을 딴 Schur 다항식은 기본 대칭 다항식 및 완전한 동종 대칭 다항식을 일반화하는 파티션에 의해 색인화된 n 변수의 특정 대칭 다항식이다.표현 이론에서 그것들은 일반 선형 집단의 다항식 불가해한 표현들의 문자들이다.슈르 다항식은 모든 대칭 다항식의 공간에 대한 선형 기준을 형성한다.슈르 다항식의 모든 생산물은 음이 아닌 적분 계수를 가진 슈르 다항식의 선형 조합으로 쓸 수 있다. 이 계수들의 값은 리틀우드-리처드슨 규칙에 의해 조합적으로 주어진다.보다 일반적으로 스큐 슈르 다항식은 파티션 쌍과 연관되어 있으며 슈르 다항식과 유사한 속성을 가지고 있다.

정의(자코비의 바이알 대체식)

슈르 다항식은 정수 파티션에 의해 색인화된다.칸막이 λ = (λ₁, λ₂, …, λ_n), 여기서 λ₁₂ ≥ … … ≥, 각_n λ은_j 음이 아닌 정수인 경우 함수

${\displaystyle a_{(\lambda_{1}+n-1,\lambda_{2}+n-2,\dots ,\lambda_{n})}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left는 경우에는{\begin{행렬}x_{1}^{\lambda_{1}+n-1}&x_{2}^{\lambda_{1}+n-1}&\dots &, x_{n}^{\lambda_{1}+n-1}\\x_{1}^{\lambda_{2}+n-2}&x_{2}^{\lambda_{2}+n-2}&\dots &, x_{n}^{\lambda_{2}+n-2}\\\vdots &, \vdots &, \ddots &a.융점, \vdots \\x_{1}^{\lambda_{n}}&x_{{}^{\lambda _{n}#{n}#{n}^{\n1}^{\n1}{n}\end{n1}\오른쪽]}$

결정 인자의 속성에 의해 교차 다항식이다.다항식은 변수의 어떤 전치에서도 부호를 변경할 경우 교대한다.

서로 교대하기 때문에, 모두 반데르몬드 결정체에 의해 분리될 수 있다.

${\displaystyle a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&\dots &x_{n}^{n-1}\\x_{1}^{n-2}&x_{2}^{n-2}&\dots &x_{n}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&1&\dots &1\end{matrix}}\right]=\prod _{1\leq j<k\leq n}(x_{j}-x_{k}).}$

슈르 다항식은 비율로 정의된다.

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n}+0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}{a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}.}$

자코비의 바이알 대체 공식으로 알려져 있지웨일 문자 공식의 특별한 경우다.

이것은 분자와 분모가 모두 교대로 되어 있기 때문에 대칭함수인 것이고, 모든 교대 다항식은 반데르몬드 결정요소에 의해 분리되기 때문에 다항식이다.

특성.

n 변수의 도 d 슈르 다항식은 n 변수의 동종 도 d 대칭 다항식 공간에 대한 선형 기초다.파티션 λ = ( (, λ₁₂, ..., λ_n)의 경우 슈르 다항식은 단항 합이다.

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}=\sum _{T}x^{}T}=\sum _{T}x_{1}^{t_{1}^{1}}\cdots x_{n}^{t_{n}}}}}}$

여기서 요약은 형태 λ의 모든 세미스판다드 영 tableau T에 걸쳐 있다.지수 t₁, ... t는_n T의 가중치를 부여하며, 즉 각 t는_i T의 숫자 i의 발생을 계산한다.이는 린드스트룀-제셀-비엔노트 보조정리기를 사용한 첫 번째 지암벨리 공식의 정의와 동등한 것으로 보여질 수 있다(이 페이지에 요약되어 있음).

슈르 다항식은 코스트카 번호라 불리는 비 음의 정수 계수 K와_λμ 함께 단항 대칭 함수_μ m의 선형 조합으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }\}\}}$

Kostka 번호_λμ K는 모양 λ과 무게 μ의 반표준 Young tableaux의 숫자로 주어진다.

자코비-트루디 정체성

첫 번째 자코비-트루디 공식은 슈르 다항식을 완전한 동종 대칭 다항식의 관점에서 결정요인으로 표현한다.

${\displaystyle s_{\putda }=\det(h_{\putda _{i}+j-i})_{i,j=1}^{l(\lambda )}=\det \left[{\begin{matrix}h_{\lambda _{1}}&h_{\lambda _{1}+1}&\dots &h_{\lambda _{1}+n-1}\\h_{\lambda _{2}-1}&h_{\lambda _{2}}&\dots &h_{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\h_{\lambda _{n}-n+1}&h_{\lambda _{n}-n+2}&\dots &h_{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right],}$

여기서_i h :=s_(i).^[1]

두 번째 자코비-트루디 공식은 슈르 다항식을 기초 대칭 다항식의 관점에서 결정요인으로 표현한다.

${\displaystyle s_{\putda }=\det(e_{\putda '_{i}+j-i})_{i,j=1}^{l(\lambda의)}=\det \left는 경우에는{\begin{행렬}e_{\lambda '_{1}}&e_{\lambda '_{1}+1}&\dots &, e_{\lambda '_{1}+l-1}\\e_{\lambda '_{2}-1}&e_{\lambda '_{2}}&\dots &, e_{\lambda '_{2}+l-2}\\\vdots &, \vdots &, \ddots &, \vdots \\e_{\lambda '_{나는}-l+1}&e_{\lambda '_{나는}-l+2}&\dots &, e_{\lambda '_{나는}}\end{매트릭스}}\r.밤 해결,}$

여기서 e_i :=s와_(1ⁱ) λ'은 λ에 대한 결합 분할이다.^[2]

두 ID 모두 첨자가 음수인 함수는 0으로 정의된다.

잠벨리 정체성

또 다른 결정적인 정체성은 Giambelli의 공식으로, 임의 파티션에 대한 Schur 함수를 영 다이어그램에 포함된 후크 파티션에 대한 함수로 표현한다.프로베니우스의 표기법에서는 칸막이를 가리킨다.

${\displaystyle(a_{1},\ldots ,a_{r}\mid b_{1},\ldots ,b_{r}}}}$

여기서, 위치 ii의 각 대각선 요소에 대해 a는_i 같은 행에서 오른쪽에 있는 상자의 수를 나타내며 b는_i 같은 열(팔과 다리 길이 각각)에서 그 아래에 있는 상자의 수를 나타낸다.

Giambelli ID는 이 파티션에 해당하는 Schur 함수를 결정 요소로 표현한다.

${\displaystyle s_{(a_{1},\ldots ,a_{r}\mid b_{1},\ldots,b_{r}}}=\det(s_{(a_{i}\mid b_j}}}})}}$

훅 파티션을 위한 것 중이지.

카우치 정체성

Schur에 대한 Cauchy ID는 기능(현재 무한히 많은 변수에서), 그리고 그 이중 상태는

${\displaystyle \sum \sum _{\sumda _{\sums}s_{\sumda }m_{\sumda }h}}{\prod _{i_{i}y_{j}}^{-1},},},}$

그리고

${\displaystyle \sum \sum _{\sumda _{\sums_{\sumda }m_{\sumda }m_{\sumda }e_{\prod _{i,j},}},}$

여기서 합계가 모든 파티션 partitions과 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ (${\displaystyle {}_{}x}$) ${\displaystyle h_{\displayda }($$x$$)\},$ $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \lambda {}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle e_{\displayda }}}}}}$는 각각 완전한 대칭 함수와 기본 대칭 함수를 나타낸다$$.If the sum is taken over products of Schur polynomials in ${\displaystyle n}$ variables ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$, the sum includes only partitions of length ${\displaystyle \ell (\lambda )\leq n}$ since otherwise the Schur polynomials vanish.

이러한 정체성의 일반화는 대칭적 기능의 다른 가족에 많이 있다.예를 들어 맥도날드 다항식, 슈베르트 다항식, 그로텐디크 다항식 등은 카우치 같은 정체성을 인정한다.

추가 신원

슈르 다항식은 홀-리틀우드 다항식의 전문화를 통해서도 계산할 수 있다.

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\sum _{w\in S_{n}/S_{n}^{\lambda }}w\left(x^{\lambda }\prod _{\lambda _{i}>\lambda _{j}}{\frac {x_{i}}{x_{i}-x_{j}}}\right)}$

여기서 $S{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\$는 모든 i에 대해$$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ w${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {)}_{}}$= ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ i ${\$와 같은 순열의 부분군이다.

무르난-나카야마의 통치

무르나한-나카야마 규칙은 슈르 다항식(Schur polynomial)으로 파워섬 대칭함수의 산물을 표현한다.

${\displaystyle p_{r}\cdot s_{\cdoda }=\sum _{\mu }-1)^{ht(\mu /\mu )+1}s_{\mu }}}}}}}}}}}$

μ/μ가 크기 r의 림 후크이고 ht(μ/μ)가 도표 μ/μ의 행 수입니다.

리틀우드-리처드슨 지배와 피에리의 공식

리틀우드-리처드슨 계수는 세 개의 파티션(예:$$$\mu {\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mu ,}$ μ, ${\displaystyle \mu }$, $\displaystyle$ $\lambda$ $,\mu ,\nu$$})$에 따라 달라지는데$,$ 이 중 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\nu$}은$$ 슈르 함수를 곱하는 것을 설명하고$$$$ 있으며, { ${\\\\displaystate$ \displaystycu \displaystate \nu \cu$$\cu \displaystate \cu \c선형$$ 조합, 즉 계수 c ${\displaystyle {\lambda }_{}^{}}$ ,${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$ μ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$

${\displaystyle s_{\putda }s_{\mu }=\sum _{\nu }c_{\putda,\mu ^{\nu }}}$

리틀우드-리처드슨 규칙은 $c{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\lambda ,}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\mu \nu }}_{}^{}}$,${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 $\nu {\displaystyle }$/${\displaystyle \lambda }$ ${\$displaysty \$nu$$/\lambda$$}$의 리틀우드-리처드 \$mu$ 테이블a$.$

피에리의 공식은 리틀우드-리처드슨 규칙의 특수한 경우로서, 제품 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\$을 슈르 다항식의 관점에서$$ 표현한다.듀얼 버전은 슈르 다항식의 관점에서$$ e ${\displaystyle r_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$을 표현한다.

전문화

(1,1,1,...,1)에서 슈르 다항식_λ s를 평가하면 1, 2, ..., n에 입력된 형태 λ의 반표준 Young tableaux의 숫자를 알 수 있다. 예를 들어 Weyl 문자 공식을 사용하면 다음과 같은 것을 알 수 있다.

${\displaystyle s_{\j-i}{j}{j-i}{j-i}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}{1\leq n}{\frac _\frac _{j}+j-i}{j-i}}}}.}$

이 공식에서 영 다이어그램의 각 행의 폭을 나타내는 튜플인 ,은 길이가 n이 될 때까지 암시적으로 0으로 확장된다.원소 λ의_i 합은 d이다.고정 λ에 대해 동일한 양을 계산하는 후크 길이 공식도 참조하십시오.

예

다음의 확장된 예는 이러한 생각을 명확히 하는 데 도움이 되어야 한다.사례 n = 3, d = 4를 고려하십시오.Ferrers 도표나 다른 방법을 사용하면 4의 4개 칸막이가 최대 3개 부분이라는 것을 알 수 있다.우리는 가지고 있다.

${\displaystyle s_{(2,1,1)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{matrix}}\right]=x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,(x_{1}+x_{2}+x_{3})}$

${\displaystyle s_{(2,2,0)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{3}&x_{2}^{3}&x_{3}^{3}\\1&1&1\end{matrix}}\right]=x_{1}^{2}\,x_{2}^{2}+x_{1}^{2}\,x_{3}^{2}+x_{2}}^{2}\,x_{3}^{2}+x_{1}^{2}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}^{2}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}}\,x_{2}\,x_{3}^{2}}:$

여기서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta$}은$($는) Vandermonde 결정 요인 $a{\displaystyle {}_{}}$( 2,${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle 0_{}}$) (${\displaystyle {}_{}}$x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$) ${\displaysty a_{{1}(x_{1},x_{2},x_{3$ 요약:

1. ${\displaystyle s_{{(2,1,1)}=e_{1}\,e_{3}}}$
2. ${\displaystyle s_{{(2,0)}=e_{2}^{2}-e_{1}\,e_{3}}}$
3. ${\displaystyle s_{{{1,0}}=e_{1}^{2}\,e_{2}-e_{2}^{2}-e_{2}^{2}-e_{1}\,e_{3}}}}}$
4. ${\displaystyle s_{{0,0}}=e_{1}^{4}-3\,e_{1}^{2}\,e_{2}+2\,e_{1}\,e_{3}+e_{2}}^{2}.}$

세 변수의 모든 동질적 도-4 대칭적 다항식은 이들 4개의 슈르 다항식의 고유한 선형 결합으로 표현될 수 있으며, 이 조합은 적절한 제거 순서에 대한 그뢰브너 기준을 사용하여 다시 찾을 수 있다.예를 들어,

${\displaystyle \phi(x_{1},x_{2},x_{3}=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}}}}}}}}{4}+x_{3}^{4}}}}}}}}}}{4}}}}}}}}$

분명히 4도 동종인 대칭 다항식이고, 우리는

${\displaystyle \phi =s_{(2,1,1)}-s_{(3,1,0)+s_{(4,0,0)}\,\!}$

표현 이론과의 관계

슈르 다항식은 대칭군, 일반 선형군, 단일군 등의 표현 이론에서 발생한다.Weyl 문자 공식은 Schur 다항식들이 일반 선형 집단의 유한 차원 불가해한 표현들의 문자라는 것을 암시하며, Schur의 작업을 다른 컴팩트하고 반이행적인 Lie 집단에 일반화하는 데 도움을 준다.

이 관계에 대한 서너가지 표현이 드러나면,는 슈어 기능의 대칭 전력 기능 면에서 가장 중요한의 확장 sλ p k=∑ 나는 x 나는 k{\displaystyle p_{k}=\sum _{나는}x_{나는}^{k}}. 만약 우리가 쓰는 χλρ의 캐릭터의 표현의 대칭 군을 인덱싱에 의해 파티션 λ evalu.먹었다d 파티션에 의해 인덱싱된 사이클 유형의 요소에서 다음

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\nu }{\frac {\chi _{\nu }^{\lambda }}{z_{\nu }}}p_{\nu }=\sum _{\rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )}\chi _{\rho }^{\lambda }\prod _{k}{\frac {p_{k}^{r_{k}}}{r_{k}!k^{r_{k}}}},}$

여기서 ρ = (1^r₁, 2^r₂, 3^r₃, ...)는 칸막이 ρ이 길이_k k의 r 부분을 가지고 있음을 의미한다.

이것에 대한 증거는 R에서 찾을 수 있다.Stanley's Enumerative Compinatorics 제2권, Corollary 7.17.5.

정수 χ은^λ
_ρ 무르나한-나카야마 규칙을 사용하여 계산할 수 있다.

슈르 긍정

표현 이론과의 연관성 때문에 슈르함수에서 긍정적으로 확장되는 대칭함수가 특히 흥미롭다.예를 들어 스큐 슈르 함수는 일반 슈르 함수에 긍정적으로 확장되며 계수는 리틀우드-리처드슨 계수다.

이것의 특별한 경우는 슈르 함수에서 완전한 동종 대칭 함수 h의_λ 확장이다.이 분해는 순열 모듈이 어떻게 다시 되돌릴 수 없는 표현으로 분해되는지를 반영한다.

슈르 긍정의 증명 방법

주어진 대칭함수 F의 슈르 긍정성을 증명하기 위한 몇 가지 접근법이 있다.만약 F가 조합적인 방식으로 설명된다면, 직접적인 접근은 준표준 영 테이블로 바이어스를 생산하는 것이다.Edelman-Green 통신과 Robinson-Schensted-Knuth 서신은 그러한 편향의 예들이다.

더 많은 구조를 가진 편향은 소위 크리스탈이라고 불리는 것을 사용하는 증거다.이 방법은 기본 조합 개체에 대한 로컬 규칙으로 설명된 특정 그래프 구조를 정의하는 것으로 설명할 수 있다.

비슷한 생각은 이중 동등성의 개념이다.이 접근법은 또한 그래프 구조를 사용하지만, 근본적인 quasymmetric 기반에서의 확장을 나타내는 물체에 대해서도 사용한다.그것은 RSK와 밀접한 관련이 있다.

일반화

스큐 슈르 함수

Skew Schur 함수는 μ와_λ/μ μ의 두 파티션에 따라 달라지며 속성으로 정의할 수 있다.

${\displaystyle \langles s_{\langlesa /\mu }s_{\\nu }\langles =\langles s_{\mu }s_{\nu }\langle .}$

여기서, 내측 제품은 홀 내측 제품이며, 이 제품에는 슈르 다항식이 직교 기준을 형성한다.

일반적인 슈르 다항식들과 비슷하게, 이것들을 계산하는 많은 방법들이 있다.그에 상응하는 자코비 트루디 신원은

${\displaystyle s_{\boda /\mu }=\det(h_{\boda_{i}-\mu_{j}-i+j}}_{i,j=1}^{l(\boda )}}}}}}}}$

${\displaystyle s_{\disda '/\mu '/}=\det(e_{\\data_{i}-\mu_{j}-i+j})_{i,j=1}^{l(\da )}}}}}}$

스큐 다항식의 조합 해석도 있는데, 즉, 스큐형상 $[\displaystyle \lambda /\mu }$의 모든 반표준 영 tableaux (또는 기둥-강성 tablea)에 대한 합이다$.$

스큐 슈르 다항식은 슈르 다항식에서 긍정적으로 확장된다.계수에 대한 규칙은 리틀우드-리처드슨 규칙에 의해 주어진다.

이중 슈르 다항식

이중 슈르 다항식은^[3] 이동된 슈르 다항식의 일반화로 볼 수 있다.이러한 다항식들은 또한 요인 슈르 다항식과도 밀접하게 관련되어 있다.파티션 λ과 시퀀스 a₁, a₂, ...를 지정하면 다음과 같이 이중 슈르 다항식_λ s(x a)를 정의할 수 있다.

${\displaystyle s_{\lambda }(x a)=\sum _{T}\prod _{\alpha \in \lambda }(x_{T(\alpha )-a_{T(\alpha )-c(\alpha )}}}}$

여기서 합계는 도형 λ의 모든 역준준준위 Young tableau T와 1, ...,n의 정수 항목으로 대체된다.여기서 T(α)는 T에서 상자 α의 값을 나타내며 c(α)는 상자의 내용물이다.

리틀우드-리처드슨 계수에 대한 조합 규칙(수열 a에 따라 다름)은 A에 의해 주어진다.몰레브가 ^[3]들어왔어특히 이는 이동된 슈르 다항식들이 음이 아닌 리틀우드-리처드슨 계수를 가지고 있음을 시사한다.

시프트 슈르 다항식, s^*_λ(y)는 a_i=-i와_i y=x_i+i를 전문화하여 이중 슈르 다항식으로부터 얻을 수 있다.

이중 슈르 다항식은 이중 슈베르트 다항식의 특수한 경우다.

요인 슈르 다항식

요인 슈르 다항식은 다음과 같이 정의할 수 있다.파티션 λ과 두 배의 무한 시퀀스 …,a₋₁, a₀, a, …의₁ 경우, 요인 슈르 다항식 s_λ(x a)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle s_{\lambda }(x a)=\sum _{T}\prod _{\alpha \in \lambda }(x_{T(\alpha )-a_{T(\alpha )+c(\alpha )}}}}$

여기서 합계는 도형 λ의 모든 반표준 Young tableau T와 1, ...,n의 정수 입력값을 인수한다.여기서 T(α)는 T에서 상자 α의 값을 나타내며 c(α)는 상자의 내용물이다.

결정 공식도 있지만

${\displaystyle s_{\i}(x a)={\frac {\det[(x_{j} a)^{{i}+n-i}]_{i,j=1^{l(\lambda )}}{\prod _{i_{i}-x_{j}}}}}}}}}$

여기서(y a)^k = (y-a₁)...(y-a_k. 모든 i에 대해_i a=0을 허용하면, 통상적인 슈르 다항식을 회복하는_λ 것이 분명하다.

n 변수의 이중 슈르 다항식 및 요인 슈르 다항식은 a_n-i+1 = u의_i ID s_λ(x a) = s_λ(x u)를 통해 관련된다.

기타 일반화

슈르 다항식의 일반화는 다음과 같다.

• 홀-리틀우드 다항식
• 시프트 슈르 다항식
• 플래그 지정된 슈르 다항식
• 슈베르트 다항식
• 스탠리 대칭 함수(안정적인 슈베르트 다항식이라고도 함)
• 주요 다항식(Demazure 문자라고도 함)
• 준대칭 슈르 다항식
• 행-강성 슈르 다항식
• 잭 다항식
• 모듈식 슈르 다항식
• 루프 슈어 함수
• 맥도날드 다항식
• 공통점과 직교 그룹에 대한 슈르 다항식.
• k-슈어 함수
• 그로텐디크 다항식(슈르 다항식의 K-이론적 아날로그)
• LLT 다항식

참고 항목

• 슈르 펑터
• 리틀우드-리처드슨 법칙은 슈르 다항식들과 관련된 정체성을 찾는 것이다.

참조

• Macdonald, I. G. (1995). Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs (2nd ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853489-1. MR 1354144.
• Sagan, Bruce E. (2001) [1994], "Schur functions in algebraic combinatorics", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Sturmfels, Bernd (1993). Algorithms in Invariant Theory. Springer. ISBN 978-0-387-82445-1.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.