크리스털 베이스

A crystal base for a representation of a quantum group on a ${\displaystyle \mathbb {Q} (v)}$-vector space is not a base of that vector space but rather a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-base of ${\displaystyle L/vL}$ where ${\displaystyle L}$ is a ${\displaystyle \mathbb {Q} (v)}$-la그 벡터 공간에 있는 ttice.가시와라(1990년)의 작품에도 크리스탈 베이스가 등장했고, 루슈티그(1990년)의 작품에도 크리스탈 베이스가 등장했다.그것들은 Lusztig(1990년)가 정의한 표준 기준의${\displaystyle }$v → ${\displaystyle 0}${\$displaystyle v\to$ 0$}$으로 전문화되었다고 볼 수 있다.

정의

양자 그룹 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle U_{q}(G)}$은(는) Q$$(${\displaystyle q)}$ ${\displaystyle \mathb$$${$Q$$}}}$을$($를$)$ $가리킴$에 대한 불확실한 q의 모든 합리적 함수 영역에 걸쳐 Hopf 대수라고 볼 수 있다$$$.$

단순 루트 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 및 음이$$ 아닌 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대해 정의하십시오$.$

${\displaystyle{\n]e_{i}^{0}=f_{i}^{0)=1\\\\e_{i}^{n}={\frac {e_{n}^{n}}}}{n}}}}}{n]_{q_{i}}}}!}}}\\[6pt]f_{i}^{n}}}{{n}}}{\frac {f_{i}^{n}}}}{{n}}}}}}}!}}}\end{정렬}}$

In an integrable module ${\displaystyle M}$, and for weight ${\displaystyle \lambda }$, a vector ${\displaystyle u\in M_{\lambda }}$ (i.e. a vector ${\displaystyle u}$ in ${\displaystyle M}$ with weight ${\displaystyle \lambda }$) can be uniquely decomposed into the sums

${\displaystyle u=\sum u={n=0}^{n}f_{i}^{n}u_{n}=\sum _{n=0}^{n=0}^{n}^{n}}}}$

where ${\displaystyle u_{n}\in \ker(e_{i})\cap M_{\lambda +n\alpha _{i}}}$, ${\displaystyle v_{n}\in \ker(f_{i})\cap M_{\lambda -n\alpha _{i}}}$, ${\displaystyle u_{n}\neq 0}$ only if ${\displaystyle n+\frac{2(\lambda ,{\alpha }_i)}{({\alpha }_{}}}$${\displaystyle n+{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0}$, and ${\displaystyle v_{n}\neq 0}$ only if ${\displaystyle n-{\frac {2(\lambda ,\alpha _{i})}{(\alpha _{i},\alpha _{i})}}\geq 0}$.

선형 매핑 $e{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$~ i${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle M}$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde{e}_{i},{\tilde{f}_${\tilde}$_{i}:$$M\to M}$은(는) $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\$에 대해 다음과$$ 같이 정의할 수 있다$$.

${\displaystyle {\tilde{e}_{i}u=\sum _{n=1}^{n={f_{n-}^{n-1)u_{n}=\sum _{n=0}^{n={n=0}^{n+}^{n}}}}}.$

${\displaystyle {\tilde{f}_{i}u=\sum _{n=0}^{n={f_{n+1)^{n1}u_{n}=\sum _{n=1}^{n=1}{n=1}^{n-1}^{n-1}v_{n}.}$

Let ${\displaystyle A}$ be the integral domain of all rational functions in ${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$ which are regular at ${\displaystyle q=0}$ (i.e. a rational function ${\displaystyle f(q)}$ is an element of ${\displaystyle A}$ if and only if there exist polynomials ${\displaystyle g(q)}$${\displaystyle g(q)}$ and ${\displaystyle h(q)}$ in the polynomial ring ${\displaystyle \mathbb {Q} [q]}$ such that ${\displaystyle h(0)\neq 0}$, and ${\displaystyle f(q)=g(q)/h(q)}$).$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 결정 기반은 다음과 같은 순서 쌍$({\displaystyle L}$, B${\displaystyle }$) ${\displaystyle(L,B)}$이다$.$

• ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$은(는) $M{\displaystyle }$= Q${\displaystyle }$(${\displaystyle q}$ ) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{};}$ ${\displaystyle M=\mathb {Q}\otimes _{A}L;}$과(와) 같은 M ${\displaystystyle M}$의 $자유{\displaystyle }$ A ${\displaystystystyle A}$ - submoduleduledule이다$$.
• ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$은(는) $Q{\displaystyle \mathbb{}}$, ${\displaystyle$ $\mathb {Q$$}$에 대한$$ 벡터 $공간{\displaystyle }$ L${\displaystyle }$/ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L/qL}$의 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$displaystyle $\mathb {Q},},}$의 Q {\$displaystylease$ 입니다.
• ${\displaystyle L=\oplus _{\lambda }L_{\lambda }}$ and ${\displaystyle B=\sqcup _{\lambda }B_{\lambda }}$, where ${\displaystyle L_{\lambda }=L\cap M_{\lambda }}$ and ${\displaystyle B_{\lambda }=B\cap (L_{\lambda }/qL_{\la$$mbda }),}$
• ${\displaystyle {\stackrel{}{e}}_{}}$~ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\tilde {e}_{i}L\subset L}$ $및$ f${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$l ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \text{모든}}$ ${\displaystyle i}$에${\displaystyle }$대해$${\$displaystyle {f}_{i}L\subset$ L${\text{}}},}}$
• ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}B\subset B\cup \{0\}}$ and ${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}B\subset B\cup \{0\}{\text{ for all }}i,}$
• ${\displaystyle{\b\in B{\text{}}{}b'\in B,{\text{} 및 모든 }i, {\qad {\tilde{e}_{i}b=b'{{}text{}}{}b}b}{}b}b인 경우에만 해당된다.}$

To put this into a more informal setting, the actions of ${\displaystyle e_{i}f_{i}}$ and ${\displaystyle f_{i}e_{i}}$ are generally singular at ${\displaystyle q=0}$ on an integrable module ${\displaystyle M}$. The linear mappings ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}$$}$ and ${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$ on the module are introduced so that the actions of ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}{\tilde {f}}_{i}}$ and ${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}{\tilde {e}}_{i}}$ are regular at ${\displaystyle q=0}$ on모듈There exists a ${\displaystyle \mathbb {Q} (q)}$-basis of weight vectors ${\displaystyle {\tilde {B}}}$ for ${\displaystyle M}$, with respect to which the actions of ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$ and ${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$ are regular at ${\displaystyle q=0}$${\displaystyle }$모든 i에 대해$$ $[\displaystyle q=0}$The module is then restricted to the free ${\displaystyle A}$-module generated by the basis, and the basis vectors, the ${\displaystyle A}$-submodule and the actions of ${\displaystyle {\tilde {e}}_{i}}$ and ${\displaystyle {\tilde {f}}_{i}}$ are evaluated at ${\displaystyle q$$=0}$더 나아가 $모든{\displaystyle }$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $i$$\},$ e ~${\displaystyle {\stackrel{}{}i}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle f_{}}$ ~${\$에 대해$$${\displaystyle \mathrm{q}}$ = 0${\displaystystyle$}에서 기본 벡터를 선택할 수 있다.

크리스털 베이스는 가장자리가 라벨로 표시된 방향 그래프로 나타낼 수 있다.Each vertex of the graph represents an element of the ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-basis ${\displaystyle B}$ of ${\displaystyle L/qL}$, and a directed edge, labelled by i, and directed from vertex ${\displaystyle v_{1}}$ to vertex ${\displaystyle v_{2}}$, represents that ${\displaystyle b_2}$${\displaystyle b_{2}={\tilde {f}}_{i}b_{1}}$ (and, equivalently, that ${\displaystyle b_{1}={\tilde {e}}_{i}b_{2}}$), where ${\displaystyle b_{1}}$ is the basis element represented by ${\displaystyle v_{1}}$, and ${\displaystyle b_{2}}$ is$v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}로 표시된 기본 요소$.$그래프는 $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\$$displaystyle{e}_{i}$에서 ${\displaystyle e_{}}$${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ i ${\$의 동작을 완전히 결정한다$.$ 통합형 모듈에 결정 기반이 있는 경우, 모듈에는 결정 베이스를 나타내는 그래프가 연결된 경우에만(*\$displaystystyle q=0}).$$V{\displaystyle {}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle$ $V_{$1} 및 V 2 ${\$ $V_${1}의 정점에$$V ${\$displaystyle $V_$${1$$}:{$1}의 정점에 가장자리가 결합되지$$ 않도록 정점 세트를 V 1 {\$displaystyle V_{2$}의 조합으로 분할할 수 없는 경우 그래프를 "연결"이라고 한다.$$

결정 기반이 있는 통합형 모듈의 경우, 결정 베이스의 중량 스펙트럼은 모듈의 중량 스펙트럼과 동일하며, 따라서 결정 베이스의 중량 스펙트럼은 해당 Kac-Moody 대수학의 해당 모듈에 대한 중량 스펙트럼과 동일하다.결정 베이스에 있는 무게의 곱셈은 또한 적절한 Kac-Moody 대수학의 해당 모듈에서의 곱셈과 동일하다.

모든 통합 가능한 최고 중량 모듈은 결정기반을 갖는다는 것이 가시와라의 정리다.마찬가지로, 모든 통합 가능한 최저 중량 모듈은 결정 기반이 있다.

크리스털 베이스 텐서 제품

Let ${\displaystyle M}$ be an integrable module with crystal base ${\displaystyle (L,B)}$ and ${\displaystyle M'}$ be an integrable module with crystal base ${\displaystyle (L',B')}$. For crystal bases, the coproduct ${\displaystyle \Delta }$, given by

${\displaystyle {\begin{aigned}\Delta (k_{\lambda }}&=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }\\\delta (e_{i})&=e_{i}\otimes k_{i}^{-1}+1\otimes e_{i}\\\Delta (f_{i}\}\otimes 1+k_{i}\otimes f_{i}\ended}}}}}}}}$

입양되었다.The integrable module ${\displaystyle M\otimes _{\mathbb {Q} (q)}M'}$ has crystal base ${\displaystyle (L\otimes _{A}L',B\otimes B')}$, where ${\displaystyle B\otimes B'=\left\{b\otimes _{\mathbb {Q} }b':b\in B,$$\b'\in B'\right$ 기본 $벡터{\displaystyle }$ b ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle$ b$\in B}$에 대해 정의하십시오$.$

${\displaystyle \varepsilon _{i}(b)=\max \left\{n\geq 0:{\tilde {e}^{n}b\neq 0\right\}}}}}$

${\displaystyle \varphi _{i}(b)=\max \left\{n\geq 0:{\tilde {f}^{n}b\neq 0\right\}}}}}}$

$b$${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ ${\tilde {e}_{i}$ 및$$ $f{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle i_{}}$ ${\${$f}$$_{i}}}$의 동작은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {e}}_{i}(b\otimes b')&={\begin{cases}{\tilde {e}}_{i}b\otimes b'&\varphi _{i}(b)\geq \varepsilon _{i}(b')\\b\otimes {\tilde {e}}_{i}b'&\varphi _{i}(b)<\varepsilon _{i}(b')\end{cases}}\\{\tilde {f}}_{i}(b\otimes b')&={\begin{cases}{\tilde {f}}_{i}b\otimes b'&\varphi _{i}(b)>\varepsilon _{i}(b')\\b\otimes {\tilde {f}_{i}b'&\varphi _{i}(b)\leq \varepsilon _{i}(b')\end{case}\ended}}}}$

제품 2개의 통합 가능한 최고 중량 모듈을 불분명한 하위 모듈로 분해하는 것은 결정 베이스의 그래프를 연결된 구성 요소로 분해하는 것으로 결정된다(즉, 하위 모듈의 최고 중량을 결정하고 각 최고 중량의 다중성을 결정한다).

참조

• Jantzen, Jens Carsten (1996), Lectures on quantum groups, Graduate Studies in Mathematics, vol. 6, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0478-0, MR 1359532
• Kashiwara, Masaki (1990), "Crystalizing the q-analogue of universal enveloping algebras", Communications in Mathematical Physics, 133 (2): 249–260, doi:10.1007/bf02097367, ISSN 0010-3616, MR 1090425, S2CID 121695684
• Lusztig, G. (1990), "Canonical bases arising from quantized enveloping algebras", Journal of the American Mathematical Society, 3 (2): 447–498, doi:10.2307/1990961, ISSN 0894-0347, JSTOR 1990961, MR 1035415

외부 링크

• 결정 기반(nLab)