로타의 근거 추측

Rota's basis conjecture

선형대수학과 모체이론에서 로타의 근거 추측은 기안칼로 로타의 이름을 따서 기지의 재배치에 관한 입증되지 않은 추측이다.X가 차원 n 이상의 벡터 공간인 경우, n disjoint base B와i 함께 n등급의 matroid인 경우, 행렬의 행이 정확히 주어진 base이고 행렬의 열도 base가 되도록 이러한 base의 요소를 n × n 행렬로 배열할 수 있다고 명시되어 있다.즉, 각각의 베이스 B에서i 하나의 요소로 구성되는 두 번째 세트 n 디스 조인트 베이스 C를i 찾을 수 있어야 한다.

예

세 개의 색 삼각형(빨간색, 파랑색, 노랑색)의 9개의 꼭지점이 세 개의 무지개 삼각형(검은색 가장자리)으로 다시 모여들었다.

Rota의 기본 추측에는 유클리드 평면의 점들에 대한 단순한 공식화가 있다: 그것은 정점이 뚜렷한 3개의 삼각형을 각 삼각형이 3개의 색 중 하나로 색칠되어 있고, 9개의 삼각형 정점을 각 색상의 정점 하나를 가진 3개의 "레인보우" 삼각형으로 다시 묶는 것이 가능해야 한다고 명시하고 있다.삼각형은 모두 비감소형이어야 하는데, 이는 그들이 한 줄에 정점 세 개를 모두 가지고 있지 않다는 것을 의미한다.

이것을 기본 추측의 한 예로서 보기 위해, 3차원 리얼 벡터 공간 , {\},1})에서 벡터의 선형 , y, y y, 을 사용하거나 동등하게 1 m를 할 수 있다.ay는 S set 2 또는 S 중 하나가 비퇴행 삼각형의 3 정점을 형성하는 경우 점의 S 집합이 독립적인 순위 3의 매트로드를 사용한다.이 선형 대수학 및 이 행렬의 경우, 베이스는 정확히 비감소 삼각형이다.입력 삼각형 3개와 무지개 삼각형 3개를 감안할 때 9개의 꼭지점을 3×3 행렬로 배열할 수 있는데, 각 행에는 단색 삼각형 1개의 꼭지점이, 각 열에는 무지개 삼각형 1개의 꼭지점이 있다.

유사하게, 3차원 유클리드 공간의 점들에 대해서, 추측에 의하면, 네 가지 다른 색상의 네 가지 비데오테드라(non-degenerate tetrahedra)의 16 정점을 네 개의 무지개 사트라헤드로 재결합할 수 있다고 한다.

부분 결과

로타의 근거 추측에 대한 진술서는 황앤로타(1994년)에 의해 처음 발표되어 1989년 로타에게 (인용 없이) 신빙성을 부여했다.[1]기초 추정은 모공모양(모든 n)[2]과 사례 n ≤ 3(모든 모공모양)에 대해 입증되었다.[3]임의의 매트로이드의 경우, 기본 원소를 기본인 첫 번째 Ω((n) 열을 행렬로 배열할 수 있다.[4]특징 0의 영역에 대한 선형 알헤브라의 기본 추측과 n의 짝수 값에 대한 기본 추정은 알론과 타르시가 라틴 사각형에 대한 또 다른 추측에서 비롯될 것이다.[1][5]이러한 함축에 근거해, n의 무한히 많은 값에 대해 실수에 대한 선형 알헤브라의 추측이 사실인 것으로 알려져 있다.[6]

관련 문제

Tverberg의 정리, 바라니 &amp으로 연결에서 Larman(1992년), r(d+1)점의d-dimensional 유클리드 공간의 모든 집합, d+1색으로 그러한 방법으로 각 색의 r 점들이 색깔에, 거기에는 무지개 simplices에 지점을 분할하다(d 1포인트+의 각 색의 1점으로 세트)고스트 라이더에 있는 추측했다.한 ch이 세트의 볼록한 선체가 비어 있지 않은 교차점을 갖는 방법.[7]예를 들어, r = 3의 2차원 사례(바래니와 라르만에서 증명)는 3가지 색상과 3가지 색상으로 색칠된 평면의 9개 지점 세트마다 점들을 3가지 교차 무지개 삼각망으로 분할할 수 있다는 것을 명시하고 있는데, 이는 로타의 근거 추측과 유사한 진술로 포(po)점들을 3개의 무지개 삼각형으로 분할할 수 있다.바레이와 라르만의 추측으로 점의 세 쌍이 무지개 삼각형으로 간주될 수 있는 반면, 로타의 근거 추측으로는 이것을 허용하지 않는 반면, 로타의 근거 추측으로는 삼각형들이 공통 교차점을 가질 필요가 없다.바레니와 라르만의 추측에 대한 실질적인 진전은 블라고예비치, 마츠케 & 지글러(2009)에 의해 이루어졌다.[8]

참고 항목

참조

  1. ^ a b 특히 추측 4, 226페이지를 보라Huang, Rosa; Rota, Gian-Carlo (1994), "On the relations of various conjectures on Latin squares and straightening coefficients", Discrete Mathematics, 128 (1–3): 225–236, doi:10.1016/0012-365X(94)90114-7, MR 1271866.
  2. ^ Geelen, Jim; Humphries, Peter J. (2006), "Rota's basis conjecture for paving matroids" (PDF), SIAM Journal on Discrete Mathematics, 20 (4): 1042–1045, CiteSeerX 10.1.1.63.6806, doi:10.1137/060655596, MR 2272246.
  3. ^ Chan, Wendy (1995), "An exchange property of matroid", Discrete Mathematics, 146 (1–3): 299–302, doi:10.1016/0012-365X(94)00071-3, MR 1360125.
  4. ^ Geelen, Jim; Webb, Kerri (2007), "On Rota's basis conjecture" (PDF), SIAM Journal on Discrete Mathematics, 21 (3): 802–804, doi:10.1137/060666494, MR 2354007.
  5. ^ Onn, Shmuel (1997), "A colorful determinantal identity, a conjecture of Rota, and Latin squares", The American Mathematical Monthly, 104 (2): 156–159, doi:10.2307/2974985, JSTOR 2974985, MR 1437419.
  6. ^ Glynn, David G. (2010), "The conjectures of Alon–Tarsi and Rota in dimension prime minus one", SIAM Journal on Discrete Mathematics, 24 (2): 394–399, doi:10.1137/090773751, MR 2646093.
  7. ^ Bárány, I.; Larman, D. G. (1992), "A colored version of Tverberg's theorem", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 45 (2): 314–320, CiteSeerX 10.1.1.108.9781, doi:10.1112/jlms/s2-45.2.314, MR 1171558.
  8. ^ Blagojević, Pavle V. M.; Matschke, Benjamin; Ziegler, Günter M. (2009), Optimal bounds for the colored Tverberg problem, arXiv:0910.4987, Bibcode:2009arXiv0910.4987B.

외부 링크