상대적 변화와 차이

어떤 양적 과학에서든 상대적 변화와 상대적 차이라는 용어는 비교되는 사물의 "사이즈"를 고려하면서 두 양을 비교하는 데 사용된다. 비교는 비율로 표현되며 단위가 없는 숫자다. 이러한 비율에 100을 곱하면 백분율로 표현될 수 있으므로 백분율 변화, 백분율 차이 또는 상대 백분율 차이도 일반적으로 사용된다. "변화"와 "차이"의 구분은 비교되는 수량 중 하나를 표준 또는 기준 또는 시작 값으로 간주하는지에 따라 달라진다. 이 경우 (기준값에 대한) 상대적 변화라는 용어를 사용하고, 그렇지 않으면 상대적 차이라는 용어를 선호한다. 상대적 차이는 종종 결과가 같을 것으로 예상되는 반복 측정을 위한 품질보증과 품질관리의 양적 지표로 사용된다. 백분율 변화(백분율로 표현되는 상대적 변화)의 특별한 경우는 기준 값이 허용 값 또는 실제 값이고(아마도 이론적으로 결정됨) 그것과 비교되는 값은 (측정에 의해) 실험적으로 결정되는 상황에서 발생한다.

정의들

x와 y라는 두 가지 수량을 감안할 때 이들의 차이인 Δ = x - y는 실제 차이라고 할 수 있다. y가 기준 값( 이론/실제/수정/수락/최적/시작 등, x가 비교되고 있는 값)인 경우 Δ는 실제 변화라고 부른다. 기준값이 없을 때 Δ의 부호는 두 값 중 어느 값을 먼저 쓰든 상관없기 때문에 Δ = x - y, 이런 상황에서 Δ 대신 절대차이로 작용하는 경우가 많다. 기준값이 있을 때도 비교값이 기준값보다 크든 작든 상관없다면 실제 변화 대신 절대적 차이를 고려할 수 있다.

두 값 사이의 절대적 차이가 항상 숫자를 비교하는 좋은 방법은 아니다. 예를 들어, 6과 5의 절대 차이는 1억과 1억의 절대 차이보다 더 크다. x의_reference 양의 값에 대해 정의함으로써 관련 수량의 "크기"를 고려하도록 비교를 조정할 수 있다.

{\text{reference}}}(x,x_{\text{reference})={x_{\text{reference}}}={\frac{x_{\extential}}}{x-x_{reference}}}}{x_{extential}}}}}}.

기준값(x_reference)이 0이면 상대적 변화가 정의되지 않는다.

기준값보다 큰 값의 경우 상대적 변화는 양수여야 하며, 더 작은 값의 경우 상대적 변화는 음수여야 한다. 위에 주어진 공식은 x가_reference 양수일 때만 이런 식으로 작용하고, x가_reference 음수일 경우 이 행동을 뒤집는다. 예를 들어, 온도계가 -10°C를 읽어야 할 때 -6°C로 판독되는 온도계를 교정하는 경우, 상대적 변화에 대한 이 공식(이 애플리케이션에서 상대적 오류라고 함)은 (-6) - (-10) / (-10) = 4 / -10 = -0.4이지만 판독치는 너무 높다. 이 문제를 해결하기 위해 x의_reference 0이 아닌 모든 값에 대해 올바르게 작동하도록 상대적 변경의 정의를 변경한다.

{\text{Relative change}}(x,x_{\text{reference}})={\frac {\text{Actual change}}{ x_{\text{reference}} }}={\frac {\Delta }{ x_{\text{reference}} }}={\frac {x-x_{\text{reference}}}{ x_{\text{reference}} }}.

기준값(즉, 더 크거나 더 작거나)에 대한 값의 관계가 특정 적용에서 중요하지 않은 경우, 위 공식의 실제 변화 대신 절대 차이를 사용하여 항상 음이 아닌 상대적 변화에 대한 값을 산출할 수 있다.

절대차이를 스케일링할 "정확한" 값이 없기 때문에 상대적 차이를 정의하는 것은 상대적 변화를 정의하는 것만큼 쉽지 않다. 그 결과, 상대적 차이를 어떻게 정의하고 어떤 것이 사용되는지에 대한 옵션은 비교가 무엇에 사용되느냐에 따라 다양하다. 일반적으로 우리는 절대 차이 Δ가 x와 y 값, f(x, y)의 일부 함수에 의해 스케일링되고 있다고 말할 수 있다.^[1]

{\displaystyle{\text}{relative difference}}(x,y)={\frac{\cHB{\text{Absolution difference}}{f(x,y)}}}{\frac {x-y}}}\right.}

상대적 변화와 마찬가지로 f(x, y)가 0이면 상대적 차이는 정의되지 않는다.

f(x, y) 기능에 대한 몇 가지 일반적인 선택은 다음과 같다.

max( x , y )
최대(x, y),
최소(x , y )
최소(x, y),
(x + y)/2 및
( x + y )/2.

포뮬라과

상대적 차이의 척도는 분수로 표현되는 단위 없는 숫자다. 백분율 차이의 해당 값은 이 값에 100을 곱하여 얻을 수 있다(그리고 % 기호를 추가하여 백분율임을 나타냄).

두 숫자의 상대적 차이를 정의하는 한 가지 방법은 절대 차이를 두 숫자의 최대 절대값으로 나눈 값이다.

d_{r}={\frac {x-y}{\max(x, y )}}

값 중 하나 이상이 0이 아닌 경우 이 접근방식은 프로그래밍 언어의 부동소수 값을 특정 공차와의 동일성에 대해 비교할 때 특히 유용하다.^[2] 측정의 상대적 오차가 필요할 때 근사 오차 계산에 다른 응용 프로그램이 있다.

두 숫자의 상대적 차이를 정의하는 또 다른 방법은 절대적 차이를 두 숫자의 일부 기능 값(예: 산술 평균의 절대값)으로 나눈 값이다.

d_{r}={\frac {x-y }{\좌우편 }{\x+y }{2}}\}}},

이 접근법은 종종 두 수치가 일부 단일 기초기업의 변화를 반영할 때 사용된다.^{[citation needed]} 위의 접근방식의 문제는 기능적 가치가 0일 때 발생한다. 이 예제에서 x와 y의 크기가 같지만 반대 기호가 있는 경우

{\frac { x+y }{2}}=0,

0으로 나누어지는 원인이 된다. 따라서 분모를 x와 y의 절대값의 평균으로 대체하는 것이 좋을 수 있다.^{[citation needed]}

d_{r}={\frac {x-y }{\refrac}{\\}}{\i1\x + y }{2}}\,}}},

백분율 오차

Percent Error는 실험(측정) 값과 이론(수용) 값 사이의 절대적 변화로부터 계산된 상대적 변화의 백분율 형태의 특별한 경우로, 이론적(수용) 값으로 나눈 값이다.

\%{\text{Error}={\frac {\textiment}-{\text{Experimention}-{\text}}={\text}이론}}{{{\text{이론적}}}}\\time 100.

위의 방정식에서 사용된 "실험적"과 "이론적"이라는 용어는 일반적으로 유사한 용어로 대체된다. 실험에 사용된 다른 용어는 "측정", "계산" 또는 "실제"가 될 수 있으며 이론에 사용된 다른 용어는 "수용"될 수 있다. 실험 값은 계산 및/또는 측정을 사용하여 도출된 것이며, 이론적 가치, 과학계에 의해 수용되는 값 또는 성공적인 결과를 위한 목표로 볼 수 있는 값에 대해 정확성을 시험하고 있는 값이다.

백분율 오류를 논의할 때 상대적 변화의 절대값 버전을 사용하는 것이 일반적이지만, 어떤 상황에서는 결과에 대한 더 많은 정보를 제공하기 위해 절대값을 제거하는 것이 유익할 수 있다. 따라서 실험 값이 이론적 값보다 작으면 백분율 오차는 음수가 된다. 이 음성 결과는 실험 결과에 대한 추가 정보를 제공한다. 예를 들어, 실험적으로 빛의 속도를 계산하고 음의 백분율 오차를 내놓으면 실험 값이 빛의 속도보다 작은 속도라고 한다. 이는 양성% 오류를 얻는 것과 큰 차이가 있는데, 이는 실험 값이 빛의 속도보다 큰 속도(상대성이론 위반)이며 뉴스거리가 될 만한 결과라는 것을 의미한다.

절대값을 제거하여 다시 작성할 때 백분율 오차 방정식은 다음과 같이 된다.

\%{\text{Error}={\frac {{\textimatory}-{\text{\text}}={\text}={\fract이론}}{{\text{이론적}}}}\\time 100.

분자의 두 값은 통근하지 않는다는 점에 유의해야 한다. 따라서 실험 값에서 이론적 값을 빼는 것과 그 반대는 아닌, 위의 순서를 보존하는 것이 중요하다.

백분율 변화

백분율 변화는 변수의 변화를 표현하는 방법이다. 그것은 이전 가치와 새로운 가치 사이의 상대적인 변화를 나타낸다.^[3]

예를 들어, 현재와 그 다음 해 10만 달러의 가치가 있는 집이라면, 그 가치의 변화율은 11만 달러로 표현될 수 있다.

{\frac {110000-100000}{100000}=0.1=10\%.

그러면 그 집의 가치가 10% 올랐다고 할 수 있다.

보다 일반적으로 V가 이전₁ 값을 나타내고 V가₂ 새로운 값을 나타낸다면,

{\textage change}={\frac {\delta V}{V_{1}}={\frac {V_{2}-V_{1}}{V_}}}}{{1}}}}{V_{1}}}}}\time 100\%.

일부 계산기는 또는 함수를 통해 이를 직접 지원한다.

문제가 되는 변수가 백분율 그 자체일 때는 상대적 차와 절대적 차이의 혼동을 피하기 위해 백분율을 이용하여 그 변화를 이야기하는 것이 좋다.

백분율 백분율 예제

은행이 저축통장의 금리를 3%에서 4%로 올린다면 '금리가 1% 인상됐다'는 문구는 모호할 수밖에 없다. 이 상황의 절대변화는 1%포인트(4%~3%)이지만, 이자율의 상대변화는 다음과 같다.

{\frac {4\%-3\%}{3\%\}}=0.333\ldots=33{\frac {1}{3}\%\%.

일반적으로 "백분점"이라는 용어는 백분율의 절대적 변화나 차이를 나타내며, 백분율 기호나 "백분점"이라는 단어는 상대적 변화나 차이를 가리킨다.^[4]

예

비교

M차는 5만 달러, L차는 4만 달러다. 우리는 이 비용을 비교하고 싶다.^[5] 자동차 L과 관련하여, 절대 차이는 $10,000 = $50,000 - $40,000이다. 즉, M차는 L차보다 1만 달러가 더 비싸다. 상대적인 차이는,

{\frac {\\$10,000}{\\\$40,000}=0.25=25\%

그리고 우리는 M차가 L차보다 25% 더 비싸다고 말한다. 또한 비교를 비율로 표현하는 것이 일반적이며, 이 예에서는 다음과 같다.

{\frac {\$50,000}{\\\$40,000}=1.25=125\%

그리고 우리는 M차 가격이 L차 비용의 125%라고 말한다.

이 예에서 L차의 원가는 기준값으로 간주되었지만, 우리는 반대로 선택을 할 수 있었고 자동차 M의 원가를 기준값으로 간주할 수 있었다. L차 가격이 M차보다 10,000달러 낮기 때문에 현재 절대 차이는 - 1만 달러=4만 달러 - 5만 달러다. 상대적인 차이,

{\frac {-\$10,000}{\\$50,000}=-0.20=-20%

L차 가격이 M차보다 20% 낮기 때문에 또한 부정적이다. 비교의 비율 형태는,

{\frac {\\$40,000}{\$50,000}=0.8=80\%

L차 가격은 M차 가격의 80%라고 한다.

비율과 상대적 차이를 구분하는 것은 "의"와 "보다 작거나 더 많이"라는 단어를 사용하는 것이다.^[6]

로그 척도

수량의 변화도 로그로 표현할 수 있다. 백분율에 대해 수행된 것과 같이 자연 로그(ln)를 사용하고 100의 인자로 정규화를 수행하는 것은 매우 작은 변경에 대한 백분율 변경 정의(아래 표에서 "로그 변경"이라고 함)와 일치한다.

D=100\cdot \ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}\approx 100\cdot {\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}={\text{Percentage change}}{\text{ when }}\left {\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}\right \ll 1

로그 척도를 사용하는 것은 장점이 있다. First, the magnitude of the change expressed in this way is the same whether V₁ or V₂ is chosen as the reference, since $\ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}=-1\cdot \ln {\frac {V_{1}}{V_{2}}}$ . In contrast, ${\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}\approx -1\cdot {\frac {V_{1}-V_{2}}{V_{2}}}$ ${\displaystyle {\frac$ { $V_{2}-V_{1}:{$ 1}:{ $1}}\약간 -1\cdot {\frac {V_{1}-V_{2}}:$ V와₂ V가₁ 분리될수록 근사오차가 더욱 심해지고 있다 ${\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}\approx -1\cdot {\frac {V_{1}-V_{2}}{V_{2}}}$ 예를 들면 다음과 같다.

V₁	V₂	로그 변경	변경(%)
10	9	−10.5	−10.0
9	10	+10.5	+11.1

또 다른 장점은 일련의 변화 후 총 변화가 로그로 표현되었을 때의 변화의 합과 같다는 것이다. 백분율을 사용하면 변경사항을 합하면 근사치에 불과하며, 큰 변경에 대한 오차는 더 크다. 예를 들면 다음과 같다.

로그 변경 1	로그 변경 2	총 로그 변경	변경 1(%)	변경2(%)	총 변경량(%)
10	5	15	10	5	15.5
10	−5	5	10	−5	4.5
10	10	20	10	10	21
10	−10	0	10	−10	−1
50	50	100	50	50	125
50	−50	0	50	−50	−25

참고 항목

메모들

^ 투른크비스트, 바르티아 & 바르티아 1985년
^ 충분한 부동 소수점 평등을 확인할 수 있는 좋은 방법은 무엇인가?
^ Kazmi, Kumail (March 26, 2021). "Percentage Increase Calculator". Smadent - Best Educational Website of Pakistan. Smadent Publishing. Retrieved March 26, 2021.
^ 베넷 & 브릭스 2005, 페이지 141
^ 베넷 & 브릭스 2005, 페이지 137–139
^ 베넷 & 브릭스 2005, 페이지 140

참조

Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics: A Quantitative Reasoning Approach (3rd ed.), Boston: Pearson, ISBN 0-321-22773-5
"Understanding Measurement and Graphing" (PDF). North Carolina State University. 2008-08-20. Archived from the original (PDF) on 2010-06-15. Retrieved 2010-05-05.
"Percent Difference – Percent Error" (PDF). Illinois State University, Dept of Physics. 2004-07-20. Retrieved 2010-05-05.
Törnqvist, Leo; Vartia, Pentti; Vartia, Yrjö (1985), "How Should Relative Changes Be Measured?", The American Statistician, 39 (1): 43–46, doi:10.2307/2683905

[1] 투른크비스트, 바르티아 & 바르티아 1985년

[2] 충분한 부동 소수점 평등을 확인할 수 있는 좋은 방법은 무엇인가?

[3] Kazmi, Kumail (March 26, 2021). "Percentage Increase Calculator". Smadent - Best Educational Website of Pakistan. Smadent Publishing. Retrieved March 26, 2021.

[4] 베넷 & 브릭스 2005, 페이지 141

[5] 베넷 & 브릭스 2005, 페이지 137–139

[6] 베넷 & 브릭스 2005, 페이지 140

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