파라메트릭 모형

통계에서 모수 모델 또는 모수 제품군 또는 유한 차원 모델은 특정 유형의 통계 모델이다. 특히 모수 모형은 모수의 수가 유한한 확률 분포의 집합이다.

정의

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통계적 모형은 일부 표본 공간에 대한 확률 분포의 집합이다. 우리는 수집품인 𝒫이 어떤 집합 by에 의해 색인화되었다고 가정한다. θ 세트는 매개변수 집합 또는 보다 일반적으로 매개변수 공간이라고 불린다. 각 each each θ에 대해 P가_θ 해당 수집의 부재를 나타내도록 한다. 따라서 P는_θ 누적 분포함수다. 그러면 통계적 모델은 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal{P}={\big \{}P_{\theta }\\big \}\theta \in \theta {\big \}}}.}$

모델은 일부 양의 정수 k에 대해 if if ⊆ if이면^k 파라메트릭 모델이다.

모형이 절대적으로 연속적인 분포로 구성되는 경우, 해당 확률밀도함수의 관점에서 종종 지정된다.

${\displaystyle {\mathcal{P}={\big \f_{\theta }\\big \}\theta \in \theta {\big \}}}.}$

예

• 포아송 분포 집단은 단일 숫자 λ > 0:에 의해 파라메트리된다.

${\displaystyle {\mathcal{P}={\Big \{}\p_{\lambda }}(j)={\tfrac {\lambda ^{j}{j!}}}{-\lambda },\j=0,1,2,3,\dots \{\Big }\;\lambda >0\{\Big \},}$

여기서 p는_λ 확률 질량 함수다. 이 가족은 기하급수적인 가족이다.

• 정상 계열은 μ = (μ, μ)로 파라메트리되며, 여기서 μ μ ∈은 위치 파라미터, μ > 0은 척도 파라미터:

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\tfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\ {\Big }\;\;\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\ {\Big \}}.}$

이 파라메트리된 패밀리는 기하급수적인 패밀리와 위치추적 패밀리다.

• Weibull 변환 모델은 3차원 매개변수 θ = (λ, β, μ):

${\displaystyle {\mathcal{P}={\Big \{}\f_{\theta }}={\tfrac {\beta }{\lambda }}}}}}{\tfrac {x-\mu }}}}}}{\beta -1}\!\exp \!{\big(}\\!-\!)!{\big (}{\tfrac {x-\mu }{\lambda }}{\big )}^{\beta }{\big )}\,\mathbf {1} _{\{x>\mu \}}\ {\Big }\;\;\lambda >0,\,\beta >0,\,\mu \in \mathbb {R} \ {\Big \}}.}$

• 이항 모델은 θ = (n, p)로 파라메트리되며 여기서 n은 음이 아닌 정수이고 p는 확률(예: p ≥ 0 및 p ≤ 1)이다.

${\displaystyle {\mathcal{P}={\Big \{}\p_{\theta}(k)={\tfrac {n!}{{k!(n-k)!}}}\,p^{k}(1-p)^{n-k},\k=0,1,2,\dots,n\\\\\\\\n\in \mathb {Z}_{\geq 0},p\geq 0,\land p\leq 1{\Big \}.}$

이 예는 일부 이산형 매개변수가 있는 모형의 정의를 보여준다.

일반적 발언

파라메트릭 모델은 매핑 ↦ p P가_θ 변환불능인 경우, 즉 P_θ1 = P와_θ2 같은 서로 다른 파라미터 값 θ과₁ θ이₂ 두 개 없는 경우 식별할 수 있다고 불린다.

다른 등급의 모델과의 비교

모수 모델은 세미모수, 세미비모수, 비모수모형과 대비되며, 모두 설명을 위한 무한 집합의 "모수"로 구성된다. 이 네 부류의 구분은 다음과 같다.^{[citation needed]}

• "모수" 모델에서 모든 모수는 유한 차원 모수 공간에 있다.
• 모든 파라미터가 무한 차원 파라미터 공간에 있는 경우 모델은 "비모수"이다.
• "상호-모수" 모델은 관심 있는 유한 차원 매개변수와 무한 차원 방해 매개변수를 포함한다.
• "비모수" 모델은 유한 차원 및 무한 차원 미지의 관심 매개변수를 모두 가지고 있다.

일부 통계학자들은 "모수", "비모수", "세미모수" 등의 개념이 모호하다고 본다.^[1] 또한 모든 확률 측정의 집합은 연속체의 카디널리티를 가지며, 따라서 (0,1) 간격의 단일 숫자로 모든 모델을 파라메트리할 수 있다.^[2] 이러한 어려움은 "매끄러운" 파라메트릭 모델만 고려함으로써 피할 수 있다.

참고 항목

• 파라메트릭 계열
• 파라메트릭 통계량
• 통계적 모델
• 통계적 모델 명세

메모들

참고 문헌 목록