양자 t-설계

양자 t-설계는 순수 양자 상태 또는 단일 연산자 중 하나에 대한 확률 분포로, t도 이하의 다항식에 대해 Haar 측정값에 대한 확률 분포의 특성을 복제할 수 있다.특히 설계 대비 도수 t의 다항식 함수의 평균은 Haar 측정 대비 평균과 정확히 동일합니다.여기서 Haar 측정값은 모든 양자 상태 또는 모든 단일 연산자에 걸쳐 균일한 확률 분포입니다.양자 t-설계는 실험 설계의 문제와 관련하여 역사적으로 발생한 고전 통계학의 t-설계와 유사하기 때문에 그렇게 불린다.양자역학에서 특히 중요한 두 가지 유형의 t-디자인은 투영적 ^[1]설계와 단일적 t-디자인이다.

구면 설계는 단위 구면상의 점들의 집합으로, 구면상의 표면측정을 적분하는 것과 같은 값을 얻기 위해 경계도의 다항식을 평균화할 수 있습니다.구체적이고 투영적인 t-디자인은 1970년대 후반 델사르테, 괴탈, 세이델의 작품에서 이름을 얻었지만, 이 물체들은 수치 적분이나 수 이론을 포함한 수학의 몇몇 분야에서 이전의 역할을 했다.이러한 물체의 특정 예는 양자 정보 이론,^[2] 양자 암호학 및 기타 관련 분야에서 사용되었습니다.

유니터리 t-디자인은 유니터리 ^[1]행렬의 유한한 집합을 통해 전체 유니터리 그룹을 재현한다는 점에서 구형 설계와 유사하다.유니터리 2-설계 이론은 게이트라고 불리는 양자 컴퓨팅 운영의 오류를 평가하기 위해 효율적이고 확장 가능한 무작위 벤치마킹의 실용적인^[3] 수단을 달성하기 위해 2006년에 특별히 개발되었습니다.그 이후로 단일 t-디자인은 양자컴퓨팅의 다른 분야와 양자정보이론에서 유용하게 발견되어 블랙홀 정보의 ^[4]역설에 이르는 문제에 적용되었다.이상적인 연산은 보통 단일 연산자에 의해 표현되기 때문에 유니터리 t-설계는 양자 컴퓨팅의 랜덤화 작업과 특히 관련이 있다.

동기

d차원 힐베르트 공간에서 모든 양자 순수 상태에서 평균을 낼 때 자연군은 차원 d의 특별한 유니터리 그룹인 SU(d)이다.Haar 측도는 정의상 고유한 그룹 불변 측도이므로 모든 상태 또는 모든 유니터리 간에 단일 불변성이 아닌 속성을 평균화하는 데 사용됩니다.

특히 널리 사용되는 예로는 ${\tfrac {1}{2}}$ ${\tfrac {1}{2}}$ 2 $($ 스타일 ${1}{2})$ 시스템이 ${\tfrac {1}{2}}$ 있습니다.이 시스템의 관련 그룹은 SU(2)이며, 이는 모든 2x2 유니터리 연산자의 그룹이다.모든 2x2 유니터리 연산자는 Bloch 구체의 회전이기 때문에 스핀 1/2 입자에 대한 Haar 측정값은 Bloch 구체의 모든 회전 시 불변합니다.이는 Haar 측정값이 Bloch 구면에서의 회전 불변 측도이며, 구면 전체에 걸쳐 일정한 밀도 분포로 간주될 수 있음을 의미합니다.

복잡한 투사형 t-디자인의 중요한 클래스는 대칭적으로 완전한 운영자 값 측정 POVM이며, 이는 복잡한 투사형 2-디자인이다.이러한 2-디자인은 $d^{2}$ $(\$ d $^{2})$ 의 $d^{2}$ 요소를 가져야 하므로 SIC-POVM은 최소 크기의 복합 투영형 ^[5]2-디자인이 됩니다.

구형 T-설계

양자 정보 이론에서는 양자 T ^[6]설계로서 복잡한 투영 T 설계가 연구되어 왔다.이들은 R $\mathbb {R} ^{d}$ \ $displaystyle \mathbb {R}$ ^{ $d}$ 의 $\mathbb {R} ^{d}$ 단위 구면 벡터 2t 설계와 밀접하게 관련되어 있으며, C $\mathbb {C} ^{d}$ \ $displaystyle \mathbb {C}$ ^{ $d}$ 에 $\mathbb {C} ^{d}$ $\mathbb {C} ^{d}$ 스럽게 포함되면 복잡한 투영 t 설계가 발생한다.

정식으로 양자 $(p_{i},|\phi _{i}\rangle )$ 상태에 대한 확률 분포( $(p_{i},|\phi _{i}\rangle )$ i , $(p_{i},|\phi _{i}\rangle )$ i $(p_{i},|\phi _{i}\rangle )$ $)({displaystyle$ ( $p_{i$ , \ $phi _{i$ }\ $rangle$ )})를 $(p_{i},|\phi _{i}\rangle )$ 정의한다.

$\displaystyle \sum _{i}p_{i}(\phi _{i}\rangle \phi _{i})^{\int _{\psi }(\psi \rangle \psi)^{\otimes t}d\psi } }$

여기서 적분 오버 상태는 $\mathbb {C} ^{d}$ d \ $displaystyle \mathbb {C}$ ^{ $d}$ 의 단위 구에 대한 Haar 측정값 위에 표시됩니다.

양자 상태에 대한 정확한 t-설계는 확률 분포에서 상태의 t 복사본을 사용할 때 모든 상태에 대한 균일한 확률 분포와 구별할 수 없습니다.그러나 실제로는 t-설계조차 계산하기 어려울 수 있다.이러한 이유로 대략적인 t-설계가 유용하다.

대략적인 t-design은 효율적인 구현이 가능하기 때문에 가장 유용합니다. 즉, O $O(\log ^{c}d)$ 에서 $O(\log ^{c}d)$ $p_{i}|\phi _{i}\rangle$ $p_{i}|\phi _{i}\rangle$ $p_{i}|\phi _{i}\rangle$ i ${\$ \ phi _ ${ i }$ \ $phi$ _ { $i$ } \ $rangle$ $|\phi \rangle$ $}$ 분포에 $|\phi \rangle$ $p_{i}|\phi _{i}\rangle$ 따라 양자 상태 $|\phi \rangle$ { $display$ $|\phi \rangle$ $style$ \ $pi$ $|\phi \rangle$ }\rangle 을 생성할 수 있습니다 $.$ $le$ O $(\log$ ^{ $c}d}$ 시간 $O(\log ^{c}d)$ .이 효율적인 구성은 $Np_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|$ $Np_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|$ $i$ $Np_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|$ i $Np_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|$ i $Np_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|$ i i i i i i i i i i i $i$ i \ $phi$ _ { $i$ } \ $rangle$ \ $langle$ \ $phi$ _ { $i }$ 의 $Np_i |\phi_i\rangle\langle\phi_i|$ POVM을 $O(\log ^{c}d)$ O ( $O(\log ^{c}d)$ c $O(\log ^{c}d)$ ) $O(\log ^{c}d)$ d \ $displaystyle$ O ( \ $log$ ^ { $d }$ ) $시간$ $O(\log ^{c}d)$ 에 구현할 수 있음을 의미합니다.

대략적인 T-설계의 기술적 정의는 다음과 같다.

$\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=\int _{\psi }|\psi \rangle \langle \psi |d\psi$ i i $\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=\int _{\psi }|\psi \rangle \langle \psi |d\psi$ i = i $\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=\int _{\psi }|\psi \rangle \langle \psi |d\psi$ $\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=\int _{\psi }|\psi \rangle \langle \psi |d\psi$ $\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=\int _{\psi }|\psi \rangle \langle \psi |d\psi$ $\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=\int _{\psi }|\psi \rangle \langle \psi |d\psi$ = $\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=\int _{\psi }|\psi \rangle \langle \psi |d\psi$ = $\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=\int _{\psi }|\psi \rangle \langle \psi |d\psi$ = d $\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=\int _{\psi }|\psi \rangle \langle \psi |d\psi$ {\ d $\sum _{i}p_{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=\int _{\psi }|\psi \rangle \langle \psi |d\psi$ { $displaystyle \sum$ _ { $i$ } \ $rangle \ phi _$ { $i$ } = \ $int$ _ { \ $psi$ } \ $phi$ \ rangle $\ phi$ } $dpsi }$ 。

및 $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ ( $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ - $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ ) $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ 、 $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ （ $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ p $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ 1 + $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ d （ $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ 、 $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ d $(1-\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi \leq \sum _{i}p_{i}(|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|)^{\otimes t}\leq (1+\epsilon )\int _{\psi }(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\otimes t}d\psi$ { $display$ ( $1$ - \ $ilon$ ) \ $int _$ psi } $_{\psi }(\psi \rangle \swi )^{\otimes t}d\psi }$

$(p_{i},|\phi _{i}\rangle )$ $(p_{i},|\phi _{i}\rangle )$ i , $(p_{i},|\phi _{i}\rangle )$ i $(p_{i},|\phi _{i}\rangle )$ {\ 、 { i $}$ \ $displaystyle$ ( p $_$ { i , \ $phi$ _ { $i$ } \ $rangle$ )는 $(p_i,|\phi_i\rangle)$ ${\$ \ $displaystyle$ \ $exilon }$ - ateate--------- $\epsilon$ ------------ --------

비효율적일 수도 있지만 고정 t에 대한 양자 순수 상태로 구성된 $\displaystyle \epsilon }$ - 근사 $\epsilon$ t-설계를 찾는 것은 가능하다.

건설

편의상 d는 2의 거듭제곱으로 가정한다.

d에 대해 N $N^{d}$ d {\ $displaystyle$ N $^{d}$ 개의 $N^{d}$ $N^{d}$ {0,... $d-1}$ $→$ {0,..., $k_{1},...,k_{N}\in$ }개의 개별 $k_{1},...,k_{N}\in$ $k_{1},...,k_{N}\in$ $∈$ {\ $displaystyle k_{1}, k_{N}\$ {0,0-1}개의 이미지 아래에 $N^{d}$ 하는 사실을 사용합니다.{0,......d-1}의 N개 요소의 튜플에 대한 m 분포.

$|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{d}\alpha _{i}|i\rangle$ = $|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{d}\alpha _{i}|i\rangle$ i $|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{d}\alpha _{i}|i\rangle$ $|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{d}\alpha _{i}|i\rangle$ $|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{d}\alpha _{i}|i\rangle$ $|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{d}\alpha _{i}|i\rangle$ $|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{d}\alpha _{i}|i\rangle$ { $displaystyle \psi \rangle$ = \ $sum$ _ {i $=1}^{d}\alpha$ _ ${i}$ i $\rangle }$ 를 $|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{d}\alpha _{i}|i\rangle$ Haar 측정값에서 추출한다고 합니다. $P_{d}$ d $P_{d}$ { $displaystyle$ P _ { $d$ $P_{d}$ } $\alpha _{1}$ $P=\lim _{d\rightarrow \infty }{\sqrt {d}}P_{d}$ 1 $\alpha _{1}$ \ $displaystyle$ \ $alpha$ _ { { d $\alpha _{1}$ } 、 P $P=\lim _{d\rightarrow \infty }{\sqrt {d}}P_{d}$ d $P=\lim _{d\rightarrow \infty }{\sqrt {d}}P_{d}$ d { $displaystyle$ P $=$ \ $lim$ $P=\lim _{d\rightarrow \infty }{\sqrt {d}}P_{d}$ _ { $d\ rightarrow$ \ $infty$ } { \ $d$ { \ d } {\ {\ {\ ${\$ $\alpha$ ${\$ {\ {\ p p p p p p p p p p p {\ p p let {\ p pution p ${\$ p pution let let let p pution let let let let let let p p p p p p $X=|\alpha |$ $X=|\alpha |$ ${\tfrac {1}{2}}$ $α$ {\ $style$ X $X=|\alpha |$ = \ $alpha （$ \ display style \ $tfrac {$ { $}$ { }} $X=-|\alpha |$ x $=$ - \ $alpha$ } 、 ${\tfrac {1}{2}}$ 、 $E[X^{j}]=0$ \ $display$ $style$ \ $tfrac$ { 1 $}$ { 2 } $0$ [ $X ]$ $E[X^{j}]=({\tfrac {j}{2}})!$ 2 $)!$ (\ $displaystyle$ E $[X^{j}]=sq\tfrac {j}{$ 2}!) 짝수 $E[X^{j}]=({\tfrac {j}{2}})!$ j에 대하여

이것과 가우스 직교법을 사용하여 p $p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}$ $p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}$ $p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}$ $p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}$ $p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}$ $p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}$ $p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}$ $p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}$ f $p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}$ $p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}$ $p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}$ S $p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}$ $p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}$ $p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}$ $style p_{f,g$ }) = $p_{f,g}|\psi _{f,g}\rangle$ $frac$ { $sum$ _ { $i=1}^{f,i}^{2$ }}{ $S_{1} S_$ {f,i}{ $f$ $}}{{$ f $p_{f,g}|\psi _{f,g}\rangle$ $}}}}}}{$ $p_{f,g}|\psi _{f,g}\rangle$ }}}}}}}를 $p_{f,g}={\frac {\sum _{i=1}^{d}a_{f,i}^{2}}{|S_{1}||S_{2}|}}$ 구성할 수 있습니다 $p_{f,g}|\psi _{f,g}\rangle$

유니터리 t-설계

유니터리 t-디자인은 유니터리 ^[1]행렬의 유한한 집합을 통해 전체 유니터리 그룹을 재현한다는 점에서 구형 설계와 유사하다.유니터리 2-설계 이론은 게이트라고 불리는 양자 컴퓨팅 운영의 오류를 평가하기 위해 효율적이고 확장 가능한 무작위 벤치마킹의 실용적인^[3] 수단을 달성하기 위해 2006년에 특별히 개발되었습니다.그 이후로 단일 t-디자인은 양자컴퓨팅의 다른 분야와 양자정보이론, 그리고 블랙홀 ^[4]물리학에 이르는 분야에서 유용하다는 것이 밝혀졌습니다.이상적인 연산은 보통 단일 연산자에 의해 표현되기 때문에 유니터리 t-설계는 양자 컴퓨팅의 랜덤화 작업과 특히 관련이 있다.

단일 t-설계 요소는 d $d\times d$ × $d\times d$ \ $display style$ d\ $times$ d $}$ 단위 $d\times d$ 행렬의 $d\times d$ 인 단일 그룹 U(d)의 요소이다.단일 연산자의 t 설계는 상태의 t 설계를 생성합니다.

${U_{k}}$ { $displaystyle {U_{k}}}$ 이 ${U_k}$ (가) 유니터리 t-설계(즉, 유니터리 연산자 집합)라고 ${U_{k}}$ 합니다.다음으로 순수 상태 $({displaystyle \psi \rangle$ })에 $|\psi \rangle$ 대해 $|\psi _{k}\rangle =U_{k}|\psi \rangle$ $=$ $|\psi _{k}\rangle =U_{k}|\psi \rangle$ $({displaystyle$ \psi _{k $rangle$ })로 합니다.그러면 ${|\psi _{k}\rangle }$ k ${|\psi _{k}\rangle }$ ⟩(\ $displaystyle {$ \ $psi$ _ ${k}\rangle$ }})는 ${|\psi _{k}\rangle }$ 항상 t-design 상태가 됩니다.

공식적으로 단일 t-설계 X를 정의한다.

${1}{ X }}\sum _{U\in X}U^{\otimes t}{\otimes t}=\int _{U(d)}U^{\otimes t}\otimes (U^{*})^{\otimes t}dU$

U의 모든 선택에서 U $U^{\otimes r}\otimes (U^{*})^{\otimes s}dU$ r $U^{\otimes r}\otimes (U^{*})^{\otimes s}dU$ ( U $U^{\otimes r}\otimes (U^{*})^{\otimes s}dU$ ) $U^{\otimes r}\otimes (U^{*})^{\otimes s}dU$ s d $U^{\otimes r}\otimes (U^{*})^{\otimes s}dU$ U { \ $display$ $style$ U^ { \ $otimes$ r $r+s=t$ } \ $otimes$ ( U $U^{\otimes r}\otimes (U^{*})^{\otimes s}dU$ { * }^{ \ $otimes$ s } $dU$ $U\in X$ spanned by $U\in X$ display display $U\in X$ display $U\in X$ $displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ $U\in X$ displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay $r+s=t$ displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay유니터리 디자인과 유니터리 코드 사이에 있습니다.

치환 지도를 사용하면 단일 행렬 집합이 t-설계를 ^[8]형성하는지 직접 확인할 수 있습니다^[7].

이 직접적인 결과 중 하나는 유한 X $X\subseteq U(d)$ ( $X\subseteq U(d)$ ) { $displaystyle$ X \ $subseteq$ U ( $d$ ) } 입니다.

${1}{X^{2}}\sum _{U,V\in X}tr(U*V)^{2t}\geq \int _{U(d)}tr(U*V)^{2t}dU$

X가 t-설계인 경우에만 동일.

1과 2의 설계가 상세하게 검토되었으며 X, X의 치수에 대한 절대 경계가 ^[9]도출되었다.

단일 설계에 대한 한계

$Hom(U(d),t,t)$ m ( $Hom(U(d),t,t)$ ( $Hom(U(d),t,t)$ d ) $Hom(U(d),t,t)$ , $Hom(U(d),t,t)$ , $Hom(U(d),t,t)$ $){$ $displaystyle$ $Hom$ ( $U$ ( $d , t$ )}를 $Hom(U(d),t,t)$ U { $displaystyle$ U $}$ t의 균일한 함수 세트로 정의하고, 각 f $f\in Hom(U(d),t,t)$ $f\in Hom(U(d),t,t)$ $f\in Hom(U(d),t,t)$ （ $f\in Hom(U(d),t,t)$ $style$ $f\in Hom(U(d),t,t)$ 、 $f\in Hom(U(d),t,t)$ 。

${1}{ X }}\sum _{U\in X}f(U)=\int _{U(d)}f(U)dU$

그럼 X는 유니터리 t-design이다.

또한 U $)$ 의 $U(d)$ $함수$ f(\ $displaystyle$ f $)$ $g$ g(\ $displaystyle$ U $(d))$ 의 내적을 f $(\displaystyle {f}g)$ 의 $\bar{f}g$ 평균값으로 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle f,g\rangle :=\int _{U(d)}{\bar {f(U)}}g(U)dX}$

$\langle f,g\rangle _{X}$ $,$ $,$ g $X\subset U(d)$ rangle $_{X}$ 는 $\langle f,g\rangle_X$ 유한 $서브셋$ X $X\subset U(d)$ $(d$ 에 대한 ${\bar {f}}g$ f ${\bar {f}}g$ g의 $평균값$ : f ${\bar {f}}g$ g { ${\bar {f}}g$ $displaystyle$ $\$ $langle$ f , $g$ } ${\bar {f}}g$ 。

따라서 X는 $\langle 1,f\rangle _{X}=\langle 1,f\rangle \quad \forall f$ 1, f $\langle 1,f\rangle _{X}=\langle 1,f\rangle \quad \forall f$ X $\langle 1,f\rangle _{X}=\langle 1,f\rangle \quad \forall f$ 1, f $\langle 1,f\rangle _{X}=\langle 1,f\rangle \quad \forall f$ $\langle 1,f\rangle _{X}=\langle 1,f\rangle \quad \forall f$ \ $displaystyle$ \ $sclle$ 1, $f\rangle$ _ { X } = \ $langle$ \ f $\ forall$ \ for $\langle 1,f\rangle _{X}=\langle 1,f\rangle \quad \forall f$ 의 경우에만 단일 t-설계입니다.

위에서 보면 X가 t-design일 $|X|\geq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),\left\lceil {\tfrac {t}{2}}\right\rceil ,\left\lfloor {\tfrac {t}{2}}\right\rfloor ))$ X $|X|\geq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),\left\lceil {\tfrac {t}{2}}\right\rceil ,\left\lfloor {\tfrac {t}{2}}\right\rfloor ))$ ) $|X|\geq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),\left\lceil {\tfrac {t}{2}}\right\rceil ,\left\lfloor {\tfrac {t}{2}}\right\rfloor ))$ ( $|X|\geq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),\left\lceil {\tfrac {t}{2}}\right\rceil ,\left\lfloor {\tfrac {t}{2}}\right\rfloor ))$ ( $|X|\geq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),\left\lceil {\tfrac {t}{2}}\right\rceil ,\left\lfloor {\tfrac {t}{2}}\right\rfloor ))$ $|X|\geq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),\left\lceil {\tfrac {t}{2}}\right\rceil ,\left\lfloor {\tfrac {t}{2}}\right\rfloor ))$ t $|X|\geq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),\left\lceil {\tfrac {t}{2}}\right\rceil ,\left\lfloor {\tfrac {t}{2}}\right\rfloor ))$ ) $|X|\geq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),\left\lceil {\tfrac {t}{2}}\right\rceil ,\left\lfloor {\tfrac {t}{2}}\right\rfloor ))$ 2 $|X|\geq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),\left\lceil {\tfrac {t}{2}}\right\rceil ,\left\lfloor {\tfrac {t}{2}}\right\rfloor ))$ （ $displaystyle$ X \ $geq \dim$ ( \ $operatorname {Hom}(U(d), \leftfrac {t}\ceil$ { $tce$ }} { $right}$ ）。이것은 단일 설계의 크기에 상한을 부과한다.이 경계는 설계 강도 또는 코드 정도에 따라 달라지며 부분 집합 X의 ^[10]거리는 달라지지 않습니다.

유니터리 코드는 요소 간에 소수의 내적 값이 발생하는 유니터리 그룹의 유한 서브셋입니다.구체적으로는 X $|\operatorname {tr} (U^{*}M)|^{2}$ $|\operatorname {tr} (U^{*}M)|^{2}$ ( $|\operatorname {tr} (U^{*}M)|^{2}$ M $U\neq M$ ) $|\operatorname {tr} (U^{*}M)|^{2}$ $($ \ $displaystyle \operatorname {tr }$ ( U^ { * } )의 $|\operatorname {tr} (U^{*}M)|^{2}$ $U\neq M$ U $U\neq M$ M에 $U\neq M$ 대해 $유니터리$ 코드는 $유한$ $서브셋$ $|\operatorname {tr} (U^{*}M)|^{2}$ X $X\subset U(d)$ $set$ U ( d ) \ $X\subset U(d)$ displaystyle X \ $subset$ U $X\subset U(d)$ ( $d$ )로 $X \subset U(d)$ 정의됩니다 $.$

이어서 X $|X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s))$ dim $|X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s))$ ( $|X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s))$ ( $|X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s))$ ) , $|X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s))$ , $|X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s))$ ) $|X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s))$ { $display$ X \ $leq \dim$ ( \ $operatorname {Hom }$ ( U ( d , $s$ ) } $|X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s))$ 、 U 와 M 이 $|X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s-1))$ 하는 경우는 X $|X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s-1))$ dim ( $|X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s-1))$ ( $display$ ) , $|X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s-1))$ ) , 1 $|X|\leq \dim(\operatorname {Hom} (U(d),s,s-1))$ ,

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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