확률 적분 변환

확률 이론에서 확률 적분 변환(정복의 보편성이라고도 함)은 주어진 연속 분포에서 랜덤 변수로 모델링된 데이터 값을 표준 균일 분포를 갖는 랜덤 변수로 변환할 수 있는 결과와 관련된다.^[1]이는 사용 중인 분포가 랜덤 변수의 실제 분포라는 것을 정확히 감안한 것이다. 분포가 데이터에 적합한 분포인 경우 그 결과는 큰 표본에서 대략적으로 유지된다.null

변환의 결과가 지수 분포와 같은 균일한 분포 이외의 표준 분포가 되도록 결과를 수정하거나 확장하는 경우도 있다.null

적용들

통계 데이터 분석에서 확률 적분 변환에 대한 한 가지 용도는 일련의 관측치가 특정 분포에서 발생하는 것으로 합리적으로 모델링될 수 있는지 여부를 검정하는 데 대한 근거를 제공하는 것이다.특히 확률 적분 변환을 적용하여 등가 값의 집합을 구성하고, 균일한 분포가 구성된 데이터 집합에 적합한지 여부를 시험한다.이에 대한 예로는 P-P 그림 및 Kolmogorov-Smirnov 시험 등이 있다.null

변환을 위한 두 번째 용도는 통계적으로 의존하는 다변량 데이터에 대한 분포를 정의하고 작업하는 수단인 코풀라와 관련된 이론에 있다.여기서 랜덤 변수 집합에 대한 공동 확률 분포를 정의하거나 조작하는 문제는 확률 적분 변환을 각 성분에 적용한 다음 주변 변수가 균일한 분포를 갖는 공동 분포를 사용하여 작업함으로써 명백하게 복잡하게 단순화되거나 감소된다.null

세 번째 용도는 확률 적분 변환의 역분포를 적용하여 균일한 분포에서 랜덤 변수를 선택한 분포로 변환하는데, 이를 역변환 샘플링이라고 한다.null

성명서

랜덤 변수 X에 누적분포함수(CDF)가 F인_X 연속분포가 있다고 가정하자.그런 다음 랜덤 변수 Y는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle Y=F_{X}(X)\...}$

표준 균일 분포를 가지고 있다.^[1]null

증명

Given any random continuous variable ${\displaystyle X}$, define ${\displaystyle Y=F_{X}(X)}$. Given ${\displaystyle y\in [0,1]}$, if ${\displaystyle F_{X}^{-1}(y)}$ exists (i.e., if there exists a unique ${\displaystyle x}$ such that ${\dis$$Playstyle F_{X}(x)=y})$를 누른 후 다음을 수행하십시오.

${\displaystyle {\reasoned}F_{Y}(y)&=\operatorname {P}(Y\leq y)\\&=\operatorname {P}(F_{X}(X)\leq y)\&=\operatorname {P}(X\leq F_{X}^{-1}(y)\\&=F_{X}(F_{X}^{-1}(y))\\&=y\end{aigned}}$

If ${\displaystyle F_{X}^{-1}(y)}$ does not exist, then it can be replaced in this proof by the function ${\displaystyle \chi }$, where we define ${\displaystyle \chi (0)=-\infty }$, ${\displaystyle \chi (1)=\infty }$, and ${\display$$스타일 \chi (y)\equiv \inf\{x:$$F\_{\displaystyle {}_{}}$${$${\displaystyle X_{}}$$}(x)\leq y\}:$ $y{\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle$ y$\in (0,1$에 대해$$ ${\displaystyle {FY}_{}}$( ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F_{Y}(y)=y$ 따라서 F $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$Y}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{Un}}$ i ${\displaystyle \mathrm{f}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ r ${\displaystyle \mathrm{m}}$( ${\displaystyle 0,}$ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {Uniform} (0,1)}$ 랜덤$$ 변수의 CDF일$$ 뿐이므로, $Y{\displaystyle }$ ${\\displaystyle Y}$은$({\displaystyle }$는) [${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystystyleyley$ [$0, [0]}$ 간격에 균일한 분포를 가진다$$$.$

예

예를 들어, X는 표준 정규 분포 $N{\displaystyle \mathcal{}}$( 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle {\mathcal{N}}(0,1$)을 가진 랜덤 변수가 되도록 하자$.$ 그러면 해당 CDF는

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}{\rm {e}}^{-t^{2}/2}\,{\rm {d}}t={\frac {1}{2}}{\Big [}\,1+\operatorname {erf} {\Big (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Big )}\,{\Big ]},\quad x\in \mathbb {R} ,\,}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{erf}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \chostname {erf}()}$은(는) 오류 함수다.그런 다음 Y=((X)에 의해 정의된 새로운 랜덤 변수 Y가 균일하게 분포된다.null

X가 단위 평균을 갖는 지수 분포를 갖는 경우 해당 CDF는

${\displaystyle F(x)=1-\exp(-x),}$

확률 적분 변환의 즉각적인 결과는

$[\displaystyle Y=1-\exp(-X)}$

균일하게 분포되어 있다.그러면 균등 분포의 대칭은 다음과 같은 것을 나타내기 위해 사용될 수 있다.

$[\displaystyle Y'=\exp(-X)}$

또한 균일한 분포가 있다.null

참고 항목

• 역변환 표본 추출

참조