전력 변환

통계에서, 전력 변환은 전력 함수를 이용한 데이터의 단조적 변환을 만들기 위해 적용된 기능의 집합이다.분산 안정화, 데이터의 정규 분포 유사성, 연관성 측도(변수 간 Pearson 상관 관계 등)의 유효성 향상 및 기타 데이터 안정화 절차에 사용되는 데이터 변환 기법이다.

전력 변환은 다중 분해능 및 파장 분석,^[1] 통계 데이터 분석, 의료 연구, 물리적 프로세스의 모델링,^[2] 지질화학 데이터 분석,^[3] 역학^[4] 및 기타 많은 임상, 환경 및 사회 연구 영역을 포함한 여러 분야에서 사용된다.

정의

전력 변환은 특이점(λ parameter = 0)에서 연속적으로 만드는 조각 형태의 함수 형태로 전력 매개변수 λ과 관련하여 연속적으로 변화하는 함수로 정의된다.각_i y > 0이 되는 데이터 벡터(y₁,..., y_n)의 경우, 전력 변환은

${\displaystyle y_{i}^{{lambda )}={\begin{case}{\dfrac {y_{i}^{\lambda 1}-1}{\lambda(\opername {GM})(y)^{\lambda -1},&#{\text{1}, \lambda \neq 0\\\[12pt]\operatorname {GM}(y)\ln {y_{i},&\text{}}}}}}}\lambda =0\case}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle \operatorname {y}(y)=\왼쪽(\prod _{n}y_{n}\right)^{\frac {1}{1}{n}}={\sqrt[{n}}]{y_{1}y_{2}\cdots y_{n}}},},},},}$

관측치 y₁, ..., y의_n 기하학적 $평균$이다. ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \lambda =0}$의 $경우$는 {$${\$displaystyle \lambda }}$이(가) 0에 근접함에 따라 한계가 된다$$.To see this, note that ${\displaystyle y_{i}^{\lambda }}$ = ${\displaystyle \operatorname {exp} ({\lambda \operatorname {log} (y_{i})})=1+\lambda \operatorname {log} (y_{i})+O((\lambda \operatorname {log} (y_{i}))^{2})}$.Then ${\displaystyle {\dfrac {y_{i}^{\lambda }-1}{\lambda }}}$ = ${\displaystyle \operatorname {log} (y_{i})+O(\lambda )}$, and everything but ${\displaystyle \operatorname {log} (y_{i})}$ becomes negligible for ${\displaystyle \lambda }$ sufficiently small.

기하 평균의 (1955 - 1)번째 힘을 분모에 포함시키면 measurement의 변화에도 측정 단위가 변하지 않기 때문에 $y{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ($){\$ $)\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}$와 관련된 모든 방정식의 과학적 해석을 단순화한다.

Box and Cox(1964)는 먼저 재조정된 전력 변환의 자코비안을 포함시킴으로써 기하학적 평균을 이 변환에 도입했다.

${\displaystyle {\displaystyle \frac{y^{}}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{{\lambda }^{}}{}}}$- ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \frac{}{}}}$ ${\$ $\}\}.$

그럴 듯하게이 야코비안은 다음과 같다.

${\displaystyle J(\lambda ;y_{1},...,y_{n})=\prod _{i=1}^{n} dy_{i}^{(\lambda )}/dy =\prod _{i=1}^{n}y_{i}^{\lambda -1}=\operatorname {GM} (y)^{n(\lambda -1)}}$

이를 통해 최대값의 정상 로그우도를 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle \log({\mathcal {L}})({\hat {\mu},{\hat {\sigma }}}})=(-n/2)(\log(2\pi {\hat {\sigma{2}+1)+n(\lambda -1)\log(\operatorname {GM})(y)}$

${\displaystyle =(-n/2)(\log(2\pi {\hat {\sigma }}^{2}/\operatorname {GM}(y)^{2(\lambda -1)+1))+1).}$

From here, absorbing ${\displaystyle \operatorname {GM} (y)^{2(\lambda -1)}}$ into the expression for ${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$ produces an expression that establishes that minimizing the sum of squares of residuals from ${\displaystyle y_{i}^{(\lambda )}}$is$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\lambda }^{}}$- ${\displaystyle 1}$) /${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (y^{\lambda }-1)/\lambda }$로부터의 편차의 정상 로그 우도의 합계와 변환의 Jacobian 로그의 합계를 최대화하는 것과 동등하다.

any에 대한 Y = 1 값은 0이고, Y에 대한 파생상품은 λ에 대해 1이 있다.때때로 Y는 어떤 종류의 평균값에서 Y = 1을 주기 위해 크기가 조정된 일부 다른 변수의 버전이다.

변환은 동력 변환이지만, = = 0에서 매개변수 λ으로 연속적으로 이루어지도록 한다.그것은 계량학을 포함한 회귀 분석에서 인기 있는 것으로 증명되었다.

박스와 콕스는 또한 시프트 파라미터를 통합한 보다 일반적인 형태의 변환을 제안했다.

${\displaystyle \tau (y_{i};\lambda ,\alpha )={\begin{cases}{\dfrac {(y_{i}+\alpha )^{\lambda }-1}{\lambda (\operatorname {GM} (y+\alpha ))^{\lambda -1}}}&{\text{if }}\lambda \neq 0,\\\\\operatorname {GM} (y+\alpha )\ln(y_{i}+\alpha )&{\text{if }}\lambda =0,\end{cases}}}$

모든 i에 대해_i y + α > 0일 경우 고정한다.만약 ((Y, ,, α)이 잘린 정규 분포를 따른다면, Y는 Box-Cox 분포를 따른다고 한다.

비켈과 독섬은 다음과 같이 변환 범위를 모든 y로 확장하여 잘린 분포를 사용할 필요가 없었다.

${\displaystyle \tau (y_{i};\lambda ,\alpha )={\begin{cases}{\dfrac {\operatorname {sgn} (y_{i}+\alpha ) y_{i}+\alpha ^{\la$$mbda }-1}{\lambda (\operatorname {GM} (y+\alpha ))^{\lambda -1}}}&{\text{if }}\lambda \neq 0,\\\\\operatorname {GM} (y+\alpha )\operatorname {sgn} (y+\alpha )\ln(y_{i}+\alpha )&{\text{if }}\lambda =0,\end{cases}}}$,

여기서 sgn(.)은 부호함수다.$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이$($가) 보통인 ${\displaystyle \mathrm{최소}}$ ${\displaystyle (y_{}}$ )${\displaystyle \operatorname {min}(y_{i})$보다 작으면 이러한$$ 정의의 변경은 실질적인 가져오기가 거의 없다.^[5]

비켈과 독섬은 또한 모수 추정치가 적절한 규칙성 조건에서 일관되고 점증적으로 정규적이라는 것을 증명했지만, 표준 Cramér-Rao 하한은 모수 값이 소음 분산에 비해 작을 때 분산을 실질적으로 과소평가할 수 있다.^[5]그러나 이러한 분산을 과소평가하는 문제는 많은 적용에서 실질적인 문제가 아닐 수 있다.^[6][7]

박스-콕스 변환

단일 변수 Box-Cox 변환은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle y_{i}^{{i}^{\dfrac{y_{i}^{\dfrac {y_{i}}}}{\fragda }-1}{\context}}}}}}\neq 0,\\ln y_{i}&\text{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

및 2-모수 Box-Cox 변환:

${\displaystyle y_{i}^{({\boldsymbol {\lambda }})}={\begin{cases}{\dfrac {(y_{i}+\lambda _{2})^{\lambda _{1}}-1}{\lambda _{1}}}&{\text{if }}\lambda _{1}\neq 0,\\\ln(y_{i}+\lambda _{2})&{\text{if }}\lambda _{1}=0,\end{cases}}}$

원문에 기술된 ^[8][9]바와 같이게다가 첫 번째 변환은 > ${\displaystyle y_{i$에 대해, 두 번째 은 i > 0에 대해, 두 번째 변환은 - ${\$}}에 대해 유지된다^[8]

$매개변수{\displaystyle }$ $▼$ {\$displaystyle \lambda$}은(는) 프로파일 우도 함수와 적합도 검정을 사용하여 추정한다$$.^[10]

신뢰구간

Box-Cox 변환에 대한 신뢰 구간은 다음과 같은 제한을 충족하는$$on {\$displaystyle \lambda }$의 가능한 모든 값을 찾기 위해 프로파일우도함수에 대한 Wilks의 정리를 사용하여 점증적으로 구성할 수 있다.^[11]

${\displaystyle \ln {\big(}L(\lambda ){\big )}\geq \ln {\big(}L)({\hat {\lambda }}}{\big )-{1}{1}{1}:{1,1-\alpha }}}}$

예

BUPA 간 데이터 세트에는^[12] 간 효소 ALT와 γGT에 대한 데이터가 들어 있다.로그(log)를 사용하여 ALT를 예측하는 데 관심이 있다고 가정합시다.그림의 패널(a)에 데이터의 플롯이 나타난다.일정하지 않은 분산이 있는 것으로 보이며, Box-Cox 변환이 도움이 될 수 있다.

전력 파라미터의 로그 우도는 패널 (b)에 나타난다.수평 기준선은 최대값에서 maximum/2₁² 거리에 있으며 2에 대한 약 95% 신뢰 구간을 판독하는데 사용할 수 있다.0에 가까운 값이 좋을 것 같아서 통나무를 가져간다.

로그 변환에 Shift 매개 변수를 추가하여 변환을 개선할 수 있다.그림의 패널(c)은 로그 우도를 나타낸다.이 경우 최대 확률이 0에 가까우면 이동 매개변수가 필요하지 않음을 의미한다.마지막 패널은 회귀선이 중첩된 변환된 데이터를 보여준다.

Box-Cox 변환은 모델 적합성을 크게 개선할 수 있지만, 변환에 도움이 될 수 없는 몇 가지 문제가 있다는 점에 유의하십시오.현재의 예에서는 데이터가 다소 과중한 편이어서 정규성에 대한 가정이 현실적이지 않고 강력한 회귀 접근방식이 보다 정확한 모델로 이어진다.

계량적용

경제학자들은 종종 Box-Cox 변환의 어떤 변종에 의해 생산 관계를 특성화한다.^[13]

생산 Q를 자본 주식 K가 제공하는 서비스와 노동 시간 N이 제공하는 서비스에 의존하는 것으로 공통적으로 나타낸다고 간주한다.

$\displaystyle \tau(Q)=\alpha \tau(K)+(1-\alpha )\tau(N)\,}$

Box-Cox 변환을 뒤집어서 Q를 해결하는 방법

${\displaystyle Q={\big (}\alpha K^{\lambda }+(1-\alpha )N^{\lambda }{\big )^{1/\lambda }},\,}$

이를 대체(CES) 생산 함수의 지속적인 탄력성이라고 한다.

CES 생산함수는 도 1의 균일한 함수다.

λ = 1이면 선형 생산함수가 생성된다.

${\displaystyle Q=\alpha K+(1-\alpha )N.\,}$

λ → 0이 되면 다음과 같이 유명한 Cobb-Douglas 생산기능이 생성된다.

${\displaystyle Q=K^{\alpha }N^{1-\alpha }\,}$

활동 및 데모

SOCR 리소스 페이지에는 Java 애플릿과 차트를 사용한 Box-Cox(파워) 변환을 시연하는 다양한 체험형 인터랙티브 활동이^[14] 수록되어 있다.이것들은 Q–Q 그림, X–Y 산점도, 시계열도 및 히스토그램에 대한 이 변환의 영향을 직접적으로 보여준다.

여존손 변신

Yeo-Johnson 변환은^[15] $또한{\displaystyle }$ y$${\$displaystyle$y}의 0과 음의 값을 허용한다$.$ $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는$)$ 모든 실제 숫자가 될 수 있으며$$, 여기서 $\lambda {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaysty \lambda$=1}은 ID 변환을 생성한다$$.변환 법률은 다음과 같이 규정되어 있다.

${\displaystyle y_{i}^{(\lambda )}={\begin{cases}((y_{i}+1)^{\lambda }-1)/\lambda &{\text{if }}\lambda \neq 0,y\geq 0\\\log(y_{i}+1)&{\text{if }}\lambda =0,y\geq 0\\-((-y_{i}+1)^{(2-\lambda )}-1)/(2-\lambda )&{\text{if }}\lambda \neq 2,y<0\\-\log(-y_{i}+1)&{\text{if }}\lambda =2,y<0\end{cases}}}$

메모들

참조

• Box, George E. P.; Cox, D. R. (1964). "An analysis of transformations". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 26 (2): 211–252. JSTOR 2984418. MR 0192611.
• Carroll, RJ; Ruppert, D. (1981). "On prediction and the power transformation family" (PDF). Biometrika. 68 (3): 609–615. doi:10.1093/biomet/68.3.609.
• DeGroot, M. H. (1987). "A Conversation with George Box". Statistical Science. 2 (3): 239–258. doi:10.1214/ss/1177013223.
• Handelsman, DJ (2002). "Optimal Power Transformations for Analysis of Sperm Concentration and Other Semen Variables". Journal of Andrology. 23 (5).
• Gluzman, S.; Yukalov, V. I. (2006). "Self-similar power transforms in extrapolation problems". Journal of Mathematical Chemistry. 39 (1): 47–56. arXiv:cond-mat/0606104. Bibcode:2006cond.mat..6104G. doi:10.1007/s10910-005-9003-7.
• Howarth, R. J.; Earle, S. A. M. (1979). "Application of a generalized power transformation to geochemical data". Journal of the International Association for Mathematical Geology. 11 (1): 45–62. doi:10.1007/BF01043245.

외부 링크

• Nishii, R. (2001) [1994], "Box–Cox transformation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press (고정 링크)
• 샌포드 와이스버그, 여존슨 전력 변환