위상 검색

위상 검색은 알고리즘적으로 위상 문제에 대한 해결책을 찾는 과정이다. 진폭 $|F(k)|$ $F(k)$ ${\displaystyle F(k$ )} $|F(k)|$ , 진폭 $F(k)$ k $)$ $displaystyle F(k)}$ , 위상 $\psi (k)$ $\psi(k)$ 의 복잡한 신호 F( $F(k)$ )가 주어질 경우 $\psi (k)$

F(k)=F(k) e^{i\psi(k)}=\int_{-\infit }^{\inf(x)\e^{-2\pi ik\cdot x}\,dx

여기서 x는 M차원 공간좌표, k는 M차원 공간주파수좌표다. 위상 검색은 측정된 진폭에 대해 일련의 제약 조건을 만족하는 위상 찾기로 구성된다. 단계 검색의 중요한 응용 프로그램 X-ray결정학, 투과 전자 현미경과 일관성 있는 회절성의 영상이 단계 검색 문제의 단계가 없는 예비군 역원 산란 문제를 포함한 둘 다 예비군과 2D사례들이 M=2{M=2\displaystyle}.[1]Uniqueness 정리 Klibanov에 의해 그리고 그 동안 입증된 등이 포함됐다.h공동작업자(참조자 참조).

문제 제식

여기서는 1-D 이산 푸리에 변환(DFT) 위상 검색 문제를 고려한다. 복합 신호 $f[n]$ [ $f[n]$ $f[n]$ $f[n]$ 의 DFT는 다음을 통해 제공된다 $f[n]$ .

$F[k]=\sum _{n=0}^{N-1}f[n]e^{-j2\pi {\frac {kn}{N}},}= F[k] \cdot e^{j\psi [k]}\quad k=0,1,\ldots ,N-1$ ,

$x$ x $x$ 의 과표본 DFT는

$F[k]=\sum _{n=0}^{N-1}f[n]e^{-j2\pi {\frac {kn}{M}},}\quad k=0,1,\ldots ,M-1$ ,

$M>N$ 서 M $M>N$ > N ${\displaystyle M>N$

DFT 연산자는 비주사적이기 때문에 $\psi [k]$ [ $\psi [k]$ $\psi [k]$ $\psi [k]$ 단계를 회복하는 것과 같다 $\psi [k]$ 푸리에 크기 대신 자기 상관 시퀀스에서 신호를 복구하는 것이 일반적이다. $즉$ , $N-1$ - $N-1$ ${\displaystyle$ ${\f}$ 을 $($ 를) 0으로 $N-1$ 채운 후 $f$ $벡터$ f $f$ 을 $\hat{f}$ (를) ${\hat {f}}$ . ${\hat {f}}$ 다음 f ${\hat {f}}$ ${\$ 의 자기 상관 시퀀스를 다음과 같이 정의한다 ${\hat {f}}$ .

$g[m]=\sum _{i=\max\{1,m+1\}}^{N}{\hat {f}}_{i}{\overline {{\hat {f}}_{i-m}}},\quad m=-(N-1),\ldots ,N-1$ ${N}{\hat{f}_{i}{\overline {{\hat{f}_{i-m}}},\quad$ m $=-(N-1)\ldots ,N-1$

그리고 $G[k]$ [ $G[k]$ $G[k]$ $G[k]$ 로 표시된 g $g[m]$ [ $]$ 의 DFT는 $G[k]$ $G[k]=|X[k]|^{2}$ [ $G[k]=|X[k]|^{2}$ $G[k]=|X[k]|^{2}$ = X [ $G[k]=|X[k]|^{2}$ $G[k]=|X[k]|^{2}$ $G[k]=|X[k]|^{2}$ ${\$ 을 만족한다 $G[k]=|X[k]|^{2}$

방법들

오류 감소 알고리즘

위상 검색을 위한 오류 감소 알고리즘의 개략도 보기

오류 감소는 게르흐베르크-색스턴 알고리즘의 일반화다. $|F(u)|$ ) {\ $displaystyle F(u)$ 의 측정에서 $f(x)$ $f(x)$ ( x $f(x)$ ) ${\displaystyle$ f $(x$ $)}$ 에 대해 4단계 프로세스를 반복하여 $|F(u)|$ 해결한다. k $k$ 반복의 $k$ 경우 단계는 다음과 같다.

Step (1): $G_{k}(u)$ , $\phi _{k}$ , and $g_{k}(x)$ are estimates of, respectively, $F(u)$ , $\psi$ and $f(x)$ . In the first step we calculate the Fourier transform $g_{k}(x)$ ( $g_{k}(x)$ ) $g_{k}(x)$ 의 경우 $g_{k}(x)$

G_{k}(u)=G_{k}(u) e^{i\phi _{k}}={\mathcal{F}(g_{k})(x)

단계(2): 신호 방정식을^{[clarification needed]} 통해 회절 패턴에서 계산된 $|F(u)|$ ( $|F(u)|$ ) $displaystyle F(u) }$ 의 실험 값을 G $|G_{k}(u)|$ ( $|G_{k}(u)|$ ) $displaystyle G_{k}(u) }$ 로 대체하여 $|G_{k}(u)|$ 푸리에 변환의 추정치를 제시한다.

G'_{k}(u)=F(u) e^{i\pi _{k}(u)}

여기서 는 나중에 폐기될 중간 결과를 나타낸다.

단계 (3): 푸리에 변환 $G'_{k}(u)$ $G'_{k}(u)$ $G'_{k}(u)$ ( $G'_{k}(u)$ ) $G'_{k}(u)$ 의 추정치는 그 후 $G'_{k}(u)$ 푸리에 역변환된다.

g'_{k}(x)=g'_{k}(x) e^{i\theta '_{k}(x)}={\mathcal{F}^{-1}(G'_{k})(u)

단계 (4): g $g'_{k}(x)$ $g'_{k}(x)$ ( $g'_{k}(x)$ ) $g'_{k}(x)$ 그러면 $g'_{k}(x)$ 객체의 새 $g_{k+1}(x)$ $g_{k+1}(x)$ k $g_{k+1}(x)$ + $g_{k+1}(x)$ ( $g_{k+1}(x)$ ) ${\displaystyle g_{k+1}(x)$ 가 $g_{k+1}(x)$ 객체 제약조건을^{[clarification needed]} 만족하도록 변경해야 한다. $g_{k+1}(x)$ g $g_{k+1}(x)$ + $g_{k+1}(x)$ ( x $g_{k+1}(x)$ ) {\ $displaystystyleg_{k+$ 1}( $x)$ 는 다음과 같이 정의된다 $g_{k+1}(x)$ .

g_{k+1}(x)\equiv {\case}g'_{k}(x),&x\notin \pair,\0,&x\in \pair,\end{case}}}}}

여기서 $\gamma$ ${\displaystyle \gamma$ }은 $\gamma$ $($ 는) g $g'_{k}(x)$ ′ ( $g'_{k}(x)$ x $g'_{k}(x)$ ) $g'_{k}(x)$ 이(가) 개체 제약 조건을 충족하지 않는 $g'_{k}(x)$ 도메인이다. 새로운 $g_{k+1}(x)$ 견적 g $g_{k+1}(x)$ + $g_{k+1}(x)$ ( $g_{k+1}(x)$ ) ${\displaystyle$ g_{ $k+1}(x)}$ 을 얻고 4단계 프로세스를 반복한다.

이 과정은 푸리에 구속조건과 객체 구속조건이 모두 충족될 때까지 계속된다. 이론적으로는 그 과정이 항상 정합화로 이어지겠지만,^[1] 만족스러운 영상(일반적으로 >2000)을 제작하는 데 필요한 반복 횟수가 많으면 그 자체로 오류 감소 알고리즘이 실제 적용에 적합하지 않게 된다.

하이브리드 입출력 알고리즘

하이브리드 입력-출력 알고리즘은 오류 감소 알고리즘의 수정이다 - 처음 3단계는 동일하다. 하지만요 k({\displaystyle g_{k}())}더 이상 행동한다로 견적의 f()){\displaystyle f())}, 입력 기능에 해당하는 출력 기능 g km그리고 4.9초 만 ′({\displaystyle g'_{k}())}, 추정의 f()){\displaystyle f())}.[1]에서 4번째 단계는 기능 gk $g'_{k}(x)$ ( $g'_{k}(x)$ ) $g'_{k}(x)$ 이(가) 개체 제약 조건을 위반하고 $g'_{k}(x)$ , g $g_{k+1}(x)$ + 1 $g_{k+1}(x)$ ( $g_{k+1}(x)$ ) $g_{k+1}(x)$ {\ $displaystyle g_{k+1}(x)}$ 값이 0을 향해 강제되지만 $g_{k+1}(x)$ 최적으로 0은 아니다. 하이브리드 입출력 알고리즘의 주요 장점은 함수 $g_{k}(x)$ $g_{k}(x)$ ( $g_{k}(x)$ x $){\displaystyle g_{k}(x)}$ 가 이전 반복에 관한 피드백 정보를 포함하고 $g_{k}(x)$ 있어 정체 확률을 낮춘다는 것이다. 하이브리드 입출력 알고리즘이 오류 감소 알고리즘보다 훨씬 빠른 속도로 솔루션으로 수렴되는 것으로 나타났다. 단계적 크기 최적화 알고리즘을 통해 융합 속도를 더욱 높일 수 있다.^[2]

g_{k+1}(x)\equiv {\case}g'_{k}(x)],&x\notin \notin \filency,\\g_{k}(x)-\g'{k}(x)},&x\in.\end{case}}

여기서 $\beta$ $\beta$ 은(는) 0과 1 사이의 값을 취할 수 있는 피드백 매개 변수다 $\beta$ . 대부분의 애플리케이션의 경우 $\beta \approx 0.9$ β $\beta \approx 0.9$ β $\beta \approx 0.9$ ${\displaystyle \beta$ \ $\beta \approx 0.9$ 약 $0.9}$ 이(가) 최적의 결과를 제공한다 $\beta \approx 0.9$ .{Scientific Reports volume 8, 기사 번호: 6436(2018)}

수축포장

2차원 위상 검색 문제의 경우, $f(x)$ ( $f(x)$ x ) ${\displaystyle$ f $(x)}$ 과 $f(x)$ ( $f^{*}(-x)$ ) 같은 용액의 퇴화가 있으며, 그 결합 $f^{*}(-x)$ $f^{*}(-x)$ ( $f^{*}(-x)$ - x $f^{*}(-x)$ ) ${\displaysty$ f $^{*(-x)}$ 는 동일한 푸리에 계수를 가지고 있다 $f^{*}(-x)$ . 이것은 "이미지 트윈닝"으로 이어지며, 위상 검색 알고리즘은 물체와 그것의 결합 둘 다의 특징을 가진 이미지를 생성하는 것을 정체시킨다.^[3] 수축랩 기법은 (가우스와 경합을 통해) 개체 진폭의 현재 추정치를 저역 통과로 필터링하고 임계값을 적용하여 영상 모호성을 감소시킴으로써 지원의 추정치를 주기적으로 업데이트한다.^[4]

짧은 시간 푸리에 변환을 위한 세미데피나이트 이완 기반 알고리즘

단계적 회복은 잘못된 문제다. 기본 신호를 고유하게 식별하기 위해 게르흐베르크-색스턴 알고리즘과 같은 추가 사전 정보를 추가하는 방법 외에, 다른 방법은 단시간 푸리에 변환(STFT)과 같은 크기 전용 측정을 추가하는 것이다.

아래에 소개된 방법은 주로 자가나단 외 연구소의 작업을 바탕으로 한다.^[5]

단시간 푸리에 변환

이산 신호 $\mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}$ = $\mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}$ ( $\mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}$ [ $\mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}$ $\mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}$ , f $\mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}$ [ $\mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}$ $\mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}$ , $\mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}$ . $\mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}$ . , $\mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}$ [ N $\mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}$ - $\mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}$ $\mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}$ ) T ${\$ ], $...,f[N-1]))$ 가 주어진다. $^{T}$ f $f(x)$ ( $f(x)$ $){\displaystyle f(x)}}$ 에서 샘플링된 $\mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}$ $f(x)$ ^{T}. $\mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}$ : w $\mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}$ = $\mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}$ ( $\mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}$ [ 0 $\mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}$ , $\mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}$ [ 1 $\mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}$ , $\mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}$ . $\mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}$ . $\mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}$ [ $\mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}$ - 1 $\mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}$ T ${\$ {w $}$ = $(w[0], ..., w[W-1])^{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ $\mathbf {Y}$ $}}$ Y ${\$ $displaystyle \mathrm$ { $f}$ 에 표시된 $\mathrm {f}$ F ${\$ $displaystyle \mathbf {Y}$ 의 STFT 계산 $\mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}$ $\mathbf {Y}$

$Y[m,r]=\sum _{n=0}^{{N-1}{f[n]w[rL-n]e^{-i2\pi {\frac {mn}{N}}$

for $0\leq m\leq N-1$ and $0\leq r\leq R-1$ , where the parameter $L$ denotes the separation in time between adjacent short-time sections and the parameter $R=\left\lceil {\frac {N+W-1}{L}}\right\rceil$ d고려된 단시간 섹션의 수를 나타낸다.

STFT의 다른 해석(슬라이딩 윈도우 해석이라고 함)은 이산 푸리에 변환(DFT)의 도움을 받아 사용할 수 있다. let $w_{r}[n]=w[rL-n]$ [ $w_{r}[n]=w[rL-n]$ $w_{r}[n]=w[rL-n]$ = w $w_{r}[n]=w[rL-n]$ [ $w_{r}[n]=w[rL-n]$ $w_{r}[n]=w[rL-n]$ - n $w_{r}[n]=w[rL-n]$ $w_{r}[n]=w[rL-n]$ 은(는) 이동 및 플립 $\mathbf {w}$ 에서 얻은 창 요소를 나타내며 $w_{r}[n]=w[rL-n]$ , ${\$ 으)는 다음과 같다 $\mathbf {w}$

$\mathbf {Y} =[\mathbf {Y} _{0},\mathbf {Y} _{1},...,\mathbf {Y} _{R-1}]$ , where $\mathbf {Y} _{r}=\mathbf {x} \circ \mathbf {w} _{r}$ .

문제 정의

Let ${Z}_{w}[m,r]= Y[m,r] ^{2}$ be the $N\times R$ measurements corresponding to the magnitude-square of the STFT of $\mathbf {x}$ , $\mathbf {W} _{r}$ be the ${\displaystyle N\times$ $N$ } 대각 $N\times N$ 행렬 $($ $\left(w_{r}[0],w_{r}[1],\ldots ,w_{r}[N-1]\right).$ r [ 0 $\left(w_{r}[0],w_{r}[1],\ldots ,w_{r}[N-1]\right).$ ] , $\left(w_{r}[0],w_{r}[1],\ldots ,w_{r}[N-1]\right).$ r [ $\left(w_{r}[0],w_{r}[1],\ldots ,w_{r}[N-1]\right).$ 1 $\left(w_{r}[0],w_{r}[1],\ldots ,w_{r}[N-1]\right).$ ] $\left(w_{r}[0],w_{r}[1],\ldots ,w_{r}[N-1]\right).$ , $\left(w_{r}[0],w_{r}[1],\ldots ,w_{r}[N-1]\right).$ … $\left(w_{r}[0],w_{r}[1],\ldots ,w_{r}[N-1]\right).$ [ $\left(w_{r}[0],w_{r}[1],\ldots ,w_{r}[N-1]\right).$ N - $\left(w_{r}[0],w_{r}[1],\ldots ,w_{r}[N-1]\right).$ ) $\left(w_{r}[0],w_{r}[1],\ldots ,w_{r}[N-1]\right).$ . ${\displaystyle \left(w_{r}[0], w_{r}[1],\ldots, w_{r}[N-1]\right).$ $}$ STFT $\left(w_{r}[0],w_{r}[1],\ldots ,w_{r}[N-1]\right).$ 위상 검색은 다음과 같이 명시할 수 있다.

Find $\mathbf {x}$ such that $Z_{w}[m,r]=\left \left\langle \mathbf {f} _{m},\mathbf {W} _{r}\mathbf {x} \right\rangle \right ^{2}$ for $0\leq m\leq N-1$ and ${\displaystyle 0\leq$ $r\leq R-1$ 여기서 $\mathbf {f} _{m}$ $\mathbf {f} _{m}$ ${\$ 은 $N$ $N$ -point $N$ 역DFT 행렬의 $m$ ${\displaystyle$ m}-th $m$ 열이다 $\mathbf {f} _{m}$ .

직관적으로 $N$ $N$ 과(와) 함께 증가하는 계산 복잡성은 이 방법을 비실용적으로 만든다 $N$ . 그러나 실제로 대부분의 경우에 우리는 2 $2W\leq M\leq N$ $2W\leq M\leq N$ $2W\leq M\leq N$ $0\leq m\leq M$ $0\leq m\leq M$ { M ${\displaystyle 0\leq$ m $\leq$ M $}$ 을(를) 만족하는 $M$ 파라미터 M {\ $displaystyle M}$ 에 대해 $0\leq m\leq M$ $0\leq m\leq M$ m $2W\leq M\leq N$ M ≤ $2W\leq M\leq N$ ${\displaystystyle 2W\leq M\$ leq M\ $leq N}.$

To be more specifically, if both the signal and the window are not vanishing, that is, $x[n]\neq 0$ for all $0\leq n\leq N-1$ and $w[n]\neq 0$ for all $0\leq$ $n\leq W-1$ , signal $\mathbf {x}$ $\mathbf {x}$ 다음과 같은 요구 사항이 충족될 경우 STFT 규모에서 $\mathbf {x}$ 을(를) 고유하게 식별할 수 있다 $\mathbf {x}$ .

$L<W\leq N/2$ < $L<W\leq N/2$ $L<W\leq N/2$ $L<W\leq N/2$ / $L<W\leq N/2$ ${\displaystyle L<W\leq N/2$
$2W\leq M\leq N$ $2W\leq M\leq N$ $2W\leq M\leq N$ $2W\leq M\leq N$ $2W\leq M\leq N$ $2W\leq M\leq N$ ${\displaystyle 2W\leq M\leq$ N $2W\leq M\leq N$

그 증거는 STFT 위상 검색을 다음과 같은 최소 제곱 문제로 재구성하는 Jaganathan의 연구에서 찾을 수 있다.^[5]

$\min _{\mathbf {x} }\sum _{r=0}^{R-1}\sum _{m=0}^{N-1}\left(Z_{w}[m,r]-\left \left\langle \mathbf {f} _{m},\mathbf {W} _{r}\mathbf {x} \right\rangle \right ^{2}\right)^{2}$ .

알고리즘은 이론적 회복 보장이 없더라도 인접한 짧은 시간 섹션 사이에 상당한 중첩이 있을 때 경험적으로 글로벌 최소값으로 수렴할 수 있다.

세미데피니트 이완 기반 알고리즘

복구 보증을 확립하기 위해서는 X $\mathbf {X} =\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\ast }$ = $\mathbf {X} =\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\ast }$ $\mathbf {X} =\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\ast }$ $\mathbf {X} =\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\ast }$ ${\$ { $x} ^{\ast }}$ 변환 $\mathbf {X} =\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\ast }$ = x x ∗ {\displaysty}을(를) 사용하여 문제를 보다 차원 공간에 내장함으로써 문제를 세미데핀 프로그램(SDP)으로 공식화하고 순위 제한을 $\mathbf {X} =\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\ast }$ 완화하는 것이 한 방법이다. 변경된 문제는 다음과 같다.

$\mathbf {\hat {X}}$ 을 해결하여 $\mathbf {\hat {X}}$ X $^ {\$ \ $mathbf {\hat {X}}$ 을(를) 얻으십시오.

{\begin{aligned}&\mathrm {minimize} ~~~\mathrm {trace} (\mathbf {X} )\\[6pt]&\mathrm {subject~to} ~~Z[m,r]=\mathrm {trace} (\mathbf {W} _{r}^{\ast }\mathbf {f} _{m}\mathbf {f} _{m}^{\ast }\mathbf {W} _{r}\mathbf {X} )\\[0pt]&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {X} \succeq 0\end{aigned}}

0\leq r\leq R-1

1\leq m\leq M

1\leq m\leq M

1\leq m\leq M

1\leq m\leq M

1\leq m\leq M

및

1\leq m\leq M

0

0\leq r\leq R-1

0\leq r\leq R-1

0\leq r\leq R-1

0\leq r\leq R-1

-

0\leq r\leq R-1

{\displaystyle 0\leq

r

\leq R-1}

의 경우

$\mathbf {\hat {X}}$ $\mathbf {\hat {X}}$ ${\$ 이 $\mathbf {\hat {X}}$ $($ 가) 발견되면 신호 $\mathbf {x}$ ${\$ 를) 최상의 1등급 근사치로 복구할 $\mathbf {x}$ 수 있다.

적용들

위상 검색은 일관성 있는 회절 영상촬영(CDI)의 핵심 구성요소다. CDI에서는 대상으로부터 산란된 회절 패턴의 강도를 측정한다. 그런 다음 위상 검색 알고리즘을 사용하여 회절 패턴의 위상을 얻고 대상의 이미지를 생성한다. 이러한 방식으로 위상 검색은 회절 패턴을 광학 렌즈가 없는 이미지로 변환할 수 있게 한다.

위상 검색 알고리즘을 사용하면 복잡한 광학 시스템과 그 이상 특성을 파악할 수 있다.^[6] 위상 회복의 다른 응용으로는 X선 결정법과 전송 전자 현미경 검사가 있다.

참고 항목

참조

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