신경복합체

위상학에서 집합 패밀리의 신경 복합체는 집합 간의 교차 패턴을 기록하는 추상 복합체입니다.Pavel^[1] Alexandrov에 의해 도입되어 현재는 많은 변종과 일반화가 이루어지고 있으며, 그 중에서도 커버의 체흐 신경은 하이퍼커버링에 의해 일반화되어 있습니다.알고리즘 또는 조합적인 방법으로 ^[2]많은 흥미로운 토폴로지 특성을 포착합니다.

기본 정의

$I를$인덱스 세트, $(Displaystyle$ C$)$를 세트$$ ${\displaystyle {}_{}}({\displaystyle {Ui}_{}{}_{}}$ $($I$\})$로 $.$C$${\$displaystyle$ C$}$의 신경은 인덱스 $집합{\displaystyle }$I {\$displaystyle$ I$\}$의 유한 $서브셋{\displaystyle }$ 집합으로$,$ ${\displaystyle {Ui}_{}}$ {\displaystyle $U_{i}$의 교차가 비어 있지 않도록 $모든$ $유한$ $서브셋$ J $}$ I ^{[3]: 81} {\$displaystyle$ J$\subseteq$ I$}$을 포함합니다.

${\displaystyle N(C):=capbigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing,J{\text{finite set}}{\bigg \}}}.}$

Alexandrov의 원래 정의에서는 집합$({\displaystyle U_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {ii}_{}}$I {\$displaystyle (U_{i}_{i\in$I})는$$ 일부 위상 $공간{\displaystyle }$X {\$displaystyle$ X$\}$의 열린 부분 집합입니다.

$세트{\displaystyle }$ N$)$ {$displaystyle$ N$(C)}$에는 $(\$})가 비어 있지 $않은{\displaystyle {}_{}}$ 싱글톤($Element{\displaystyle }$ i${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$ I \ $displaystyle$i \ $in$$$I )과$$ 쌍($\$$display$ $style i$\ $in$$$$$I )이 ${\displaystyle {포함}_{}}$될 수 있습니다$.$o 점등. J$c$ N$$( C ) { $displaystyle J$\ $in$N ( C )$$$j{\displaystyle }$、 J （ \ $displaystyle$ J$$$$$）$의 $서브셋$도${\displaystyle N}$( ${\displaystyle C}$) \ $displaystyle$$$N ($$$C$ )${\displaystyle <img\; alt="\{\backslash displaystyle\; N(C)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/350325d65140c0cf463498b5848098bd4166ecfc"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:5.639ex;\; height:2.843ex;">}$simpl simpl simpl simpl simpl simpl simpl simpl simpl simpl simpl simpl simpl simpl simpl simpl simpl simpl simpl simpl simpl o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o of of of of ${\displaystyle 。}$따라서 N(C)은 종종$C$의 신경복합체라고 불린다$.$

예

1. X를 $({$$displaystyle$ S$^{1$$})$ 및$$ $=${${\displaystyle {}_{}}$,$}({display$C=\{1}, $U_{2$로 합니다. ${\displaystyle {여기}_{}}$서 U1$({$은 $({$ S$^1})$과 $U_style$ 2$($)의 상반부를 덮는 호입니다.(${\displaystyle {S1}^{}}$을$모두{\displaystyle {}^{}}$ 커버하려면 양쪽이 겹쳐야 합니다.{ $displaystyle$ S$^{1}$} $$） 。$다음$으로 N${\displaystyle }$( ${\displaystyle C}$) ${\displaystyle =}${ { 1 ${\displaystyle \}}$, { ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \}}$, {${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \}}$ $}$ { $display style$N ( C ) = \ { \ { $1$\ , \ { $2$\ , \ { 2 \ , \ {$1$, 2 \ $}$} 。이것은 추상적인1 ~ 16 진수입니다.
2. $X$를 원 ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$1({$displaystyle$ S$^{$$1$$})$ $및{\displaystyle }$ C $=$ { ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$2, U ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ $}({displaystyle C=\{1}, U_${2$}, U_$3}\})로 합니다$.$ 여기서 $각{\displaystyle {}_{}}$ $Ui$(\$displaystyle$$$U_$$${$i}\}는$S$의 1$/$3을 덮는 호입니다$.$$다음$으로 N${\displaystyle }$( ${\displaystyle C}$) ${\displaystyle =}${ { ${\displaystyle 1\}}$ , { ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \}}$, { ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \}}$, { ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2\}}$, { ${\displaystyle 2}$, 3 ${\displaystyle \}}$, {${\displaystyle 3}$, 1 ${\displaystyle \}}$ $}$ { $display N$( C ) = \ { \ { \ { 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ , \ { $3$}$$} } } { display N ( C ) = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ , { 3 \ \ \ \ \ \ \ , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

체흐 신경

열린 $커버{\displaystyle }$ C ${\displaystyle =}$ { ${\displaystyle {Ui}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle ii}$ I $}$ { $displaystyle$ C $=$ \ {$U_{i):i$$\in I\}$ $위상공간{\displaystyle }$X(\$displaystyle$X$)$ 또는 보다 일반적으로 사이트 내 커버에서는 ${\displaystyle {\mathrm{Uij}}_{}}$ $=$ ${\displaystyle {Ui}_{}{}_{}}$× ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ $(\$}= 쌍섬유 제품을 $생각$할 수 있습니다.$U_{i}\times$ _${X}U_{j$ 토폴로지 공간의 경우 정확히 ${\displaystyle {Ui}_{}{u}_{}}$ U$$j \ $display U_{i}\cap$ U_${j$의 교차점입니다.이러한 모든 교차로의$집합$은 C × $C$ \ $times$_ { $X$} C $the$ 、 3중 교차로는${\displaystyle {}_{}}C{\displaystyle }$ × ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$\ $times$_ {$X$ } C \ $times$_ { X } C \ $times$ _ {$X$ }$C$ the the the 。

${\displaystyle {Ui}_{}}$ j ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $i$U _ { $i$ $}${ U ${\displaystyle {}_{}}$ { i } 、 ${\displaystyle U_{}}$ i $→$ ${\displaystyle U_{}}$ i $display$ U _ { $i$$$} 、 U _ { $i$$$} ${\displaystyle \mathrm{u<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; S(C)\_\{\backslash bullet\; \}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/61e879280744b03c5aa7b5d0900c7cc8c3f9e799"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:6.129ex;\; height:2.843ex;">}}$ U _ { i }${\displaystyle }$∙ $by{\displaystyle }$ u u$∙$ u u$∙$ u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u s u u u s s s s s u u $u{\displaystyle {}_{}}$ u u u u u u u u $u$ u u u u u u u u$$u u u u u u u u u u u u u u u u uc $uc$ u u u uc $uc$ u$es$ _${X}C$ n-fold 파이버 제품.이것이 체흐 ^[4]신경이다.

연결된 컴포넌트를 사용함으로써 간단한 세트를 얻을 수 있습니다${\displaystyle .S}$ ( ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$0 (${\displaystyle C}$) \ $displaystyle$ S ( \ $pi$_ { $0$（ $C$） $\}$ $。$

신경 정리

$신경복합체{\displaystyle }$ N$($은 단순한$$ 조합체이다.대부분의 경우 기본 토폴로지 공간(C$\displaystyle$C의 $세트{\displaystyle }$ 조합)보다 훨씬 단순합니다.따라서 N$)$의 topology(\$displaystyle$ N$(C))$가 C$(\displaystyle\bigcup$ C$)$의 topology와 동일한지 여부가 당연합니다.

일반적으로 이럴 필요는 없습니다.예를 들어 위의 예 1과 같이 공백이 아닌 교차를 가진 2개의 축소 가능한 세트 $({$ U_${1})$과 $({$로 임의의 n-sphere를 커버할 수 있습니다.이 경우 N$)$ {$displaystyle$ N$(C)}$은 추상적인 1-심플렉스로, 선과 유사하지만 구와 유사하지 않습니다.

단, $경우$에 따라서는 N$)$ {$displaystyle$ N$(C)}$이(가) X의 토폴로지를 반영하고 있습니다.예를 들어, 원이 위의 예 2와 같이 쌍으로 교차하는 세 개의 열린 호로 덮여 있는 경우, $)$ {$displaystyle$ N$(C)}$은 2-심플렉스(내부 없음)이며, ^[5]원래 원과 동등한 호모토피입니다.

신경정리(또는 신경요약)는 C에 충분한 조건을 부여하는 정리로서 N$)\displaystyle$ N$(C)$이 어떤$$ 의미에서${\displaystyle \mathrm{\delta C}}\backslash$$displaystyle\bigcup$C의 위상을 반영한다는 $것$을 보증한다.

레레이 신경 정리

Jean Leray의 기본 신경정리에 따르면 N${\displaystyle }$($C)$ (\$displaystyle$ N$(C))$의 $집합$의 교차가 수축가능하다면 (등가: 각 $유한{\displaystyle }$ J${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \underset{}{I\backslash }}$$displaystyle$ J$\$$subset$ I$\$$displaystyle$ \cap _${i\in}) 집합$은 ${\displaystyle {둘}_{}}$ 중 $하나$이다$.{\displaystyle \underset{}{}}$${\displaystyle N}$( C$){displaystyle$ N$(C)}$은$({\displaystyle }$는) $(\displaystyle\bigcup$ C$)$^[6]에 해당합니다.

보르수크 신경 정리

보르수크에 ^{[7][3]: 81, Thm.4.4.4} 기인하는 이산 버전이 있습니다.K₁, …, K를_n 추상 단순 복합체로 하고, 이들의 결합을 K로 나타내자.U_i = K_i = K의 기하학적_i 실현으로 하고, {U, ..., U_n }의₁ 신경을 N으로 나타낸다.

$공백$이 아닌 각 J${\displaystyle i}$I \ $displaystyle$J \ $subset$ I$$each ${\displaystyle \underset{}{i}}$ i${\displaystyle \underset{}{j}}$ ${\displaystyle u_{}}$ J U$$i \ $bigcap$ _ ${ i$ \ $in$ J } $U$_ {$i$ }의$$ 교차가 비어 있거나 축소 가능한 경우 N은 K에 상당합니다.

Anders Bjorner에 ^[8]의해 보다 강력한 정리가 증명되었다. $만약{\displaystyle }$ 각 ${\$ I(\$displaystyle$$J\subset$I)에 대해 ${\displaystyle \underset{}{교차점}}$ i${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ J$(\$displaystyle \$bigcap$ _${i\in$ J$}U_{i$})가 비어 있거나 모든 J ≤에 대해 연결되었을 경우,특히, K가 k-접속되어 있는 경우는 N이 k-접속되어 있다.

체크 신경 정리

또 다른 신경정리는 위의 체흐 신경과 관련이 있다: X$(\displaystyle$ X$)$가 콤팩트하고 C의 집합의 모든 교차점이 수축 가능하거나 비어 $있다면{\displaystyle }$, 공간은

${\displaystyle S(}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$0 (${\displaystyle C}$)${\displaystyle }${ $displaystyle$ S$(\pi$ _${0}$ ($C) }$는 X$${$displaystyle$ X$\}$^[9]와 $동등$한 호모토피입니다.

상동신경정리

다음 신경정리는 ^[10]커버에 있는 집합들의 교집합들의 호몰로지 그룹을 사용한다.각 $유한{\displaystyle }$ J${\displaystyle i}$I(\$displaystyle$ J$\subset$ I$)$에 대해 ${\displaystyle H_{}}$ J${\displaystyle {,}_j}$ : ${\displaystyle ={\stackrel{}{}}_{\stackrel{}{}}}$ ~${\displaystyle j_{}}$(${\displaystyle \underset{i}{}}$ i ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ U${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ ) $=$ { $displaystyle H_{J,j}$ :$=ntilde {H}}_{$j}({i\in J$}U_{i})=}$는 the ${\displaystyle \underset{}{i}{}_{}}$ J$Ui$ { displaystyle \$bigcap_{i$$in$ J$}U_{$i}}의${\displaystyle \underset{}{}}$j번째 축소 호몰로지 그룹입니다$.$

H가 N(C)의 k-skeleton의 모든 J와 {0, ..., k-dim(J)}의 모든 j에 대한 사소한 군이라면_J,j, N(C)은 다음과 같은 의미에서 X와 "호몰로지 등가"이다.

• ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}H}$ ~ j${\displaystyle }$( N ( C ) j H ~${\displaystyle j_{}{\stackrel{}{}}_{}{\stackrel{}{(}}_{}}$ ${\displaystyle X}$ $){$ $displaystyle$ { tilde ${ H$ } _ { $j$} ($N$ ( $C$ $cong${ $tilde${ $H } _$$${ $j$;
• ${\displaystyle H_{}}$${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle k_{}}$+${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ (${\displaystyle N}$ ( ${\displaystyle C}$)${\displaystyle 0}$ 0$$( \ $displaystyle { H$}$_${ k + 1 （$$N ($C$ ) \ $cong 0$$$） ${\displaystyle {\stackrel{}{\{\backslash }}_{}}$ 0 ( \$displaystyle$ { $H }$_ { $k$+ ${\displaystyle 1_{}}$( $X$) \ $con 0$${\displaystyle ）}$ 0 ( \ $displaystyle$ {$H$ } _ { k + 1 ( ${\displaystyle X}$ ) \ con 0 )

「 」를 참조해 주세요.

• 하이퍼커버링

레퍼런스