나폴레옹의 문제

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나폴레옹의 문제는 나침반 건설 문제다.그 속에는 원과 그 중심이 주어진다.문제는 나침반만 이용해 원을 4개의 등호(등호)로 나누는 것이다.^[1][2]나폴레옹은 아마추어 수학자로 알려져 있었지만 그가 이 문제를 만들었거나 해결했는지는 알려지지 않았다.나폴레옹의 친구인 이탈리아 수학자 로렌조 마스체로니는 기하학적 구조에 나침반(직선 가장자리가 없음)만 사용하는 한계를 소개했다.그러나 실제로 위의 도전은 나침반만으로 주어진 원의 중심을 찾는 것으로 구성되는 실제 나폴레옹 문제보다 쉽다.다음 절에서는 세 가지 문제에 대한 해결책과 이 문제들이 효과가 있다는 증거를 설명할 것이다.

게오르크 모어의 1672년 저서 '유클리드 다니쿠스'는 1928년에야 재발견되었지만 마스체로니의 생각을 예상하였다.

주어진 원을 네 개의 동일한 호로 나눈다.

원 C의 임의 지점 X에 중심을 두고, V와 Y 지점에서 C와 교차하는 O(C의 중심)를 통해 호를 그린다.X와 Z에서 C를 교차하는 Y에서 O까지를 중심으로 동일하게 한다.선 세그먼트 OV, OX, OY, OZ, VX, XY, YZ는 길이가 같으며 모든 거리가 C 원의 반지름과 동일하다는 점에 유의하십시오.

이제 Y를 통과하는 V를 중심으로 호를 그리고 X를 통과하는 Z를 중심으로 호를 그려라; 이 두 호가 T를 교차하는 곳에 호를 불러라.VY와 XZ의 거리는 원 C의 반지름의 $3{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$배입니다$$.

Put the compass radius equal to the distance OT (${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ times the radius of the circle C) and draw an arc centred on Z which intersects the circle C at U and W. UVWZ is a square and the arcs of C UV, VW, WZ, and ZU are each equal to a quarter of the circumference of C.

주어진 원의 중심 찾기

(C)가 중심이 되는 원을 만들도록 하시오.^[3]

A를 (C)에 포인트로 삼아라.

A를 중심으로 한 원(C1)이 B와 B'에서 (C)와 만난다.

반지름 AB가 있는 B와 B'를 중심으로 두 개의 원(C2)이 C 지점에서 다시 교차한다.

반경 AC가 있는 C를 중심으로 한 원(C3)은 D와 D'에서 만난다(C1).

반지름 AD를 가진 D와 D'를 중심으로 한 두 원(C4)은 A에서 만나고, (C)의 탐색 중심인 O에서 만난다.

참고: 이를 위해 원의 반지름(C1)은 너무 작거나 크지 않아야 한다.더 정확히 말하면, 이 반경은 (C) 반경의 절반과 2배 사이여야 한다: 반경이 (C)의 지름보다 크면 (C1) 교차하지 않고 (C1) 반경이 (C) 반경의 절반보다 작으면 (C) 지점 C는 A와 O 사이에 있고 (C3)는 교차하지 않는다(C1).

증명

증명 뒤에 있는 아이디어는 나침반만으로 길이 a와 b가 알려진 경우 길이 b²/a와 a/2 ≤ b ≤ 2a를 구성하는 것이다.

오른쪽 그림에서, 반지름 a의 원을 그리고 O를 중심으로 그 위에 A를 선택하며, 여기서 B와 B'의 길이를 AB와 AB'가 b의 길이를 가지도록 결정할 수 있는 점은 AB와 AB이다.점 A'는 A의 반대편에 있지만 구성할 필요는 없다(직선 모서리가 필요할 것이다). 마찬가지로 점 H는 AA와 BB의 (가상) 교차점이다.점 C는 반지름 b의 원을 사용하여 B와 B'로 결정할 수 있다.

Triangle ABA'는 B에서 직각을 가지며 BH는 AA'와 직각을 이루므로 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {AH}{AB}}={\frac {AB}{AA'}}$

따라서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$= ${\displaystyle b\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{a}{}}$ ${\$2}}$a}},$ AC$$ = b²/a.

위의 센터 구성에서 이러한 구성은 다음과 같이 두 번 나타난다.

• 점 A, B, B'는 원(C) 위에 있고, 반지름 a
  ₁ = r ; AB, AB', BC, B'C는 b = R과
  ₁ 같기 $때문$에, ${\displaystyle A}$C = ${\displaystyle R\frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ r$${\$displaystyle$ AC$={\frac{R^{2}}:{r$
• points A, D and D' are on the circle of centre C, radius ${\displaystyle a_{2}={\frac {R^{2}}{r}}}$ ; DA, D'A, DO, and D'O are equal to b
  ₂ = R, so ${\displaystyle AO={\frac {R^{2}}{R^{2}/r}}=r}$.

따라서 O는 원의 중심(C)이다.

주어진 거리 또는 선 세그먼트의 중간 찾기

AD가 중심이 되는 거리를 두자.^[4]

반지름 AD가 있는 D를 중심으로 A와 (C₂)를 중심으로 한 두 원(C₁)은 B와 B'에서 만난다.

반지름 B'B를 가진 B'를 중심으로 한 원(C₃)이 A'에서 원(C₂)을 만난다.

반지름 A'A를 중심으로 한 원(C₄)이 E와 E'에서 원(C₁)과 만난다.

반경 EA를 중심으로 E를 중심으로 한 두 원(C₅)과 E'를 중심으로 한 (C₆)은 A와 O에서 만난다.O는 AD의 인기있는 중심이다.

• 설계 원리는 라인 세그먼트 AD에도 적용할 수 있다.
• 위에서 설명한 증빙도 이 설계에 적용할 수 있다.

참고: 설계에서 점 A는 증명에서 점 A와 동일하다.

따라서 반지름: (C₂) ≙ (C) 및 점:O ≙ H, B ≙ B, D ≙ O, A' ≙ A'.

참고 항목

• 나폴레옹의 정리
• 나폴레옹은 지적한다.

참조