공분산 다변량 분석

공분산 다변량 분석(MANCOVA)은 둘 이상의 종속 변수가 있고 동반성 연속 독립 변수인 공변량의 통제가 필요한 경우를 다루기 위해 공분산(ANCOVA) 방법을 확장한 것이다. 단순 다변량 분산 분석보다 MANCOVA 설계의 가장 큰 장점은 공변량이 도입한 소음 또는 오류의 '인자 배출'이다.^[1] 일반적으로 사용되는 다변량 분산 분석 F-통계학적 버전은 Wilks의 람다(AND)로, 오차 분산(또는 공분산)과 효과 분산(또는 공분산) 사이의 비율을 나타낸다.^[1]

목표들

분산 분석 계열의 모든 테스트와 유사하게, MANCOVA의 주요 목적은 그룹 평균 간의 유의한 차이를 테스트하는 것이다.^[1] 데이터 출처에서 공변량을 특성화하는 프로세스는 MANCOVA 설계에 MS로_error 표현되는 오차항의 크기를 줄일 수 있다. 이후, 전체 Wilks의 Lambda는 더 커지고 유의한 특성을 가질 가능성이 더 높아질 것이다.^[1] 이는 연구자에게 데이터 내의 차이를 탐지할 수 있는 더 많은 통계적 힘을 부여한다. MANCOVA의 다변량 측면은 공변량을 동시에 제어하면서 다중 종속 변수의 선형 조합에 관한 그룹 평균의 차이를 특성화할 수 있다.

MANCOVA가 적절한 상황의 예: 한 과학자가 우울증과 불안 점수에 미치는 영향에 대해 두 가지 신약 실험에 관심이 있다고 가정해보자. 또한 과학자가 각 환자의 약물에 대한 전반적인 반응도와 관련된 정보를 가지고 있다고 가정하자; 이 공변량을 회계처리하면 두 종속 변수에 대한 각 약물의 영향을 결정하는 데 있어 시험의 민감도가 높아질 것이다.

가정

MANCOVA를 적절히 사용하려면 다음과 같은 특정 가정을 충족해야 한다.

1. 정규성: 각 그룹에 대해 각 종속 변수는 점수의 정규 분포를 나타내야 한다. 또한 종속 변수의 선형 조합은 정규 분포를 따라야 한다. 특이치를 변환하거나 제거하면 이러한 가정이 충족되는지 확인하는 데 도움이 될 수 있다.^[2] 이 가정을 위반하면 제1종 오류율이 증가할 수 있다.^[3]
2. 관측치의 독립성: 각 관측치는 다른 모든 관측치와 독립적이어야 한다. 이러한 가정은 무작위 표본 추출 기법을 사용하여 충족할 수 있다. 이 가정을 위반하면 제1종 오류율이 증가할 수 있다.^[3]
3. 분산 동질성: 각 종속 변수는 각 독립 변수 간에 유사한 수준의 분산을 보여 주어야 한다. 이러한 가정을 위반하는 것은 분산과 종속 변수의 수단 사이에 존재하는 상관관계로 개념화할 수 있다. 이 위반은 흔히 '히테로스파스틱리티'^[4]라고 불리며 레베네 검사의 사용 여부를 검사할 수 있다.^[5]
4. 공분류의 동질성: 종속 변수 간의 상관 행렬은 독립 변수의 모든 수준에서 동일해야 한다. 이 가정을 위반하면 통계적 힘의 감소뿐만 아니라 제1종 오류율의 증가로 이어질 수 있다.^[3]

다변량 분산 분석 논리

Analogous to ANOVA, MANOVA is based on the product of model variance matrix, ${\displaystyle \Sigma _{\text{model}}}$ and inverse of the error variance matrix, ${\displaystyle \Sigma _{\text{res}}^{-1}}$, or ${\displaystyle A=\Sigma _{\text{model}}\times \Sigma _{\text{r$$es}^{-1}$. 는)모델 Σ 그 가설}}잔류{\displaystyle \Sigma_{{\text 모델}}=\Sigma _{\text{잔류}를 암시하 Σ은 A제품 100∼을 나는{\displaystyle A\sim 1세}.[6]Invariance 고려 사항에 수반되는 MANOVA 통계야 한 대책의 규모에 특이한 값 분해의 이 매트릭스 제품지만 거기에 있n.o 대립 가설의 다차원적 특성에 의한 독특한 선택

$가장{\displaystyle }$ 일반적인^[7][8] 통계량은 A ${\displaystyle A}$ 행렬의$$$$ 루트(또는 고유값) $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$에 기반한 요약이다.

• 새뮤얼 스탠리 윌크스의 Ⅱ:

${\displaystyle \Lambda _{\text{Wilks}}=\prod _{1\ldots p}{\frac {1}{1+\lambda _{p}}}=\det(I+A)^{-1}={\frac {\det(\Sigma _{\text{res}})}{\det(\Sigma _{\text{res}}+\Sigma _{\text{model}})}}}$

람다(λ)로 배포됨

• 필라이-M S. 바틀렛 트레이스

${\displaystyle \Lambda _{\text{Pila}=\sum _{1\ldots p}{1+\lambda _{p}}=\operatorname {tr}(I+A)^{-1}$

• 율리우스파열화 추적,

${\displaystyle \Lambda _{\text{LH}}=\sum _{1\ldots p}\lambda _{p}=\operatorname {tr}(A)}$

• 로이의 가장 큰 뿌리(로이의 가장 큰 뿌리라고도 함)

${\displaystyle \Lambda _{\text{Roy}}=\max _{p}(\lambda _{p}=\A\{\infit }}}})$

공변량

통계에서 공변량은 실험에서 제어되지 않은 변동의 근원을 나타내며 종속 변수에 영향을 미치는 것으로 간주된다.^[9] ANCOVA와 같은 기법의 목적은 통계적 힘을 증가시키고 독립변수와 종속변수 사이의 진정한 관계에 대한 정확한 측정을 보장하기 위해 통제되지 않는 변동의 영향을 제거하는 것이다.^[9]

우드워스(1987년)의 해수면 동향 분석에 의해 한 예가 제공된다. 여기서 종속 변수(및 가장 관심 있는 변수)는 일련의 연간 값을 사용할 수 있는 특정 위치의 연간 평균 해수면이었다. 1차 독립 변수는 "시간"이었다. 해수면에서의 연평균 대기압의 연간 값으로 구성된 "공변량"으로 사용하였다. 그 결과 공변량을 포함하면 공변량을 생략한 분석과 비교하여 얻어진 시간에 대한 추세를 더 잘 추정할 수 있었다.

참고 항목

• 판별함수분석
• ANCOVA
• 다변량 분산 분석

참조