몰리엔 공식

수학에서 몰리엔의 공식은 G의 불변인 주어진 총도의 균일한 다항식을 계수하는 유한차원 벡터 공간에서 그룹 G의 선형 표현에 부착된 생성 함수를 계산한다.그것은 테오도르 몰리엔의 이름이다.

Precisely, it says: given a finite-dimensional complex representation V of G and ${\displaystyle R_{n}=\mathbb {C} [V]_{n}=\operatorname {Sym} ^{n}(V^{*})}$, the space of homogeneous polynomial functions on V of degree n (degree-one homogeneous polynomials are precisely linear functionals),G가 유한군인 경우 시리즈(Molien series라 함)는 다음과 같이 계산할 수 있다.^[1]

${\displaystyle \sum \sum \{n=0}^{\dim(R_{n}^{G}^{G}^{n}}}^{n}=(\#G)^{n1}\sum _{g\in G}\det(1-tg V^{*})^{-1}.}$

여기서 ${\displaystyle {Rn}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 G의 모든 요소에 의해 고정된 모든 벡터로 구성되는 ${\displaystyle {Rn}_{}}$ ${\$의 하위 공간이다$$. 즉, 불변 형태의 n도.따라서 그것의 치수는 n도 불변수의 수입니다.G가 콤팩트 그룹인 경우, 유사한 공식은 Haar 측정의 관점에서 유지된다.

파생

$\chi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {\chi }_{}}$ r ${\$은 유한집단 G와 V, R의 불가역문자를 위와$$ 같이 나타낸다.$그런{\displaystyle {}_{}}$ $다음{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Rn}_{}}$${\$의 ${\displaystyle {Rn{}_{}}_{}}$ {\$displaystyle R_{n}$ 문자를 다음과 같이 쓸 수 있다$$.

${\displaystyle \chi _{R_{n}}=\sum _{i=1}^{r}a_{i,n}\chi _{i}.}$

여기서 각 ${\displaystyle {a,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) 내부 제품에 의해 주어진다$$.

${\displaystyle a_{i,n}=\langle \chi _{R_{n}},\chi _{i}\rangle =(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\chi _{R_{n}}(g)=(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\sum _{ \alpha =n}\lambda (g)^{\alpha }}$

where ${\textstyle \lambda (g)^{\alpha }=\prod _{i=1}^{m}\lambda _{i}(g)^{\alpha _{i}}}$ and ${\displaystyle \lambda _{1}(g),\dots ,\lambda _{m}(g)}$ are the possibly repeated eigenvalues of ${\displaystyle g:$$V^{*}\to$ V$^{*}}$ 이제 시리즈를 계산해 봅시다$.$

${\displaystyle{\begin{정렬}\sum _{n=0}^{\infty}a_{i,n}t^{n}&, =()#G)^{)}\sum _{Gg\in}{\overline{\chi_{나는}}}(g)\sum _ᆹ(\lambda_{1}(g)t)^{\alpha_{1}}\cdots(\lambda_{m}(g)t)^{\alpha_{m}}\\&, =()#G)^{)}\sum _{Gg\in}{\overline{\chi_{나는}}}(g)(1-\lambda_{1}(g)t)^{)}\cdots(1-\lambda_{m}(g)t)^{)}\\&, =()#G)^{)}\sum_{g\in.G}{\overline {\chi _{i}}(g)\det(1-tg V^{*})^{-1}.\end{정렬}}}$

${\displaystyle {\chi }_{}}$ i${\$를 사소한 캐릭터로$$ 받아들이면 몰리엔의 공식이 나온다.

예

좌표를 허용하여 R에³ 작용하는$$ 대칭 그룹 S ${\$을 고려한다.다음과 같이 그룹 요소별로 합산한다.정체성부터 시작해서.

- 0 - - t)=( - t) ${\$0\\\$0&0&t\nd{pmatrix}=(1-t)^{3$

${\displaystyle {두\mathrm{}}_{}}$ 좌표의 스왑으로 구성된 $S{\displaystyle {}_{}}$ 3 ${\$의 3요소 결합 클래스가 있다$.$이로써 서식의 세 가지 조건이 주어진다.

${\displaystyle \det{pmatrix}1&-t&0\\-t&1&0\\0&0&1-t\end{pmatrix}=(1-t^{2}).}$

두 개의 용어로 이루어진 순환 순열의 2요소 결합 클래스가 있다.

${\displaystyle \det{pmatrix}1&-t&0\\0&1&t\\\nd{pmatrix}=\좌측(1-t^{3}\오른쪽).}$

동일한 결합 등급의 서로 다른 요소들이 동일한 결정 인자를 산출한다는 점에 유의하십시오.따라서 몰리엔 시리즈는

${\displaystyle M(t)={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{(1-t)^{3}}}+{\frac {3}{(1-t)(1-t^{2})}}+{\frac {2}{1-t^{3}}}\right)={\frac {1}{(1-t)(1-t^{2})(1-t^{3})}}.}$

반면에 기하학적 시리즈를 확장하고 곱셈하여 얻을 수 있다.

${\displaystyle M(t)=(1+t+t^{2}+t^{3}+\cdots )(1+t^{2}+t^{4}+\cdots )(1+t^{3}+t^{6}+\cdots )=1+t+2t^{2}+3t^{3}+4t^{4}+5t^{5}+6t^{6}+7t^{7}+9t^{8}+11t^{9}+\cdots }$

시리즈 계수는 세 변수의 순열 하에서는 불변한 세 변수, 즉 세 변수의 독립적 대칭 다항식의 수를 알려준다.사실, 우리가 기초 대칭 다항식을 고려한다면

${\displaystyle \sigma _{1}=x+y+z}$

${\displaystyle \sigma _{2}=xy+xz+yz}$

${\displaystyle \sigma _{3}=xyz}$

we can see for example that in degree 5 there is a basis consisting of ${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{2}}$, ${\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}^{2}}$, ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}\sigma _{1}}$, ${\displaystyle \sigma _{1}^{3}\sigma _{2}}$,및 $\sigma {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$

(실제로 수기로 시리즈를 곱하면 ${\displaystyle t^{}}$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle t^{$$k},$$$${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\$의 조합에서 오는 것을$$ 알 수 있다. $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}, $,$ 2}의 조합에 정확히 일치한다$$.${\displaystyle$\ \$ma _{2}},$${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$$displaystyle$ $\sigma _{3$ 또한 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2},$3 ${\displaystysty$ 3$}$의 분할에$$$$ 해당한다.또한 분할(숫자 이론) 및 대칭 그룹의 표현 이론을 참조하십시오.

참조

• 데이비드 A.콕스, 존 B.리틀, 도날 오샤(2005) 대수 기하학 사용, 페이지 295–8
• Molien, Th. (1897). "Uber die Invarianten der linearen Substitutionsgruppen". Sitzungber. Konig. Preuss. Akad. Wiss. (J. Berl. Ber.). 52: 1152–1156. JFM 28.0115.01.
• Mukai, S. (2002). An introduction to invariants and moduli. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 81. ISBN 978-0-521-80906-1.
• 리처드 P.스탠리, 유한집단의 불변자, 그리고 조합에 대한 그들의 응용, 불.아머. 수학.Soc. (신작 시리즈) 1 (1979), 475–511.

추가 읽기

• https://mathoverflow.net/questions/58283/a-question-about-an-application-of-moliens-formula-to-find-the-generators-and-r