파라메트릭 프로그래밍

파라메트릭 프로그래밍은 수학적 최적화의 일종으로, 최적화 문제가 하나 이상의 파라미터의 함수로 해결된다.^[1]민감도 분석과 병행하여 개발된 이 연구의 가장 초기 언급은 1952년 논문에서 찾을 수 있다.^[2]그 이후 다중 파라미터의 경우, 정수 변수의 존재는 물론 비선형성에 대해서도 상당한 발전이 있었다.

표기법

일반적으로 다음과 같은 최적화 문제를 고려한다.

${\displaystyle {\reasoned}J^{*}(\theta )=&\min _{x\in \mathb {R}^{n}f(x,\theta )\\&\text{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{text{}}}{g(x,\theta )\leq 0에 종속된다.\\&\theta \in \theta \subset \mathb {R} ^{m}\end{arged}}}}$

여기서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은(는) $최적화{\displaystyle }$ 변수, $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$은(는) 매개 변수, f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x,\teta$)는 객관적 함수$$, $g{\displaystyle }$(${\displaystyle }$x , ${\displaystyle )}$ )$${\$displaystysty g(x,\ta )}$은 제약조건을 나타낸다.$∗{\$은(는$)$ 출력이 목표 함수 $f{\displaystyle }$ {\$displaystyle f}$의 최적 값인 함수를 의미한다$.$일반적으로 $\theta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Teta }$ 집합을 매개 변수 공간이라고 한다$$.

최적의 값(즉, 최적화 문제를 해결한 결과)은 인수 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta$}을(를) 사용하여 함수를 평가하여 얻는다$.$

분류

$f{\displaystyle (x}$ ,${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle f(x,\theta )}$ $및$ g${\displaystyle (x}$, ${\displaystyle \theta )}$ ${\displaystyle g(x,\theta )}$의 성격과 최적화$$ 문제가 정수 변수를 특징하는지 여부에 따라 파라메트릭 프로그래밍 문제는 다음과 같은 다른 하위 분류로 분류된다.

• 둘 이상의 파라미터(: > 1 ${\displaystyle m>1$가 있는 경우, 다변량 프로그래밍 문제로^[3] 언급되는 경우가 많다.
• 정수 변수가 있으면 (다중)모수 혼합정수 프로그래밍 문제라고^[4] 한다.
• 제약조건이 일치하는 경우, (다중)모수(혼합정수) 선형, 2차 및 비선형 프로그래밍 문제의 객관적 함수의 특성에 따른 추가 분류를 수행한다.이는 일반적으로 구속조건을 충족한다고 가정한다는 점에 유의한다.^[5]

적용들

2000년에 확립된 파라메트릭 프로그래밍과 모델 예측 제어 사이의 연관성은 이 주제에 대한 관심 증가에 기여했다.^[6][7]파라메트릭 프로그래밍은 최적화 문제를 평가할 수 있는 함수로 파라메트릭화할 수 있다는 아이디어를 제공한다(조회표와 유사).이를 통해 최적 컨트롤러의 최적화 알고리즘을 사전 계산된(오프라인) 수학 함수로 구현할 수 있으며, 경우에 따라 온라인에서 전체 최적화 문제를 해결하는 것보다 더 간단하고 평가 속도가 빠를 수 있다.칩에 최적의 컨트롤러(칩에^[8] MPC on 칩)를 만들 가능성도 열어준다.그러나, 최적 솔루션의 오프라인 파라메트리제이션은 문제의 차원성과 제약조건의 수에 따라 가능한 해결책의 수가 증가함에 따라 차원성의 저주에 부딪친다.

참조