재료 구성법칙에 대한 마이크로플레인 모델

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1984년에 고안된 마이크로플레인 모델은 점진적 연화 손상을 위한 재료 구성 모델이다.^[1]기존 텐세리토리얼 구성 모델에 비해 인장 균열, 미끄러짐, 마찰, 압축 분할 등 손상의 지향성은 물론 섬유 보강의 방향성을 포착할 수 있는 것이 장점이다.가스 셰일이나 섬유 복합소재 등 소재의 음이소트로피가 효과적으로 표현될 수 있는 것도 장점이다.불안정한 변형률 국산화(및 유한 요소 계산에서 스퓨러 메시 감도)를 방지하기 위해 이 모델을 국소적이지 않은 일부 연속체 공식(예: 크랙 밴드 모델)과 조합하여 사용해야 한다.2000년 이전에는, 이러한 장점들이 재료 서브루틴의 더 큰 계산적 수요에 의해 능가되었지만, 컴퓨터 파워의 엄청난 증가 덕분에, 마이크로플레인 모델은 현재 수천만 개의 유한 요소들 조차도 컴퓨터 프로그램에서 일상적으로 사용되고 있다.

방법과 동기부여부

마이크로플레인 모델의 기본이념은 구성 법칙을 텐서(tensor)가 아니라 마이크로플레인(microplane)이라 불리는 다양한 방향의 평면에 작용하는 스트레스와 스트레스의 벡터(vector)의 관점에서 표현하는 것이다.벡터의 사용은 G. I.에서 영감을 얻었다. 1938년 테일러의 아이디어는 다결정 금속의 가소성을 위한 테일러 모델을 만들었다.^{[3][4][5][6][7][8]}그러나 마이크로플레인 모델은 두 가지 면에서 개념적으로 다르다.

첫째, 피크 후 연화 손상에서 모델 불안정성을 방지하기 위해 정적 구속조건 대신 키네마틱 구속조건을 사용해야 한다.따라서 각 마이크로 평면의 변형률(스트레스보다는) 벡터는 거시적 변형률 텐서(즉, 과대시적 변형률 텐서)의 투영이다.

${\displaystyle \varepsilon _{N}=\varepsilon _{ij}~\varepsilon _{M}=\varepsilon _{ij}~\varepsilon _{L}=\varepsilon _{ij}L_{ij}}$

where ${\displaystyle \varepsilon _{N},\varepsilon _{M}}$ and ${\displaystyle \varepsilon _{L}}$ are the normal vector and two strain vectors corresponding to each microplane, and ${\displaystyle N_{ij}=n_{i}n_{j},M_{ij}=$$(n_{i}m_{j}+m_{i}n_{j})/2}$ and ${\displaystyle L_{ij}=(n_{i}\ell _{j}+\ell _{i}n_{j})/2}$ where ${\displaystyle n_{i},m_{i}}$ and ${\displaystyle \ell _{i}}$ are three mutually orthogonal vectors, one normal and two tangential, characterizing each특정 마이크로플레인(구독자 $i{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle j}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$3 ${\displaystyle i,j=1,2,3}$은(는) 데카르트 좌표를 참조한다$$.

Secondly, a variational principle (or the principle of virtual work) relates the stress vector components on the microplanes (${\displaystyle \sigma _{N},\sigma _{M}}$ and ${\displaystyle \sigma _{L}}$) to the macro-continuum stress tensor ${\displaystyle \sigma _{ij}}$, to ensure equilibrium.이는 다음 식에 대한 스트레스 텐서 또는 스트레스에 대한 결과를 산출한다.^[9][13]

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {3}{2\pi }\int_{\Oomega}s_{ij}\,d\Oomega \ 약 6\sum _{\m_}w_{{n_}^{ij}^{ij}}^{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

와 함께

${\displaystyle s_{ij}=\sigma _{N}N_{ij}+\sigma _{L}L_{ij}+\sigma _{M}M_{ij}}}}}}}}}}$

여기서 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega$}은$$(는) 단위 반구의 표면이며, 합은 적분의 근사값이다.$w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}\mu }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$n $){\displaystyle w_{\mu }(\mu$= 1$,2,\ldots,n_{M$의 가중치는 구형 표면에 대한 최적의 가우스 통합 공식에 기초한다.^[9][14][15]허용 가능한 정확도를 위해 최소 21대의 마이크로플레인이 필요하지만 37대는 훨씬 더 정확하다.

비탄력적 또는 손상 작용은 마이크로플레인 응력 $\sigma {\displaystyle {}_{}{N}_{}}$ , ${\displaystyle m_{}}$ M ${\$ $l{\displaystyle {}_{}}$ L$${\$displaystyle \sigma _{L}$을 각 마이크로플레인에 부과되는 응력 변형 의존적 강도 한계로 간주하는 것이 특징이다.네 가지 유형으로 구성되어 있다.^[13]

1. 인장 정규 경계 – 점진적인 인장 파쇄를 포착하기 위한 것;
2. 압축 부피 경계 - 극한 압력에 의한 모공 붕괴와 같은 현상을 포착한다.
3. 전단 경계 – 마찰 포착 및
4. The compressive deviatoric boundary – to capture softening in compression, using the volumetric stress ${\displaystyle \sigma _{V}=\sigma _{kk}/3}$ and deviatoric stress ${\displaystyle \sigma _{D}=\sigma _{N}-\sigma _{V}}$ on the microplanes.

명시적 분석의 각 단계는 탄성 예측기로 시작하여 경계를 초과한 경우 마이크로 평면의 응력 벡터 구성요소는 일정한 변형률로 경계에 떨어진다.

적용들

콘크리트 손상에 대한 마이크로플레인 구성 모델은 1984년 이후 M0, M1, M2, ..., M7이라는 라벨이 붙은 일련의 개선된 모델을 통해 진화되었다.^[13] 또한 섬유 복합재(부직 또는 땋은 라미네이트), 암석, 이음매스, 점토, 모래, 폼, 금속 등으로 확장되었다.^{[8][11][16][17][18][19][20][21][22][23][24][25]}마이크로플레인 모델은 피크 후 연화, 압축 텐션 부하 주기, 개방 및 혼합 모드 파손, 장력-시어 및 압축-시어 고장, 비틀림(즉 정점 효과)에 따른 축압축 압축을 통해 단축, 2축 및 3축 하중에 대한 콘크리트 시험 데이터를 근접하게 적합시킬 수 있는 것으로 입증되었다.콘크리트의 적재율 효과와 장기 노화 크리프도 통합됐다.모델 M4와 M7은 유한변형으로 일반화되었다.마이크로플레인 모델은 다양한 상업 프로그램(ATENA, OOFEM, DIANA, SBETA,...)과 대규모 독점 파장(EPIC, FRONTO, MASS,...)에 도입되었다.또는 ABAQ에서 UMAT 또는 VUMAT와 같은 사용자의 서브루틴으로 사용되는 경우가 많다.미국

참조