등각 반지름

수학에서 등각 반지름은 점 z에서 바라본 단순 연결 평면 영역 D의 크기를 측정하는 방법이다.유클리드 거리(예: 중심 z가 있는 가장 큰 새겨진 원반의 반지름)를 사용하는 개념과는 달리, 이 개념은 특히 등호 지도와 등호 기하학에서 복잡한 분석에 사용하기에 적합하다.

밀접하게 연관된 개념은 단순히 연결된 콤팩트 집합 D의 트랜스피니트 직경 또는 (로가리듬) 용량으로, 무한에서 바라본 보완 E = D의^c 등정 반지름의 역행으로 간주할 수 있다.

정의

단순하게 연결된 도메인 D ⊂ C와 점 z ∈ D에 의해 리만 매핑 정리에 의해 단위 디스크(일반적으로 균일화 지도라고 함)에 f(z) = 0 ∈ D와 f′(z) ∈ R을₊ 가진 고유한 등각 지도 f : D → D가 존재한다. 그런 다음, z로부터 D의 등각 반경을 정의한다.

${\displaystyle \mathrm {rad}(z,D):={\frac {1}{f'(z)}}\,.}$

가장 간단한 예는 중심에서 바라본 반경 r의 원반형 반지름도 r이며, 이는 균일화 지도 x ↦ x/r로 나타난다.자세한 예는 아래를 참조하십시오.

One reason for the usefulness of this notion is that it behaves well under conformal maps: if φ : D → D′ is a conformal bijection and z in D, then ${\displaystyle \mathrm {rad} (\varphi (z),D')= \varphi '(z) \,\mathrm {rad} (z,D)}$.

The conformal radius can also be expressed as ${\displaystyle \exp(\xi _{x}(x))}$ where ${\displaystyle \xi _{x}(y)}$ is the harmonic extension of ${\displaystyle \log( x-y )}$ from ${\displaystyle \partial D}$ to ${\displaystyle D}$.

특별한 경우: 상반부 평면

K ⊂ H는 D := H\K가 연결되고 단순하게 연결되도록 상부 하프 평면의 서브셋이 되게 하고 z d D가 포인트가 되게 한다.(이것은 슈램-루너 진화에서 흔히 볼 수 있는 시나리오다.)리만 지도 정리에는 등정적 편향 g : D → H가 있다.그런 다음, 그러한 지도 g에 대해 간단한 계산을 통해 다음과 같은 것을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {rad}(z,D)={\frac {2\,\mathrm {Im}(g(z))}{{ g'(z)}}\,}$

예를 들어 K = ∅, z = i일 때 g가 ID 맵이 될 수 있고 rad(i, H) = 2. 이것이 원래 정의와 일치하는지 확인하는 것: 균일화 맵 f : H → D는

${\displaystyle f(z)=i{\frac {z-i}{z+i},}$

그리고 파생상품은 쉽게 계산할 수 있다.

인라디우스와의 관계

그것이 반경의 좋은 척도라는 것은 다음과 같은 슈바르츠 보조정리 및 코에베 1/4 정리의 즉각적인 결과로 나타난다: z ∈ D ⊂ C에 대해서,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {rad}(z,D)}{4}\leq \mathrm {dist}(z,partial D)\leq \mathrm {rad}(z,D),}$

여기서 dist(z, ∂D)는 z와 D의 경계 사이의 유클리드 거리, 즉 중심 z가 있는 가장 큰 내접 원반의 반지름을 나타낸다.

두 불평등 모두 가능한 최선의 방법이다.

상한은 D = D, z = 0을 취함으로써 명확하게 달성된다.

하한은 다음과 같은 "슬릿 도메인"에 의해 달성된다.D = C\R₊ 및 z = -r ∈ R₋.제곱근 지도 φ은 $D$를 위쪽 반면 H에 가져가고, with (${\displaystyle }$- r${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= i ${\displaystyle r}$ = ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r\sqrt{}}$ ${\$ 파생$$ ${\displaystyle derivative{}^{}}$ (${\displaystyle }$- ${\displaystyle r}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \frac{2\sqrt{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{r\mathrm{}}{}}$ ${\$fr}{$1}{\sqr$The above formula for the upper half-plane gives ${\displaystyle \mathrm {rad} (i{\sqrt {r}},\mathbb {H} )=2{\sqrt {r}}}$, and then the formula for transformation under conformal maps gives rad(−r, D) = 4r, while, of course, dist(−r, ∂D) = r.

무한대의 버전: transfinite 직경 및 로그 용량

D ⊂ C가 연결되고 단순하게 연결된 콤팩트 세트일 때, 그 보완 E = D는^c ∞^{[citation needed]}을 포함하는 리만 구체의 단순하게 연결된 도메인이며, 이를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {rad}(\inflat ,D):={\frac {1}{1}{\mathrm {rad}(\inflat ,E)}}}}:=\lim _{z\frac {f(z)},}},}}$

여기서 f : C\D → E는 f(∞) = ∞이 있는 독특한 비주사적 순응형 지도로서, 양실성(positive reality)이 제한된다. 즉, 형식의 순응형 지도.

${\displaystyle f(z)=c_{1}z+c_{0}+c_{-1}+{-1}z^{-1}dots,\qquad c_{1}\in \mathbf {R} _{+}.}$

계수 c₁ = rad(rad, d)는 transfinite 직경 및 D의 (logarithmic) 용량과 같다; 폼므렌케(1975년)와 쿠즈마미나(2002년)의 11장 하브txt 오류: no target: CITREFKuzzmina2002 (도움말)를 참조한다.세트의 용량에 대한 기사도 참조하십시오.

계수 c를₀ D의 등정 중심이라고 한다.그것은 D의 볼록한 선체에 놓여 있음을 보여줄 수 있다. 더욱이,

${\displaystyle D\subseteq \{z: z-c_{0} \leq 2c_{1}\}\}}$

여기서 반경 2c는₁ 길이 4c의₁ 직선 세그먼트에 대해 날카롭다.폼므렌케의 12~13페이지와 11장(1975년)을 참조하라.

페케트, 체비셰프 및 수정된 체비셰프 상수

우리는 매우 다른 관점에서 정의되었음에도 불구하고 트랜스피니트 직경과 동일한 세 가지 다른 수량을 정의한다.내버려두다

${\displaystyle d(z_{1},\ldots ,z_{k}):=\prod _{1\leq i<j\leq k} z_{i}-z_{j}}}}$

점 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 쌍별 거리 산출물을 나타내며$$, 콤팩트 세트 D ⊂ C에 대해 다음 수량을 정의한다.

${\displaystyle d_{n}(D):=\supp_{z_{1},\ldots,z_{n}\in D}d(z_{1},\ldots,z_{n}^{\frac {1}{1}{\binom}{2}}:$

즉, ${\displaystyle d_{}}$n (${\displaystyle D}$ )$${\$displaystyle d_{n}(D)}$은 D에서 n개의 점의 쌍방향 거리에 대한 기하 평균의 최상이다.D는 콤팩트하기 때문에, 이 우월감은 사실 일련의 점들에 의해 얻어진다.그러한 n 포인트 세트를 페케트 세트라고 한다.

한계 $d{\displaystyle (D}$) ${\displaystyle :=\underset{}{im}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$ →${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle d_{}}$n (${\displaystyle D}$) ${\displaystyle d(D):=\lim _{n\to \infit }d_{n}(D)}$가 존재하며$$ 이를 페케트 상수라고 한다.

Now let ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$ denote the set of all monic polynomials of degree n in C[x], let ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{n}}$ denote the set of polynomials in ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$ with all zeros in D and let us define

${\displaystyle \mu _{n}(D):=\inf _{p\in {\mathcal {P}}_{n}}\sup _{z\in D} p(z) }$ and ${\displaystyle {\tilde {\mu }}_{n}(D):=\inf _{p\in {\mathcal {Q}}_{n}}\sup _{z\in D} p(z) }$

그러면 한계.

${\displaystyle \mu (D):=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(D)^{\frac {1}{n}}}$ and ${\displaystyle \mu (D):=\lim _{n\to \infty }{\tilde {\mu }}_{n}(D)^{\frac {1}{n}}}$

존재하며 그것들은 각각 체비셰프 상수와 변형 체비셰프 상수라고 불린다.마이클 페케테와 가보르 체게는 이 상수들이 동등하다는 것을 증명했다.

적용들

등각 반지름은 예를 들어 슈람-루너 진화 작업을 할 때 매우 유용한 도구다.아름다운 예는 롤러, 슈람 & 베르너(2002)에서 찾을 수 있다.

참조

• Ahlfors, Lars V. (1973). Conformal invariants: topics in geometric function theory. Series in Higher Mathematics. McGraw-Hill. MR 0357743. Zbl 0272.30012.
• Horváth, János, ed. (2005). A Panorama of Hungarian Mathematics in the Twentieth Century, I. Bolyai Society Mathematical Studies. Springer. ISBN 3-540-28945-3.
• Kuz′mina, G. V. (2002) [1994], "Conformal radius of a domain", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Lawler, Gregory F.; Schramm, Oded; Werner, Wendelin (2002), "One-arm exponent for critical 2D percolation", Electronic Journal of Probability, 7 (2): 13 pp., arXiv:math/0108211, doi:10.1214/ejp.v7-101, ISSN 1083-6489, MR 1887622, Zbl 1015.60091
• Pommerenke, Christian (1975). Univalent functions. Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher. Vol. Band XXV. With a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht. Zbl 0298.30014.

추가 읽기

• Rumely, Robert S. (1989), Capacity theory on algebraic curves, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1378, Berlin etc.: Springer-Verlag, ISBN 3-540-51410-4, Zbl 0679.14012

외부 링크

• Pooh, Charles, Conformal radius. From MathWorld — Eric W에 의해 만들어진 Wolfram Web Resource.와이스슈타인