쿠라모토-시바신스키 방정식

수학에서 쿠라모토-시바신스키 방정식(KS 방정식 또는 불꽃 방정식이라고도 함)은 4차 비선형 부분 미분 방정식이다.1970년대 후반 층화 불꽃 전선에서 확산 불활성화를 모형화하기 위해 이 방정식을 도출한 쿠라모토 요시키와 그레고리 시바신스키의 이름을 따서 지은 것이다.^[1][2][3]쿠라모토-시바신스키 방정식은 무질서한 행동으로 알려져 있다.^[4][5]

정의

쿠라모토-시바신스키 방정식의 1d 버전은

${\displaystyle u_{t}+u_{xxx}+u_{xxx}+{\frac {1}{1}{2}}u_{x}^{2}=0}$

대체 형태는

${\displaystyle v_{t}+v_{xx}+v_{xxx}+v_{x}=0}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대해 차별화하고 $v{\displaystyle }$= ${\displaystyle u_{}}$ x ${\$를 대체하여 얻음$.$ fluid dynamics 애플리케이션에서 사용되는 형식이다.^[6]

쿠라모토-시바신스키 방정식도 보다 높은 차원으로 일반화할 수 있다.공간적으로 주기적인 영역에서, 한 가지 가능성은

${\displaystyle u_{t}+\Delta u+\Delta ^{2}u+{\frac {1}{1}2}} \nabla u ^{2}=0,}$

여기서 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \Delta }$은(는) 라플라스 ${\displaystyle {연산자\mathrm{}}^{}}$,$Δ$ 2 {\$displaystyle$ \Delta$^{2$}}은 생체해효 연산자다.

특성.

The Cauchy problem for the 1d Kuramoto–Sivashinsky equation is well-posed in the sense of Hadamard—that is, for given initial data ${\displaystyle u(x,0)}$, there exists a unique solution ${\displaystyle u(x,0\leq t<\infty )}$ that depends continuously on the initial data.^[7]

1d 쿠라모토-시바신스키 방정식은 갈릴레이의 침입 즉, $u{\displaystyle (x}$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ $u$$x,t)}$이(가$$) $해결책$이라면${\displaystyle u(x}$ - ${\displaystyle c}$,${\displaystyle t}$ ) - $(x-ct,t)-c)$도 마찬가지인데$,$ $여기$서 c ${\displaystystyle c}$은 임의 상수이다.^[8]물리적으로 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 속도이기$$ 때문에 이 변수의 변화는 일정한 상대 $속도{\displaystyle }$ c$${\$displaystyle c}$을(를) 가지고 움직이는 프레임으로의 변환을 기술하고 있다$.$ 주기적인 영역에서 방정식은 ${\displaystyle u}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$) ${\displaysty u(x,t)}$이 해결책이라면${\displaystyle }$- ${\displaystyle u}$(${\displaystyle }$- x${\displaystyle }$,${\displaystyle t}$) ${\displaystyle -u(-x,t)}$도 해결책이다$$.^[8]

해결 방법

쿠라모토-시바신스키 방정식의 해법은 풍부한 역동적 특성을 가지고 있다.^[8][9][10]주기적 영역 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle$ 0$\\leq x\leq L}$에서 고려되는$$역학 관계는 도메인 크기 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이 증가하면서 일련의 분기를 거치게 되며, 이는 혼란스러운 동작의 시작으로 절정에 이른다.$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 값에 따라 용액에는 평형, 상대 평형 및 이동파가 포함될 수 있으며, 이 모든 것은 $일반적$으로$$L {\$displaystyle$ L$}$이 증가함에$$ 따라 동적으로 불안정해진다$.$특히 혼돈으로의 이행은 기간동안의 분기에 의해 폭포처럼 일어난다.^[10]

적용들

쿠라모토-시바신스키 방정식의 적용은 불꽃 전파와 반응-확산 시스템의 원래 맥락을 벗어난다.이러한 추가 용도는 파이프와 인터페이스, 플라스마, 화학 반응 역학 및 이온 분사 표면의 모델을 포함한다.^[6][11]

참고 항목

• 비선형 부분 미분 방정식 목록
• 무질서한 지도 목록
• 클라크 방정식
• 층 불꽃 속도

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Kuramoto-Sivashinsky Equation". MathWorld.