관성 다지관

수학에서 관성 다지관은 소멸 동력계 용액의 장기 거동과 관련이 있다.관성 다지관은 유한차원, 매끄러운 불변 다지관으로, 전지구적 끌어당김을 포함하고 모든 솔루션을 기하급수적으로 빠르게 끌어당긴다.관성 다지관은 원래 시스템이 무한한 차원이어도 유한한 차원이고, 시스템에 대한 다이나믹스의 대부분이 관성 다지관에서 발생하기 때문에 관성 다지관의 다이나믹스를 연구하면 원래 시스템의 다이나믹스에 대한 연구에 상당한 간소화가 이루어진다.^[1]

많은 물리적 적용에서 관성 다지관은 작은 파장과 큰 파장 구조 사이의 상호작용 법칙을 표현한다.어떤 사람들은 작은 파장은 큰 파장의 노예가 된다고 말한다.관성 다지관은 기상학에서 흔히 볼 수 있는 느린 다지관 또는 모든 분기에서의 중심 다지관으로 나타날 수도 있다.계산적으로, 부분 미분 방정식에 대한 수치 체계는 장기 역학을 포착하려고 하며, 따라서 그러한 수치 체계는 근사적인 관성 다지관을 형성한다.

소개 예제

동적 시스템은 두 $변수{\displaystyle }$ p${\displaystyle (}$ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$p($t)}$과 $q{\displaystyle (t}$) ${\displaystyle q(t)}$의 변수 및 매개 $변수{\displaystyle }$ a$${\$displaystyle a$^[2]

${\displaystyle {\frac {dp}{dt}=ap-pq\...\qquad{dq}}=-q+p^{2}.}$

• 1차원 관성 다지관 $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle a}$) ${\displaystyle q=p^{2}/(1+2a)}($포라볼라)를 보유하고 있다.
• $다지관{\displaystyle \mathcal{}}$ M ${\${\$mathcal{M}}$에서 이 다지관은 역학적으로 불변함

${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {p^{2}}{1+2a}}={\frac {2p{\frac {dp}{dt}}}{1+2a}}={\frac {2ap^{2}}{1+2a}}-{\frac {2p^{4}}{(1+2a)^{2}}}}$ which is the same as

${\displaystyle -q+p^{2}-2q^{2}=-{\frac {p^{2}}{1+2a}}+p^{2}-2\left({\frac {p^{2}}{1+2a}}\right)^{2}={\frac {2ap^{2}}{1+2a}}-{\frac {2p^{4}}{(1+2a)^{2}}}.}$

• 다지관 $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(아래 정의는 모든 초기 조건에서 유인력을 필요로 하지만) 원점 $d{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{qt}}{}}$ -${\displaystyle q}$ ${\dplaystyle {\dq}에 가깝기 때문에$원점 주위의 일부 유한 영역에서 모든 궤적을 유도한다$$.$$

따라서 원래의 2차원 동적 시스템의 장기 거동은 관성 $다지관{\displaystyle \mathcal{}}$ M ${\${\$mathcal{M$ 즉 $d{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{p}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ t${\displaystyle \frac{}{}}$=${\displaystyle p}$ -${\displaystyle \frac{1\mathrm{}}{}}$ + ${\displaystyle \frac{2}{}}$ a ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\dplaystyle {\frac$ {$d}}=ap-{1+2ap^{3$에 의해 주어진다.

정의

$u{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle u(t)}$이(가) 동적 시스템의 솔루션을 나타내도록$$ 한다.솔루션 $u{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle u(t)}$은(는) $H{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$의 진화하는 벡터일 수도$$ 있고, 무한$$ 차원 바나흐 공간 $H{\displaystyle }$ ${\displaysty$ H$}$의 진화하는 함수일 수도 있다$.$

In many cases of interest the evolution of ${\displaystyle u(t)}$ is determined as the solution of a differential equation in ${\displaystyle H}$, say ${\displaystyle {du}/{dt}=F(u(t))}$ with initial value ${\displaystyle u(0)=u_{0}}$.어떤 경우든 우리는 동적 시스템의 해법이 세미그룹 연산자 또는 상태 전이 매트릭스 S${\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S:$의 관점에서 작성될 수 있다고 가정한다.${\displaystyle \mathrm{H}}$$\to H$${\displaystyle \}(\mathrm{u<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; S:H\backslash to\; H\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/1c3f4ca6d274c02c14cc7f063e17a2e40dd9c6b6"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:11.178ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="83">}}$ ( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= S${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ 모든$$ 초기 값${\displaystyle }$u 0 ${\displaystytle t\geq$ 0$},$ 그리고$$ 모든 초기 값 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$어떤 상황에서는 지도 역학에서와 같이 시간의 개별 값만 고려할 수 있다.

동적 세미그룹 $S{\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle S(t)}$의 관성 매니폴드는^[1] 다음과 같은$$ 부드러운 $매니폴드{\displaystyle \mathcal{}}$ M ${\$이다.

1. ${\displaystyle \mathcal{M}}$ ${\$은(는) 유한 치수,
2. ${\displaystyle S}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle M\mathcal{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle M\mathcal{}}$ ${\$mathcal {$M}}$을(를) 항상 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyty$ t$\geq 0$
3. M{\displaystyle{{M\mathcal}}}기하 급수적으로 빠르게, 즉 모든 초기 값 너 0∈ H{\displaystyle u_{0}\in H}거기에 존재하는 상수 cj>0{\displaystyle c_{j}>0}은dist(S(t)u0, M)≤ 그런 c1exp⁡(− c2t){\displaystyle{\text{dist}}(S에 대한 모든 솔루션을 유혹한다$(t)u_{0},{\mathcal {M})\leq c_{1}\exp(-c_{2}t$ .

${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ 관성 ${\displaystyle \mathrm{다지관}}$ $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$d $디스플레이$ 스타일${\mathcal{M}}$에 대한 미분방정식 $/dt=F(u)}$의 제한은 관성계라고 하는 잘 정의된 유한차원 시스템이다$$.^[1]미묘하게, 다지관이 매력적인 것과 다지관의 솔루션이 매력적인 것 사이에는 차이가 있다.그럼에도 불구하고, 적절한 조건 아래의 관성계:[3]그 말은 미분 방정식의 모든 해결책과 큰 시간 같은 행동을 생산하는 동반자 해결책 M{\displaystyle{{M\mathcal}에}거짓말}, 수학에, 모든 너 0{\displaystyle u_{0}에}소위 점근 완전성을 보유하고 있다.there exists ${\displaystyle v_{0}\in {\mathcal {M}}}$ and possibly a time shift ${\displaystyle \tau \geq 0}$ such that ${\displaystyle {\text{dist}}(S(t)u_{0},S(t+\tau )v_{0})\to 0}$ as ${\displaystyle t\to \infty }$.

2000년대 연구자들은 관성 다지관을 시간 의존적(비자율적) 및/또는 확률적 동적 시스템(예:)^[4][5]으로 일반화했다.

존재

입증된 존재 결과는 그래프처럼 표현 가능한 관성 다지관을 다룬다.^[1]The governing differential equation is rewritten more specifically in the form ${\displaystyle du/dt+Au+f(u)=0}$ for unbounded self-adjoint closed operator ${\displaystyle A}$ with domain ${\displaystyle D(A)\subset H}$, and nonlinear operator ${\displaystyle f:D($A)\to H}. 일반적으로, 초등 파장 이론{H\displaystyle}값으로 구성된 v j{\displaystyle v_{j}}:주문한 eigenvalues 0개체에 대한 vj)λ j'v'j{\displaystyle Av_{j}=\lambda _{j}v_{j}}, j=1,2,…{\displaystyle j=1,2,\ldots},;λ 1≤ H의 정규화된 기반이 되어 준다. λ≤ $⋯$ {\$displaystyle 0<\displayda _{1}\leq$\ \$da \{2}\leq \cdots$

For some given number ${\displaystyle m}$ of modes, ${\displaystyle P}$ denotes the projection of ${\displaystyle H}$ onto the space spanned by ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}$, and ${\displaystyle Q=I-P}$ denotes the orthogonal projection onto the space spanned by ${\displaystyle v_{m+}}$${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$+ ${\displaystyle 2_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle v_{m+1},v_{m+$${\displaystyle 2}$$},\ldots$ 우리는 ${\displaystyle \mathrm{그래프}}$ ${\displaystyle :}$: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H}$ → Q$$H {\$displaystyle \Phi :$$PH\to QH}$. For this graph to exist the most restrictive requirement is the spectral gap condition^[1] ${\displaystyle \lambda _{m+1}-\lambda _{m}\geq c({\sqrt {\lambda _{m+1}}}+{\sqrt {\lambda _{m}}})}$ where the constant ${\displaystyle c}$ depends upon the system.이 스펙트럼 격차 조건은 $A{\displaystyle }$ ${\디스플레이$ 스타일 $A}$의 스펙트럼에 큰 간극이 포함되어야만$$ 존재 보장이 가능하다.

근사 관성 다지관

관성 다지관에 근사치를 구성하기 위한 몇 가지 방법들이 제안되는데,^[1] 여기에는 소위 내재적 저차원 다지관이 포함된다.^[6][7]

가장 일반적인 대략적인 방법은 그래프의 존재에서 비롯된다.$m{\displaystyle }$ ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $m}$ 느린$$ 변수 $p{\displaystyle }$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle Pu}$ ( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle p(t)=Pu(t)}$및 '무한' 빠른 변수 $q{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= Q${\displaystyle u}$ ( ${\displaystyle t}$) ${\displaystystyle q(t)=Q(t)}$를 정의하십시오$.$Then project the differential equation ${\displaystyle du/dt+Au+f(u)=0}$ onto both ${\displaystyle PH}$ and ${\displaystyle QH}$ to obtain the coupled system ${\displaystyle dp/dt+Ap+Pf(p+q)=0}$ and ${\di$$splaystyle dq/dt+Aq+Qf(p+q)=0}$.

관성 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 그래프에 있는 궤도의 경우$,$ 빠른 변수 $q{\displaystyle (t}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\phi }(p}$ ${\displaystyle (t}$)${\displaystyle q(t)=\Phi(p(t$ 결합된 시스템 형식을 구별하고 사용하는 것은 그래프에 대한 미분 방정식을 제공한다.

${\displaystyle -{\frac {d\Phi }{dp}\왼쪽[Ap+Pf(p+\Phi(p)\오른쪽]++A\Phi (p)+Qf(p+\Phi (p)=0.}$

이 미분방정식은 일반적으로 불변 다지관 ^[8]모델 또는 비선형 갤러킨 방법을 제공하기$$ 위해 '작은' $p{\displaystyle }${\$displaystyle$p}의 점근확장에서 대략적으로 해결되는데,^[9] 이 두 방법 모두 글로벌 기반을 사용하는 반면, 소위 전체론적 디스트리뷰테이션은 국부적 근거를 사용한다.^[10]관성 다지관의 근사치에 대한 그러한 접근방식은 사용자가 입력하는 시스템의 근사치를 구성하기 위해 웹 서비스가 존재하는 근사 중심 다지관과 매우 밀접하게 관련되어 있다.^[11]

참고 항목

• 방랑 세트

참조