라그랑주, 오일러, 코발렙스카야 탑

고전역학에서 회전하는 팽이와 같은 강체의 세차운동은 일반적으로 통합 가능한 문제가 아니다.그러나 오일러, 라그랑주, 코발렙스카야 ^[1][2]꼭대기 등 통합 가능한 유명한 사례가 3개(또는 4개) 있다.에너지와 더불어, 각각의 상단은 통합성을 발생시키는 세 가지 추가적인 운동 상수를 포함합니다.

오일러 상단은 특별한 대칭이 없는 자유 상단을 나타내며, 고정점이 무게 중심이 되는 외부 토크가 없을 때 움직입니다.라그랑주 상단은 대칭 상단으로, 두 관성 모멘트가 같고 무게 중심이 대칭 축에 있습니다.코발렙스카야^[3][4] 상단은 관계를 만족시키는 관성 모멘트의 고유한 비율을 가진 특별한 대칭 꼭대기입니다.

${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I_{3}}$

즉, 두 개의 관성 모멘트가 같고, 세 번째 관성 모멘트는 절반이며, 무게 중심은 대칭 축에 수직인 평면(두 개의 동일한 점의 평면과 평행)에 위치합니다.비홀로노믹 Goyachev-Chaplygin 탑(D에 의해 소개됨).1900년^[5] Goryachev와 1948년^[6][7] Sergey Chaplygin에 의해 통합됨(I 1 $=$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$3 ({$display style$ I_${1$} =)도 통합 가능$I_{2}=4I_{3}}}.$그것의 무게중심은 적도면에 ^[8]있다.다른 홀로노믹 통합형 팽이는 ^[9]존재하지 않는 것으로 증명되었다.

해밀턴식 고전 팽이 공식

에는 클래식 top[10]은 세가지 기본 축에 의해, 세개의 직교 벡터 e에 의해 정의된 관성의 해당 순간들과 함께^1{\displaystyle{\hat{\mathbf{e}}}^{1}}, e^ 2{\displaystyle{\hat{\mathbf{e}}}^{2}}과 e^3{\displaystyle{\hat{\mathbf{e}}}^{3}}정의된다.1${\displaystyle {}_{}}$({$displaystyle$ I_${1$ $I2{\displaystyle {}_{}}$$({$${2}})$$$및 $I3$({$displaystyle I_{$3$\}\}).$ 클래식 탑의 해밀턴 공식에서 켤레 동적 변수는 주축을 따른 각운동량 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$L({$displaystyle {L})$의 성분이다$.$

${\displaystyle(\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})=(\mathbf {L}\cdot {{L}\cdot {\mathbf {e}}^{1}, {\bf {e}}}^{2}, {\cdot {\bf {\mathbf {{f {e}}}})^{{}}}}}}}}^{}}}}}}}}^{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 3개의 주요 축의 z-성분,

$({displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3})=(\mathbf {z})\cdot {{1},\mathbf {z} {cdot {z}} {cdot {mathbf {e}},\cdot {mathbf {z} } ^{e})$

이 변수들의 포아송 대수는 다음과 같이 주어진다.

$\displaystyle \{\ell _{a},\ell _{b}\}=\varepsilon _{c},\{ell _{a},n_{b}\}=\varepsilon _{c},\{n_{a},n_{b}=0}$

질량중심의 위치가 R ${\displaystyle {\stackrel{}{\to }}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}^{\stackrel{}{\mathbf{}}}}$ ^ ${\displaystyle 1^{\mathrm{}}}$+ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}^{}}$ ${\displaystyle e^{\mathrm{}}}$^${\displaystyle {}^{}}$2 + ${\displaystyle {\stackrel{\mathbf{}}{\mathbf{}}}^{}}$^ ${\displaystyle 3^{\mathrm{}}}$) { $displaystyle {R} _$ {$cm$} = ($a\mathbf {e}$ + b$\mathbf {e}$ + $c}$ + $mathbf {e$ {$e}$ )인 경우,

${\displaystyle H=syslogfrac {\ell_{1}^{2}}{2I_{1}}+{\frac {(\ell_{2})^{2}}{2}I_{2}}+{\frac {(\ell_{3})^{2}}{2}I_{3}}+mg(an_{1}+bn_{2}+cn_{3}),}$

운동 방정식은 다음에 의해 결정된다.

${\displaystyle {\dot {ell }}_{a}=\{H,\ell _{a}\},{\dot {n}_{a}=\{H,n_{a}\}}$

오일러 꼭대기

레온하르트 오일러의 이름을 딴 오일러 꼭대기는 해밀턴과 함께 무정렬 꼭대기이다.

${\displaystyle H_{\rm {E}}=black {(\ell_{1})^{2}}{2}I_{1}}+{\frac {(\ell_{2})^{2}}{2}I_{2}}+{\frac {(\ell_{3})^{2}}{2}I_{3}}}},}$

4가지 운동 상수는 $에너지{\displaystyle {}_{}}$ $(\$와 실험실 프레임의 각운동량 3가지 성분입니다.

$({displaystyle(L_{1}, L_{2}, L_{3})=\ell _{1}\mathbf {e}^{2}+\ell _{2}\mathbf {e}^{3}\ell _mathbf {e}^{3}.}$

라그랑주 톱

Joseph-Louis Lagrange의 이름을 딴 라그랑주 ^[11]상단은 대칭 축을 따라 질량의 중심이 있는 대칭 상단으로, 해밀턴과 함께 $R{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{c}}_{}}$ m ${\displaystyle {=}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}^{}}$ e${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}^{}}$^ ${\displaystyle 3^{\mathrm{}}}${ $displaystyle \mathbf {R}$_${\rm$ {$cm$}}$= h\$mathbf ${e}$ {3}$=$ h\$mathbf$ {\mathbf {\} = h\s} {\} {\} {\} {\}$$$}$ } {\} {\} {\} {\} {\mathbf} {\} {\}

${\displaystyle H_{\rm {L}}=flac {(\ell_{1})^{2}+(\ell_{2}^2}}{2}{2}I}}+{\frac{(\ell_{3}^{2}}{2}I_{3}}+mghn_{3}.}$

움직임의 4가지 상수는 대칭축을 따른 각운동량 성분인 ${\displaystyle {에너지\mathrm{}}_{}}$ H L$(\$ {$L$과 z방향의 각운동량 ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}_{}}$ 3$(\$ _${3$입니다.

${{displaystyle L_{z}=\ell _{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}$

그리고 n-migrates의 크기는

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}}^{2}+n_{3}^{2}}$

코발렙스카야 탑

Kovalevskaya^[3][4] 상단은 ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2}$I \ $display style$ I_${1$} $=$ $대칭{\displaystyle {}_{}}$ 상의입니다.$I_{2}=2I$ ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ 3 $=$ {\$displaystyle I_{3$}=$I$$},$ 질량의 중심은 $대칭축{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ R ${\displaystyle {\mathrm{c}}_{}}$ m ${\displaystyle {=}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}^{}}$ e${\displaystyle {\stackrel{}{\mathbf{}}}^{}}$^$$ {\$displaystyle \mathbf {R} _{\rm {cm$}}=$h\mathbf {hat} ^{1}}$k에 의해 발견되었다.1888년 프랑스 과학아카데미에서 보르댕상을 수상한 '군단 솔라이드 아우투르던 포인트 픽스'이다.해밀턴호는

${\displaystyle H_{\rm {K}}=frac {\ell _{1}^{2}+(\ell _{2}^2}+2(\ell _{3})^{2}}{2}{2}I}}+mghn_{1}.}$

4가지 운동 상수는 $에너지{\displaystyle {}_{}}$ $(\$ {$K$이며, 코발렙스카야 불변량이다.

${\displaystyle K=\xi _{+}\xi _{-}}$

$변수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\pm }_{}}$ ± ${\$ _${\pm}}$은(는) 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle \xi _{\pm}=(\ell _{1}\pm i\ell _{2}^{2}-2mghI(n_{1}\pm in_2}),}$

z 방향으로 각운동량 구성 요소,

${{displaystyle L_{z}=\ell _{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}$

그리고 n-migrates의 크기는

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}}^{2}+n_{3}^{2}.}$

「 」를 참조해 주세요.

• 카르단 서스펜션

레퍼런스

외부 링크

• Kovalevskaya Top – Eric Weisstein의 물리학 세계로부터
• 코발렙스카야 탑