큐빅 헤르미테 스플라인

수치해석에서는 헤르미테 스플라인 또는 큐빅 헤르미테 인터폴레이터가 각 조각이 헤르미테 형식에 명시된 3도 다항식인 스플라인 즉, 해당 도메인 간격의 끝점에서 그것의 값과 첫 번째 파생상품에 의해 지정되는 스플라인이다.^[1]

Cubic Hermite spline은 일반적으로 연속적인 $함수$를 ${\displaystyle {얻기\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {주어진\mathrm{}}_{}}$ 인수 값 x 1,${\displaystyle {}_{}}$x 2${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$x$$ {\$displaystyle x_{1}, x_${2$},\$ldots ,$x_{n$에서 지정된 숫자 데이터의 보간 작업에 사용된다. 데이터는 각 ${\displaystyle x_{}}$ k ${\$에서 원하는 기능값과 파생상품으로 구성되어야 한다. (값만 제공된다면 파생상품은 이들로부터 추정되어야 한다.) Hermite 공식은 각 간격$({\displaystyle x_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$, x ${\displaystyle k_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$) ${\displaystyle (x_{k},x_{k+1}})$에 별도로$$ 적용된다. 그 결과로 생긴 스플라인(spline)은 연속적이며 연속적인 첫 번째 파생상품을 가질 것이다.

큐빅 다항식 스플라인들은 다른 방법으로 지정될 수 있는데, 베지어 큐빅이 가장 흔하다. 그러나 이 두 가지 방법은 동일한 스플라인 집합을 제공하며, 데이터는 베지에와 헤르미테 양식 사이에서 쉽게 변환될 수 있기 때문에 이름들은 종종 동의어인 것처럼 사용된다.

입방 다항식 스플라인들은 평면이나 3차원 공간의 특정 지점을 통과하는 곡선이나 움직임 궤적을 얻기 위해 컴퓨터 그래픽과 기하학적 모델링에 광범위하게 사용된다. 이러한 애플리케이션에서 평면 또는 공간의 각 좌표는 별도의 매개변수 t의 입방 스플라인 함수에 의해 별도로 보간된다. 입방 다항식 스플라인도 오일러-베르누엘리 빔 이론과 같은 구조 해석 애플리케이션에서 광범위하게 사용된다.

입방 스플라인들은 여러 가지 방법으로 두 개 이상의 매개변수의 함수로 확장될 수 있다. 바이큐빅 스플라인(Bicubic splines, Bicubic interpolation)은 디지털 영상의 픽셀 값이나 지형의 고도 데이터와 같은 정규 직사각형 그리드의 데이터를 보간하는 데 종종 사용된다. 3개의 이큐빅 스플라인으로 정의되는 바이큐빅 표면 패치는 컴퓨터 그래픽에서 필수적인 도구다.

큐빅 스플라인(cubic splines)은 컴퓨터 그래픽에서 특히 csplines라고 불린다. 헤르미트의 가시는 찰스 헤르미트의 이름을 따서 붙여졌다.

단일 간격의 보간

단위 간격(0, 1)

On the unit interval ${\displaystyle (0,1)}$, given a starting point ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{0}}$ at ${\displaystyle t=0}$ and an ending point ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{1}}$ at ${\displaystyle t=1}$ with starting tangent ${\displaystyle {\bold$$기호 {m}_{0}($${\displaystyle \mathrm{t<img\; alt="\{\backslash boldsymbol\; \{m\}\}\_\{0\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/7403dbc1da07b3251654d823f3751407fb8a1804"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:3.452ex;\; height:2.009ex;">}}$= 0 ${\displaystyle t=0})$ 및$$ 끝 접선 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 1$({\displaystyle$ {$m}_${1$}($$t$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle t=1$에서 다항식을 정의할 수 있음

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}(t)=(2t^{3}-3t^{2}+1){\boldsymbol {p}}_{0}+(t^{3}-2t^{2}+t){\boldsymbol {m}}_{0}+(-2t^{3}+3t^{2}){\boldsymbol {p}}_{1}+(t^{3}-t^{2}){\boldsymbol {m}}_{1},}$

여기서 t ∈ [0, 1]

임의 간격의 보간

$x{\displaystyle }$ {\${\displaystyle {\mathrm{displaystyle}}_{}}$ $x$${\displaystyle {}_{}}$을(를${\displaystyle {)}_{}}$ 임의 간격$({\displaystyle }$$xk$ , x k$$+ 1 ) ${\displaystyle(x_{k},x_$${$$k+1})$으로 보간하는 작업은 아핀(도-1) 변경을 통해$$ ${\displaystyle \mathrm{후자}}$를${\displaystyle }$[ 0, 1 ] ${\displaystystyle [0,$]에 매핑하는 방식으로 이루어진다$$. 공식은

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}(x)=h_{00}(t){\boldsymbol {p}}_{k}+h_{10}(t)(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{k}+h_{01}(t){\boldsymbol {p}}_{k+1}+h_{11}(t)(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{k+1},}$

여기서 $t{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$- ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle x_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle t=(x-x_{k}}/(x_{k+1}-x_{k}),$$h{\displaystyle }$ ${\displaysty$ h$}$는 $아래$에 정의된 기본 함수를 가리킨다$$. 접선 값은 단위 간격의 방정식과 ${\displaystyle {비교}_{}}$하여 $x{\displaystyle {}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{x}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$만큼 조정되었다는 점에 유의하십시오.

유니크함

위에서 지정한 공식은 주어진 접선을 가진 두 점 사이의 고유한 3도 다항식 경로를 제공한다.

증명. $P{\displaystyle }$, ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P,Q}$는 주어진 경계 조건을 만족하는 2개의 3차 다항식이 되도록$$ 한다. $R{\displaystyle }$= ${\displaystyle Q}$- ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle R=Q-P,}$을(를) 정의한$$ 후:

${\displaystyle R(0)=Q(0)-P(0)=0,}$

$[\displaystyle R(1)=Q(1)-P(1)=0.}$

$Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$과 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ 모두 3급 다항식이기$$ 때문에 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은 기껏해야 3급 다항식이다$$. $따라서{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$은(는) 형식이어야$$ 함

$[\displaystyle R(x)=ax(x-1)(x-r)]}$

파생상품 산출

${\displaystyle R'(x)=ax(x-1)+ax(x-r)+a(x-1)(x-r).}$

우리는 그것을 더 잘 알고 있다.

${\displaystyle R'(0)=Q'-P'=0,}$

${\displaystyle R'(0)=0=ar,}$

(1)

${\displaystyle R'(1)=Q'(1)-P'(1)=0,}$

$[\displaystyle R'(1)=0=a(1-r)]}$

(2)

(1)과 (2)를 합치면 ${\displaystyle \mathrm{a}}$= 0 ${\displaystyle a=0$ ${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ R${\displaystyle }$= 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle R=0,},$ $따라서$ P${\displaystyle }$= ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle P=Q$를 추론한다$.$$}$

표현

우리는 보간 다항식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}(t)=h_{00}(t){\boldsymbol {p}}_{0}+h_{10}(t){\boldsymbol {m}}_{0}+h_{01}(t){\boldsymbol {p}}_{1}+h_{11}(t){\boldsymbol {m}}_{1},}$

여기서 h ${\displaystyle {00}_{}}$ ${\$ $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {10}_{}}$ ${\$ $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {01}_{}}$ ${\$ $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\$은 Hermite 기본 함수다$$. 이것들은 각기 다른 특성을 드러내는 다른 방법으로 쓰여질 수 있다.

"확장" 열은 위의 정의에서 사용된 표현을 보여준다. "사실화된" 열은 즉시 h ${\displaystyle {10}_{}}$ ${\$10$}$과 h ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\$이 경계에서$$ 0임을 나타낸다$$. $또한{\displaystyle {}_{}}$ h ${\$과 h ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\$은 0에 다중성 2가 0이고, h ${\displaystyle {00}_{}}${\$displaystyle h_{00}$과 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {10}_{}}$ ${\$은 1에 0이므로 해당$$ 경계에서 기울기가 0이라고 결론 내릴 수 있다. "번스타인" 열은 헤르미테 기본 함수가 번스타인 다항식 순서 3으로 분해되는 것을 보여준다.

${\displaystyle B_{k}(t)={\binom {3}{k}}\cdot t^{k}\cdot (1-t)^{3-k}.}$

Using this connection you can express cubic Hermite interpolation in terms of cubic Bézier curves with respect to the four values ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{0},{\boldsymbol {p}}_{0}+{\frac {{\boldsymbol {m}}_{0}}{3}},{\boldsymbol {p}}_{1}-{\frac {{\boldsy$$mbol{m}_{1}:{3},{\boldsymbol{p}_{1}},$ de Casteljau 알고리즘을 사용하여 Hermite 보간술을 한다. 그것은 입방형 베지에 패치에서 가운데에 있는 두 개의 제어점이 각각의 외부 지점에서 보간 곡선의 접선을 결정한다는 것을 보여준다.

데이터 세트 보간

$k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$$\dots {\displaystyle }$${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$$(x_{k},{\boldsymbol{p}$$_{k$에 대한 데이터 집합은 각 간격에 위의 절차를 적용하여 보간할 수 있으며, 여기서 접선은 합리적으로 선택되며, 이는 끝점을 공유하는 간격에 대한 접선이 같다는 것을 의미한다. 보간된 곡선은 조각으로 이루어진 입방형 헤르미테 스플라인으로 구성되며${\displaystyle }$(x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (x_{1},x_{n})$에서 전체적으로 연속적으로 차이가 있다$.$

접선의 선택은 고유하지 않으며, 몇 가지 옵션을 사용할 수 있다.

유한차이

가장 간단한 선택은 일정한 간격 길이를 요구하지 않는 3점 차이:

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}_{k}={\frac {1}{2}}\left({\frac {{\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k}}{x_{k+1}-x_{k}}}+{\frac {{\boldsymbol {p}}_{k}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}}\right)}$

내부 지점 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1 ${\displaystyle k=2,\$displaystyle k=2,\$displays,n-1$ 및 데이터 집합의 끝점에서 단측 차이에 대해.

추기경 스플라인

표준 스플라인이라고도 하는 추기경 스플라인을 다음과 같이 얻는다^[3].^[2]

${\displaystyle{\csymbol{m}_{k}=(1-c){\frac {{\frac {{p}_{k+1}-{p:1}}-{x_{k+1}-1}{k-1}:{k:1}}$

접선을 계산하는 데 사용된다. 매개변수 c는 [0, 1] 간격 내에 있어야 하는 장력 매개변수다. 어떤 의미에서는 이것은 접선의 "길이"로 해석할 수 있다. c = 1을 선택하면 모든 접선이 0이 되고, c = 0.5를 선택하면 Catmull-Rom 스플라인(Catmull–Rom spline)이 발생한다.

캣멀-롬 스플라인

선택된 접선의 경우

${\displaystyle {\jamsymbol{m}_{k}={\frac {1}{1}{1}{\frac {{}}{p}_{k+1}-{p}}}{x_{k+1}-{k-1}:{k-1}}}}}}}{\frac symbol {{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

캣멀-롬 스플라인 획득, 추기경 스플라인 특수한 경우 이것은 매개변수 간격이 균일하다고 가정한다.

이 곡선은 에드윈 캣멀과 라파엘 롬의 이름을 따서 지어졌다. 이 기법의 주된 장점은 원래 점 집합을 따라 있는 점들이 스플라인 곡선의 관리점을 구성한다는 것이다.^[5] 곡선의 양쪽 끝에는 두 개의 점이 추가로 필요하다. 균일한 Catmull-Rom 구현은 루프와 자체 교차로를 생성할 수 있다. 코드와 구심 Catmull-Rom 구현은 이 문제를 해결하지만 약간 다른 계산을 사용한다.^[7] 컴퓨터 그래픽에서 Catmull-Rom 스플라인들은 키 프레임들 사이에서 매끄러운 보간 동작을 얻기 위해 자주 사용된다. 예를 들어, 이산형 키 프레임에서 생성된 대부분의 카메라 경로 애니메이션은 Catmull-Rom 스플라인을 사용하여 처리된다. 이들은 주로 계산이 비교적 용이하고, 각 키 프레임 위치가 정확히 타격되도록 보장하며, 생성되는 곡선의 접선이 여러 세그먼트에 걸쳐 연속적으로 발생하도록 보장하는 것으로 인기가 높다.

코차넥-바르텔스 스플라인

A Kochanek–Bartels spline is a further generalization on how to choose the tangents given the data points ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{k-1}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{k}}$ and ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{k+1}}$, with three parameters possible: tension, bias and a continuity 매개 변수

모노톤 입방 보간법

단조로운 데이터 세트의 보간에서 위에 열거된 어떤 유형의 입방체 헤르미트 스플라인을 사용하는 경우, 보간된 기능이 반드시 단조로운 것은 아니지만 접선을 조정하여 단조성을 보존할 수 있다.

엔드포인트에서 일치하는 파생상품을 사용한 단위 간격에 대한 보간

Consider a single coordinate of the points ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{n-1},{\boldsymbol {p}}_{n},{\boldsymbol {p}}_{n+1}}$ and ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{n+2}}$ as the values that a function f(x) takes at integer ordinates x = n − 1, n, n + 1 and n + 2,

${\displaystyle p_{n}=f(n)\quad \forall n\in \mathb {Z} .}$

또한 엔드포인트의 접선이 인접한 점의 중심 차이로 정의된다고 가정하십시오.

${\displaystyle m_{n}={\frac {f(n+1)-f-1}{2}}:={\frac {p_{n+1}-p_{n-1}:{n-1}:{n-1}}}{n-1}}}{n-1}}}}\quad \forall n\in \mathb {Z} .}$

실제 x에 대해 보간된 f(x)를 평가하려면 먼저 x를 정수 부분 n과 부분 부분 u로 구분하십시오.

${\displaystyle x=n+u,}$

${\displaystyle n=\lfloor x\llloor =\floorname {floor}(x),}$

${\displaystyle u=x-n=x-\lfloor x\lloor,}$

$0\displaystyle 0\leq u<1,}$

여기서 $\lfloor {\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$은 바닥 기능을 나타내며$$, x보다 크지 않은 가장 큰 정수를 반환한다.

그러면 캣멀-롬 스플라인(catmull-Rom spline)은^[8]

${\displaystyle {\begin}f(x)=f(n+u)&={\text{CINT}}_{nu}(p_{n-1},p_{n},p_{n+1},p_{n+2})\\&, ={\begin{bmatrix}1&, u&, u^{2}&, u^{3}\end{bmatrix}}\cdot{\begin{bmatrix}0&, 1&, 0&, 0\\-{\tfrac{1}{2}}&0&,{\tfrac{1}{2}}&0\\1&, -{\tfrac{5}{2}}&2&, -{\tfrac{1}{2}}\\-{\tfrac{1}{2}}&{\tfrac{3}{2}}&-{\tfrac{3}{2}}&{\tfrac{1}{2}}\end{bmatrix}}\cdot{\begin{bmatrix}p_{n-1}\\p_{n}\\p_{n+1}\\p_{n.+2}\end{bmatrix}}\\&, ={\frac{1}{2}}{\begin{bmatrix}-u^{3}+2u^{2}-u\\3u^{3}-5u^{2}+2\\-3u^{3}+4u^{2}+u\\u^{3}-u^{2}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\cdot {\begin{bmatrix}p_{n-1}\\p_{n}\\p_{n+1}\\p_{n+2}\end{bmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}u{\big (}(2-u)u-1{\big )}\\u^{2}(3u-5)+2\\u{\big (}(4-3u)u+1{\big )}\\u^{2}(u-1)\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\cdot {\begin{bmatrix}p_{n-1}\\p_{n}\\p_{n+1}\\p_{n+2}\end{b매트릭스}}\\&, ={\tfrac{1}{2}}{\Big(}{\big(}{2}u^(2-u)-u{\big)}(u-1)p_{n+2}{\Big)}\\&, ={\tfrac{1}{2}}{\big(}({3}+2u^{2}-u^ -u)p_{n-1}(3u^{3}-5u^{2}+2)p_ᆾ+(-3u^{3}+4u^{2}+u)p_ᆿ+(u^{3}-u^{2})p_{n+2}{\big)}\\&, ={\tfrac{1}{2}}{\big(}(-p_{n-1}+3p_{.n}-3p_{n+1}+p_{n+2})u^{3}+(2p_{n-1}-5p_{n}+4p_{n+1}-p_{n+2})u^{2}+(-p_{n-1}+p_{n+1})u+2p_{n}{\big )}\\&={\tfrac {1}{2}}{\Big (}{\big (}(-p_{n-1}+3p_{n}-3p_{n+1}+p_{n+2})u+(2p_{n-1}-5p_{n}+4p_{n+1}-p_{n+2}){\big )}u+(-p_{n-1}+p_{n+1}){\Big )}u+p_{n},\end{aigned}}}$

여기서 $T{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$은(는) 전치 행렬을 나타낸다$$. 밑바닥 평등은 호너의 방법의 응용을 묘사하고 있다.

이 쓰기는 하나의 최적화가 동일한 u와 다른 p를 사용하여 16번 CINT를_u 계산해야 하는 삼두부 보간술과 관련이 있다.

참고 항목

• 바이큐빅 보간, 2차원으로 일반화
• 3차원의 보간, 3차원의 일반화
• 헤르미트 보간법
• 다변량 보간법
• 스플라인 보간법
• 이산 스플라인 보간법

참조

외부 링크

• 스플라인 곡선, 교수 도널드 H. 하우스 클렘슨 대학교
• 다차원 헤르미트 보간 및 근사치, 교수 챈드라지트 바자지 퍼듀 대학교
• Catmull-Rom Splines 소개, MVPs.org
• 보간 추기경 및 캣멀-롬 스플라인
• 보간 방법: 선형, 코사인, 입방체 및 헤르미트(C 소스 포함)
• 공통 스플라인 방정식