해밍 공간

Hamming space
길이 3의 이진 문자열의 해밍 공간.큐브 그래프의 정점 사이의 거리는 문자열 사이의 해밍 거리와 같다.

통계학 및 코딩 이론에서 해밍 공간은 일반적으로 길이 N의 2 이진 문자열의 집합이다.[1][2]코딩 신호와 전송 이론에 사용된다.

보다 일반적으로 해밍 공간은 어떤 알파벳 (set) Q에 걸쳐서 Q의 문자와 함께 고정된 길이 N의 단어 집합으로 정의될 수 있다.[3][4]Q가 유한장이라면 Q 위에 해밍공간은 Q 위에 N차원 벡터공간이다.전형적인 이항 케이스에서 필드는 따라서 GF(2)(Z로도2 표시됨)[3]이다.

코딩 이론에서 Q가 q 원소를 가지고 있다면, Q 위에 N차원 해밍 공간의 어떤 부분집합 C(대개 적어도 2개의 카디널리티로 가정함)를 길이 N의 q-ary 코드라고 부르고, C의 요소들을 코드 워드라고 부른다.[3][4]C가 Hamming 공간의 선형 하위 공간인 경우, 이를 선형 코드라고 한다.[3]선형 코드의 대표적인 예가 해밍 코드다.해밍 공간을 통해 정의되는 코드는 모든 코드 워드에 대해 길이가 반드시 동일하므로, 단노이드에 대해 고유한 인자화에 의해 정의되는 가변 길이 코드와 구별할 필요가 있을 때 블록 코드라고 부른다.

해밍 거리는 해밍 공간과 미터법을 내포하고 있는데, 이는 오류 감지 및 오류 수정과 같은 코딩 이론의 기본 개념을 정의하는 데 필수적이다.[3]

비필드 알파벳에 대한 해밍 공간도 고려되었으며, 특히 유한 링(대부분 특히 Z4 위에 있음)을 통해 선형 코드 대신 벡터 공간과 링-선형 코드(하위 코드와 함께 식별됨) 대신 모듈이 생성된다.이 경우 Lee 거리에 사용되는 일반적인 메트릭.해밍 거리가 있는 즉, GF(22m)와 Lee 거리와의 Z 사이에 그레이 이등분법이 존재한다.[5][6][7]

참조

  1. ^ Baylis, D. J. (1997), Error Correcting Codes: A Mathematical Introduction, Chapman Hall/CRC Mathematics Series, vol. 15, CRC Press, p. 62, ISBN 9780412786907
  2. ^ Cohen, G.; Honkala, I.; Litsyn, S.; Lobstein, A. (1997), Covering Codes, North-Holland Mathematical Library, vol. 54, Elsevier, p. 1, ISBN 9780080530079
  3. ^ a b c d e Derek J.S. Robinson (2003). An Introduction to Abstract Algebra. Walter de Gruyter. pp. 254–255. ISBN 978-3-11-019816-4.
  4. ^ a b 코헨 외, 커버링 코드, 페이지 15
  5. ^ Marcus Greferath (2009). "An Introduction to Ring-Linear Coding Theory". In Massimiliano Sala; Teo Mora; Ludovic Perret; Shojiro Sakata; Carlo Traverso (eds.). Gröbner Bases, Coding, and Cryptography. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-93806-4.
  6. ^ "Kerdock and Preparata codes - Encyclopedia of Mathematics".
  7. ^ J.H. van Lint (1999). Introduction to Coding Theory (3rd ed.). Springer. Chapter 8: Codes over ℤ4. ISBN 978-3-540-64133-9.


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