2차원 확산 문제에 대한 유한 체적법

2차원 확산 문제를 해결하는 방법은 1차원 문제에 사용되는 방법과 유사합니다.안정 확산에 대한 일반 방정식은 과도항과 대류항을^[1] 삭제하여 특성 δ에 대한 일반 운송 방정식에서 쉽게 도출할 수 있다.

${\frac {\partial {}x}\left(\Gamma {\partial {}\phi {})+{\frac {\partial {}y}\left(\Gamma {\\partial {}}\partial {\phi})S=0$

어디에,
$γ$ { $displaystyle$ \ $\Gamma$ Gamma $\Gamma$ }는 확산^[2] $계수이고$ S { displaystyleS $S$ }는 ^[3]소스 용어입니다.

이산화에 사용되는 2차원 그리드의 일부를 아래에 나타냅니다.

2차원 그림 그래프

General Grid Node P에는 East(E) 및 West(W) 네이버 외에 North(N) 및 South(S) 네이버도 있습니다.여기서는 1차원 분석과 마찬가지로 모든 면과 셀 치수에 대해 동일한 표기법이 사용됩니다.위의 방정식이 Control 볼륨에서 정식으로 통합되면 다음과 같이 됩니다.

$\int _{\Delta {v}}{\frac {}{\gamma {}}\phi {}}{\frac {}}{\frac {}}\phi {}}{\right}{\Delta {v}}{\delta {}}}{\frac {\gamma {\}}\gamma {y}}}\gamma {y}\gamma {\}\left}\gamma {\left}{\}}\$

발산 정리를 사용하여 방정식을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

$\displaystyle \left[{\Gamma {}}_{e}A_{e}\left({\frac {\partial {}\phi {}}}{\partial {}x}}\right)_{e}-{\Gamma {}_{w})A_{w}\left({\frac {\partial {}\phi {}}{\partial {}x}\right)_{w}\right]+\left[{\Gamma {}_{n})A_{n}\left({\frac {\partial {}\phi {}}}{\partial {}y}}\right)_{n}-{\Gamma {}_{s})A_{s}\left({\frac {}\phi {}}{\frac {}\phi}}\right)_{s}\right]+{\bar {S}\Delta {}V=0})$

이 방정식은 Control volume에서 특성 θ의 생성 균형과 셀 면을 통과하는 플럭스를 나타냅니다.미분은 Taylor 급수 근사를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle {{\Gamma {}}_{w}}A_{w}\left({\frac {partial {}\phi {}}{\partial {x}}\오른쪽)}_{w}=gamma {}_{w}A_{w}{\frac {{\phi {}_{p}-{\phi {}_{w}}}{\delta {}x}_{WP}}}}}:$

동쪽 면을 가로지르는 플럭스 =

${\displaystyle {{\Gamma {}}_{e}}A_{e}\left({\frac {partial {}\phi {}}{\partial {x}}\오른쪽)}_{e}=gamma {}_{e}A_{e}{\frac {{\phi {}_{e}-{\phi {}_{p}}}{\delta {}x}_{PE}}}}}:$

남쪽 면을 가로지르는 플럭스 =

${\displaystyle {{\Gamma {}}}_{s}A_{s}\left({\frac {partial {}\phi {}}{\partial {y}}\오른쪽)}_{s}=gamma {}_{s}A_{s}{\frac {{\phi {}_{p}-{\phi {}_{s}}}{\delta {}y}_{SP}}}}}:$

북쪽 면을 가로지르는 플럭스 =

${\displaystyle {{\Gamma {}}_{n}A_{n}\left({\frac {}\phi {}}{\frac {y}}\오른쪽)}_{n}=gamma {}_{n})_{n}A_{n}{\frac {{\phi {}_{n}-{\phi {}_{p}}}{\delta {}y}_{PN}}}}}:$

이러한 식을 방정식 (2)에 대입하여 구한다.

$(\displaystyle\Gamma {}}_{e})A_{e}{\frac {{\phi {}_{e}-{\phi {}_{p}}}{\delta {}x}_{PE}}-{\Gamma {}_{w}A_{w}{\frac {{\phi {}_{p}-{\phi {}_{w}}}{\delta {}x}_{WP}}+{\Gamma {}_{n}A_{n}{\frac {{\phi {}_{n}-{\phi {}_{p}}}{\delta {}y}_{PN}}-{\Gamma {}_{s}A_{s}{\frac {{\phi {}_{p}-{\phi {}_{s}}}{\delta {}y}_{SP}}}+{\bar {S}}\Delta {}V=0}$

소스 항이 ${\bar {S}}\Delta {}V=S_{u}+S_{p}*S_{\varphi }$ 된 S ${\bar {S}}\Delta {}V=S_{u}+S_{p}*S_{\varphi }$ ${\bar {S}}\Delta {}V=S_{u}+S_{p}*S_{\varphi }$ ${\bar {S}}\Delta {}V=S_{u}+S_{p}*S_{\varphi }$ V ${\bar {S}}\Delta {}V=S_{u}+S_{p}*S_{\varphi }$ ${\bar {S}}\Delta {}V=S_{u}+S_{p}*S_{\varphi }$ + ${\bar {S}}\Delta {}V=S_{u}+S_{p}*S_{\varphi }$ ${\bar {S}}\Delta {}V=S_{u}+S_{p}*S_{\varphi }$ S {\ S ${\bar {S}}\Delta {}V=S_{u}+S_{p}*S_{\varphi }$ { $displaystyle { S$ } \ $Delta$ { } V ${\bar {S}}\Delta {}V=S_{u}+S_{p}*S_{\varphi }$ = $S_{u}$ + $S_{p$ } * $S_{\varphi$ }} ${\bar {S}}\Delta {}V=S_{u}+S_{p}*S_{\varphi }$ } , , , , , can can can when when when when when when when when when when when when when when when when when when when when when when when when when when when when

$p$ $A_{e}}{\delta {}x}_{$ $PE}}+{\frac {{\Gamma {}}_{w}$ $A_{w}}{\delta {}x}_{$ $WP}}+{\frac {{\Gamma {}}_{n}$ $A_{n}}{\delta {}y}_{$ $PN}}+{\frac {{\Gamma {}}_{s}}$ $A_{s}}{\delta {}y}_{$ ${\frac {{\Gamma {}}_{e}A_{e}}{{\delta {}x}_{PE}}}\phi {}_{E}+{\frac {{\Gamma {}}_{w}A_{w}}{{\delta {}x}_{WP}}}\phi {}_{W}+{\frac {{\Gamma {}}_{n}A_{n}}{{\delta {}x}_{PN}}}\phi {}_{N}+{\frac {{\Gamma {}}_{s}A_{s}}{{\delta {}x}_{SP}}}\phi {}_{S}+S_{u}$ $}}-$ ${\frac {{\Gamma {}}_{e}A_{e}}{{\delta {}x}_{PE}}}\phi {}_{E}+{\frac {{\Gamma {}}_{w}A_{w}}{{\delta {}x}_{WP}}}\phi {}_{W}+{\frac {{\Gamma {}}_{n}A_{n}}{{\delta {}x}_{PN}}}\phi {}_{N}+{\frac {{\Gamma {}}_{s}A_{s}}{{\delta {}x}_{SP}}}\phi {}_{S}+S_{u}$ ${p}\right]\$ ${\frac {{\Gamma {}}_{e}A_{e}}{{\delta {}x}_{PE}}}\phi {}_{E}+{\frac {{\Gamma {}}_{w}A_{w}}{{\delta {}x}_{WP}}}\phi {}_{W}+{\frac {{\Gamma {}}_{n}A_{n}}{{\delta {}x}_{PN}}}\phi {}_{N}+{\frac {{\Gamma {}}_{s}A_{s}}{{\delta {}x}_{SP}}}\phi {}_{S}+S_{u}$ ${}_{P$ }= $\left[{\frac {{\Gamma {}}_{e}A_{e}}{{\delta {}x}_{PE}}}+{\frac {{\Gamma {}}_{w}A_{w}}{{\delta {}x}_{WP}}}+{\frac {{\Gamma {}}_{n}A_{n}}{{\delta {}y}_{PN}}}+{\frac {{\Gamma {}}_{s}A_{s}}{{\delta {}y}_{SP}}}-S_{p}\right]\phi {}_{P}$ ${\frac {{\Gamma {}}_{e}A_{e}}{{\delta {}x}_{PE}}}\phi {}_{E}+{\frac {{\Gamma {}}_{w}A_{w}}{{\delta {}x}_{WP}}}\phi {}_{W}+{\frac {{\Gamma {}}_{n}A_{n}}{{\delta {}x}_{PN}}}\phi {}_{N}+{\frac {{\Gamma {}}_{s}A_{s}}{{\delta {}x}_{SP}}}\phi {}_{S}+S_{u}$ e ${\frac {{\Gamma {}}_{e}A_{e}}{{\delta {}x}_{PE}}}\phi {}_{E}+{\frac {{\Gamma {}}_{w}A_{w}}{{\delta {}x}_{WP}}}\phi {}_{W}+{\frac {{\Gamma {}}_{n}A_{n}}{{\delta {}x}_{PN}}}\phi {}_{N}+{\frac {{\Gamma {}}_{s}A_{s}}{{\delta {}x}_{SP}}}\phi {}_{S}+S_{u}$ ${\frac {{\Gamma {}}_{e}A_{e}}{{\delta {}x}_{PE}}}\phi {}_{E}+{\frac {{\Gamma {}}_{w}A_{w}}{{\delta {}x}_{WP}}}\phi {}_{W}+{\frac {{\Gamma {}}_{n}A_{n}}{{\delta {}x}_{PN}}}\phi {}_{N}+{\frac {{\Gamma {}}_{s}A_{s}}{{\delta {}x}_{SP}}}\phi {}_{S}+S_{u}$ ${\frac {{\Gamma {}}_{e}A_{e}}{{\delta {}x}_{PE}}}\phi {}_{E}+{\frac {{\Gamma {}}_{w}A_{w}}{{\delta {}x}_{WP}}}\phi {}_{W}+{\frac {{\Gamma {}}_{n}A_{n}}{{\delta {}x}_{PN}}}\phi {}_{N}+{\frac {{\Gamma {}}_{s}A_{s}}{{\delta {}x}_{SP}}}\phi {}_{S}+S_{u}$ ${\frac {{\Gamma {}}_{e}A_{e}}{{\delta {}x}_{PE}}}\phi {}_{E}+{\frac {{\Gamma {}}_{w}A_{w}}{{\delta {}x}_{WP}}}\phi {}_{W}+{\frac {{\Gamma {}}_{n}A_{n}}{{\delta {}x}_{PN}}}\phi {}_{N}+{\frac {{\Gamma {}}_{s}A_{s}}{{\delta {}x}_{SP}}}\phi {}_{S}+S_{u}$ E + ${\frac {{\Gamma {}}_{e}A_{e}}{{\delta {}x}_{PE}}}\phi {}_{E}+{\frac {{\Gamma {}}_{w}A_{w}}{{\delta {}x}_{WP}}}\phi {}_{W}+{\frac {{\Gamma {}}_{n}A_{n}}{{\delta {}x}_{PN}}}\phi {}_{N}+{\frac {{\Gamma {}}_{s}A_{s}}{{\delta {}x}_{SP}}}\phi {}_{S}+S_{u}$ W + $δ$ N + ${\frac {{\Gamma {}}_{e}A_{e}}{{\delta {}x}_{PE}}}\phi {}_{E}+{\frac {{\Gamma {}}_{w}A_{w}}{{\delta {}x}_{WP}}}\phi {}_{W}+{\frac {{\Gamma {}}_{n}A_{n}}{{\delta {}x}_{PN}}}\phi {}_{N}+{\frac {{\Gamma {}}_{s}A_{s}}{{\delta {}x}_{SP}}}\phi {}_{S}+S_{u}$ S $A_{e}}{\delta {}x}_{$ $PE}}\phi {}_{E}+{\frac {\Gamma {}_{w}}$ $A_{w}}{\delta {}x}_{$ $WP}}\phi {}_{$ $W}+{\frac {{\Gamma {}}_{n}$ $A_{n}}{\delta {}x}_{$ $PN}}\phi {}_{N}+{\frac {{\Gamma {}}_{$ $A_{s}}{\delta {}x}_{$ $SP}}\phi {}_{S}+S_{u}}$

이 방정식은 이제 내부 노드에 대한 일반적인 이산 방정식 형태로 표현될 수 있다.

$a_{P}\phi {}_{P}=a_{W}\phi {}_{W}+a_{E}\phi {}_{E}+a_{S}\phi {}_{S}+a_{N}\phi {}_{N}+S_{u$

어디에,

$a_{W}$	$a_{E}$	$a_{S}$	$a_{N}$	$a_{P}$
${\displaystyle {{\Gamma {}}_{w}A_{w}}{\delta {}x}_{WP}}}}}:$	${\displaystyle {{\Gamma {}}_{e}A_{e}}{\delta {}x}_{PE}}}}}:$	${\displaystyle {{\Gamma {}}_{s}}A_{s}}{\delta {}x}_{SP}}}}}:$	${\displaystyle {{\Gamma {}}_{n}A_{n}}{\delta {}x}_{PN}}}}}:$	$a_{W}+a_{E}+a_{S}+a_{N}-S_{p$

y 2차원 케이스의 면적은 다음과 같습니다.

 $A_{w}=A_{e}=\Delta {}y$

그리고.

 ${\displaystyle$  $A_{s}=\Delta {}x$  입니다.

세분화된 영역의 각 그리드 노드에서 방정식 (3) 형태의 이산 방정식을 작성하여 특성 $(\$ {})의 $\varphi {}$ 분포를 구한다.온도 또는 플럭스를 알고 있는 경계에서 이산화된 방정식을 수정하여 경계 조건을 통합한다.경계측 계수는 0(경계와의 링크 절단)으로 설정되며, 이 경계를 가로지르는 플럭스는 $s_{u}$ 의 $\$ $S_{p}$ $\$ 항에 $S_{p}$ 부가되는 소스로 도입됩니다.그 후 일련의 방정식을 풀어서 속성 $\varphi {}$ (\ $displaystyle \varphi$ {})의 2차원 분포를 구한다.

레퍼런스

Patankar, Suhas V.(1980), 수치 열전달 및 유체 흐름, 반구.
Hirsch, C.(1990), 내부 및 외부 흐름의 수치 계산, 제2권: 비점성 및 비점성 흐름을 위한 계산 방법, Wiley.
Culbert B.(1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press.
LeVeque, Randall(1990), 보존법칙의 수치적 방법, 수학 시리즈 ETH 강의, Birkhauser-Verlag.
Tannehill, John C., et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer, 2차 Ed., Taylor 및 Francis.
Weseling, Pieter(2001), Springer-Verlag, Computational Fluid Dynamics(계산유체역학 원리)
Carslaw, H.S.와 J.C. Jager, J. C.고체 중의 열 전도.옥스퍼드: 클라렌던 프레스
크랭크, J. (1956)확산의 수학.옥스퍼드: 클라렌던 프레스
탐비나야감, R.K.M. (2011년)확산 핸드북:엔지니어용 응용 솔루션: McGraw-Hill

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^ "SSCP: Programming Strategies". Physics.drexel.edu. Retrieved 2013-10-29.

외부 링크

「」를 참조해 주세요.

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[2] "Diffusion – useful equations". Life.illinois.edu. Retrieved 2013-10-29.

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