명시적 및 암묵적 방법

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명시적 및 암묵적 방법은 물리 프로세스의 컴퓨터 시뮬레이션에서 요구되는 시간 의존적 통상 및 편미분 방정식의 해법에 대한 수치 근사치를 얻기 위해 수치 해석에 사용되는 접근법이다.명시적 방법은 현재의 시스템 상태로부터 후일의 시스템 상태를 계산하는 반면 암묵적 방법은 시스템의 현재 상태와 후기의 상태를 모두 포함하는 방정식을 풀어서 해답을 구한다.수학적으로 Y${\displaystyle (}$ $)$ {$displaystyle$ Y$(t)}$가 현재 시스템 $상태$이고 Y${\displaystyle (t}$ + ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle }$t$$) { $displaystyle$ Y$(t+\Delta$ t$)}$가 이후의 상태일 $경우{\displaystyle }$($display$ t { $displaystyle$ \$Delta$ t}는 작은 시간 단계임), 명시적 방법을 사용합니다.

$(\displaystyle Y(t+\Delta t)=F(Y(t)),$

암묵적 방법에 대해서는 방정식을 푼다.

${\displaystyle G{\Big (}Y(t),Y(t+\Delta t){\Big}=0\qquad (1),}$

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle t}$+ ${\displaystyle \delta }t{\displaystyle }$) .$${ $displaystyle$Y ( $t$+ \ $Delta$ t$$） 。$}$

계산

암묵적 방법에는 추가 계산(상기 방정식 해결)이 필요하며, 구현이 훨씬 더 어려울 수 있습니다.암묵적 방법은 실제로 발생하는 많은 문제가 경직되어 있기 때문에 사용됩니다.이 경우 명시적 방법을 사용하려면 결과의 오차를 제한하기 위해 비현실적으로 작은 시간 단계 ${\displaystyle \delta }$t \$displaystyle \Delta$ t$}$가 필요합니다(숫자 안정성 참조).이러한 문제의 경우, 주어진 정확도를 달성하기 위해, 각 시간 단계에서 형태 (1)의 방정식을 풀어야 한다는 점을 고려하더라도, 더 큰 시간 단계를 가진 암묵적 방법을 사용하는 데 훨씬 적은 계산 시간이 소요된다.즉, 명시적 방법을 사용할지 암묵적 방법을 사용할지는 해결해야 할 문제에 달려 있다.

암묵적 방법은 각 종류의 미분 연산자에 대해 수행될 수 없기 때문에, 때때로 두 개의 보완 연산자의 합으로 미분 연산자가 다시 쓰여지는 것을 의미하는 소위 연산자 분할 방법을 사용하는 것이 권장된다.

${\displaystyle Y(t+\Delta t)=F(Y(t+\Delta t)+G(Y(t)),}$

하나는 명시적으로 처리되고 다른 하나는 암묵적으로 처리됩니다.일반 애플리케이션의 경우 암묵적 항은 선형으로 선택되지만 명시적 항은 비선형일 수 있습니다.앞의 메서드의 이 조합은 Implicit-Explicit Method(짧은 IMEX,)^[1][2]라고 불립니다.

정방향 및 역방향 오일러 방법을 사용한 그림

일반 미분 방정식을 고려합니다.

$(\displaystyle {dy} {dt}}=-y^{2},\t\in [0,a]\displaystyle\dt})$

초기 $조건{\displaystyle }$y(${\displaystyle 0)}$ $=$ 1.$${\$displaystyle y$(0)=$1$인 경우$.$} 0$$ k k n n에 $대해{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {그리드}_{}}$t ${\displaystyle k\frac{}{}}$ $=$ ${\displaystyle \frac{a}{}}$ k n \ $displaystyle t$ _ {$k$ } = a $fr frac$ {$k$ } {$$n$$ }, 즉 시간 스텝은 ${\displaystyle \delta }$ t${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle =}$${\displaystyle }$${\displaystyle a}$ /$$n, \$displaystyle$ \ $Delta t$= ${\displaystyle a_{}}$$/n$, \ display $style y_k =$ { $k}$를 ${\displaystyle {나타냅니다}_{}}$$.$암묵적 방법, 즉 순방향 오일러 및 역방향 오일러 방법(숫자 상미분 방정식 참조)이며 얻어진 체계를 비교한다.

정방향 오일러법

정방향 오일러 방법

$(\displaystyle\leftfrac{dy}{dt}}\오른쪽)_{k}\약 {frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k}^2}}$

수율

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}-\Delta ty_{k}^2}\displays \displays \displays \k+1},}$

$각$ k ${\displaystyle =0}$ ,${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle ...}$ ,${\displaystyle n}$. { $displaystyle$ k $= 0$ , 1$,$ $\ displaystyle$ ,$$n .$$} ${\displaystyle {이것}_{}}$은$k$+$1의 명시적$ 공식입니다.

역오일러법

역방향 오일러 방법 사용

${\displaystyle {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k+1}^2}}$

암묵적 방정식을 찾다

${\displaystyle y_{k+1}+\Delta ty_{k+1}^2}=y_{k}}$

${\displaystyle y_{}}$k + $(\$ y_${k+1})$에 $대한{\displaystyle {}_{}}$ 값입니다($여기$서 y${\displaystyle k_{}}$ +$$(\$displaystyle y_{k+1})$은 방정식에서 알 수 없는 값이 아니라 명시적으로 지정됨).

이것은 2차 방정식으로, 음수 1개와 양수 1개를 가지고 있다.원래 방정식에서는 초기 조건이 양의 값이고 $다음{\displaystyle }$ 단계에서$$y\$displaystyle$y가$$ 다음과 같이 지정되기 때문에 양의 루트가 선택됩니다.

$({displaystyle y_{k+1}=black {-1+{\blackrt {1+4\Delta ty_{k}}}}:{2\Delta t}}).\syslog \syslogs (4)}$

대부분의 경우 암묵적 스킴을 사용할 때 풀어야 할 방정식은 2차 방정식보다 훨씬 복잡하며 해석적 해법은 존재하지 않는다.그런 다음 뉴턴의 방법과 같은 근원 찾기 알고리즘을 사용하여 수치 해법을 찾습니다.

크랭크-니콜슨법

크랭크-니콜슨 방식 사용

${\displaystyle {y_{k+1}-y_{k}}=-{\frac {1}{2}-{\frac {1}^{2}-{\frac {1}{k}^2}-y_{k}^2}}$

암묵적 방정식을 찾다

${\displaystyle y_{k+1}+{\frac {1}{2}}\Delta ty_{k+1}^2=y_{k}-{\frac {1}{2}}\Delta ty_{k}^{2}}$

${\displaystyle y_{}}$k + $(\$ y_${k+1})$에 $대한{\displaystyle {}_{}}$ 값입니다($여기$서 y${\displaystyle k_{}}$ +$$(\$displaystyle y_{k+1})$은 방정식에서 알 수 없는 값이 아니라 명시적으로 지정됨).${\displaystyle {이}_{}}$는 newton의 방법과 같은 루트 찾기 알고리즘을 사용하여 y${\displaystyle {}_{}}$k + $({$ style $y_{k+1$을 구함으로써 수치적으로 해결할 수 있습니다.

크랭크-니콜슨은 보다 일반적인 IMEX(암시적-명시적) 방식의 한 형태로 볼 수 있습니다.

전진-후진 오일러법

IMEX 스킴을 적용하기 위해서는 약간의 미분방정식을 고려해 주십시오.

${\displaystyle {dy} {dt}}=y-y^{2},\t\in [0,a]\displaystyle(5)}$

따라서

$(\displaystyle\leftfrac{dy}{dt}}\오른쪽)_{k}\approx y_{k+1}-y_{k}^{2},\t\in [0,a]}$

그렇기 때문에

${\displaystyle y_{k+1}=syslogfrac {y_{k}(1-y_{k}\Delta t)}{1-\delta t}}\delta \delta (6)}$

각 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0,1}$,${\displaystyle \dots ,}$ $.$ {\$displaystyle$ k$=0,1,\displays,n.}$에 대해

「 」를 참조해 주세요.

• 쿠란트-프리드리히스-루이 상태
• SIMPLE 알고리즘, 압력 연동 방정식을 위한 반암시적 방법

원천