비용 공유 메커니즘

경제학과 메커니즘 설계에서 비용 공유 메커니즘은 여러 대리점이 공용 제품이나 서비스의 범위를 결정하고 각 대리점이 얼마를 지불해야 하는지를 결정하는 과정이다. 비용 분담은 한계 비용이 일정할 때 쉽다: 이 경우, 서비스를 원하는 각 대리점은 한계 비용을 지불한다. 비용 분담은 한계 비용이 일정하지 않을 때 더 흥미로워진다. 한계비용의 증가와 함께 대리점들은 서로에게 부정적인 외부효과를 부과하고, 한계비용의 감소와 함께 대리점들은 서로에게 긍정적인 외부효과를 부과한다(아래 예 참조). 비용 공유 메커니즘의 목표는 이러한 외부성을 에이전트 간에 나누는 것이다.

제품/서비스의 종류와 비용 기능의 종류에 따라 다양한 비용 공유 메커니즘이 있다.

분리할 수 없는 제품, 한계 비용

이 설정에서 여러 에이전트가 생산 기술을 공유한다.^[1] 얼마나 생산할지, 어떻게 생산비를 분담할지 결정해야 한다. 기술은 한계 비용을 증가시킨다 - 생산될수록 더 많은 단위를 생산하기가 어려워진다(즉, 비용은 수요의 볼록함수임).

비용 기능의 예는 다음과 같다.

최초 10개 유닛에 대해 개당 1달러.
각 추가 장치에 대해 개당 10달러.

따라서 요구가 3명, 6명, 10명인 요원이 3명이라면 총 비용은 100달러가 된다.

정의들

비용 분담 문제는 다음과 같은 기능으로 정의되는데 여기서 나는 대리인이고 Q는 제품의 수량이다.

요구(i) = 에이전트에서 받을 금액.
비용(Q) = 제품의 Q 단위를 생산하는 비용.

비용 공유 문제에 대한 해결책은 서비스를 받는 모든 에이전트에 대해 ${\text{Pay}}(i)$ 지불 ${\text{Pay}}(i)$ ( ${\text{Pay}}(i)$ ) ${\displaystyle {\text{Pay}(i)}($ 으)로 정의되며, 총 지불액이 총 비용에 해당된다.

\sum _{i}{\text{Pay}}(i)={\text{Cost}}{\big (}D{\big )}

\sum _{i}{\text{Pay}}(i)={\text{Cost}}{\big (}D{\big )}

\sum _{i}{\text{Pay}}(i)={\text{Cost}}{\big (}D{\big )}

\sum _{i}{\text{Pay}}(i)={\text{Cost}}{\big (}D{\big )}

\sum _{i}{\text{Pay}}(i)={\text{Cost}}{\big (}D{\big )}

=

\sum _{i}{\text{Pay}}(i)={\text{Cost}}{\big (}D{\big )}

\sum _{i}{\text{Pay}}(i)={\text{Cost}}{\big (}D{\big )}

)

{\

_{

i}{\

text

{Pay

}}(

i)={\text{

Cost

}}{\big (}D

{\big

)}}

;

여기서 D는 총 수요다.

D:=\sum _{i}{\text{Demand}(i)

몇 가지 비용 분담 솔루션이 제안되었다.

평균비용분담

규제 독점의 원가 가격에 관한 문헌에서,^[2]^[3] 각 대리인은 평균 비용을 지불해야 한다고 가정하는 것이 일반적이다. 즉, 다음과 같다.

{\text{Pay}(i)={\text{Cost}(D)\cdot {\text{Demand}/D

위의 예에서 지급액은 15.8(요청 3), 31.6(요청 6), 52.6(요청 10)이다.

이 비용 분담 방식은 다음과 같은 몇 가지 장점이 있다.

두 에이전트가 공개적으로 자신의 요구를 단일 슈퍼에이전트로 병합하거나, 한 에이전트가 공개적으로 요구를 두 개의 하위에이전트로 분할하는 조작에는 영향을 받지 않는다. 실제로, 그것은 그러한 조작에 면역이 되는 유일한 방법이다.^[4]^[5]
두 명의 대리인이 비용과 제품을 서로 몰래 빼돌리는 조작에는 영향을 받지 않는다.
각 대리인은 다른 대리인이 없었더라면 그가 지불했을 비용인 최소한 개별 비용을 지불한다. 이것은 연대의 척도다: 어떤 대리인이라도 부정적인 외부로부터 이익을 얻으면 안 된다.

그러나 다음과 같은 단점이 있다.

대리인은 만장일치 비용보다 더 많은 금액을 지불할 수 있다. 즉, 다른 모든 대리인이 동일한 요구를 가지고 있었다면 그가 지불했을 비용이다.

이것은 공정성의 척도로, 어떠한 대리인도 부정적인 외부성으로 인해 너무 많은 고통을 받아서는 안 된다. 위의 예에서 요구 3을 가진 에이전트는 다른 에이전트들이 모두 자신처럼 겸손했다면 부정적인 외부성은 없었을 것이고 각 에이전트는 개당 1달러만 지불했을 것이므로 이것보다 더 많은 비용을 지불하지 않아도 된다고 주장할 수 있다.

한계비용분담

한계비용분담에서 각 대리점의 지급은 그의 요구와 현재의 생산-상태에서 한계비용에 따라 달라진다.

{\text{Pay}={\text{Demand}}(i)\cdot {\cdot}(D)+{1 \over n}{\big({\text{Cost})(D)-D\cdot Cost'{\big )}}

위의 예에서 지급액은 0(요청 3), 30(요청 6), 70(요청 10)이다.

이 방법은 에이전트들이 최대 만장일치 비용, 즉 다른 모든 에이전트들이 동일한 요구를 가지고 있었다면 지불했을 비용을 지불하는 것을 보장한다.

그러나 대리인은 개별 비용보다 적게 지불할 수 있다. 위의 예에서, 요구 3을 가진 대리인은 아무 것도 지불하지 않는다(어떤 경우에는 대리인이 마이너스 가치를 지불할 수도 있다).

직렬 비용 공유

직렬 비용 공유는^[1] 다음과 같은 프로세스의 결과로 설명할 수 있다.

0시에, 모든 요원들은 방으로 들어간다.
그 기계는 분당 1개의 유닛을 생산하기 시작한다.
생산된 단위와 그 비용은 방 안의 모든 요원들에게 균등하게 분배된다.
대리인이 자신의 요구가 만족스럽다고 느낄 때마다 그는 방을 나선다.

따라서 에이전트가 수요의 오름차순으로 주문되는 경우:

에이전트 1(최저 수요자):

{Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n}

{Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n}

s

{Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n}

(

{Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n}

{Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n}

{Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n}

( 1

{Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n}

)

{Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n}

) n

{Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n}

{\

displaystyle {Cost(n\cdot

{\

text{Demand}(1) \overn

n

{Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n}

에이전트 2 지불:

{Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n}

plus

{Cost({\text{Demand}}(1)+(n-1){\text{Demand}}(2))-Cost(n\cdot {\text{Demand}}(1)) \over n-1}

;

등등.

이 방법은 각 대리점이 최소한 개별 비용과 만장일치 비용을 지불하도록 보장한다.

단, 에이전트 분할이나 병합이나 에이전트 간 입력·출력 전송에는 면역이 되지 않는다. 따라서 이러한 전송이 불가능할 때만(예: 케이블 TV 또는 전화 서비스) 말이 된다.

바이너리 서비스, 한계 비용 감소

이 설정에는 각 에이전트가 제공되거나 제공되지 않는 이진 서비스가 있다.^[6] 더 많은 에이전트가 제공될 때 서비스 비용은 더 높지만, 한계비용은 각 대리점을 개별적으로 서비스할 때보다 적다(즉, 비용은 하위모델 세트 기능이다). 대표적인 예로 수원 근처에 사는 앨리스와 조지라는 두 요원을 다음과 같은 거리를 두고 생각해 보자.

소스-앨리스: 8km
소스-조지: 7km
앨리스-조지: 2km

각 1킬로미터의 수도관이 1000달러라고 가정해보자. 다음과 같은 옵션이 있다.

아무도 연결되지 않았다; 비용은 0이다.
오직 조지만 연결되어 있다; 비용은 7천 달러다.
오직 앨리스만 연결되어 있다; 비용은 8천 달러다.
엘리스와 조지는 둘 다 연결되어 있다; 비용은 9천 달러다. 왜냐하면 파이프는 소스에서 조지로, 그리고 앨리스로 갈 수 있기 때문이다. 조지와 앨리스의 비용을 합한 것보다 훨씬 싸다는 것에 주목하라.

이 네 가지 선택사항들 사이의 선택은 각 선택사항들이 수원에 연결되어 있는 것에 대해 얼마만큼 지불할 의향이 있는지에 따라 달라져야 한다.

대리인들이 진정한 결제 의지를 밝히도록 유도할 진실된 메커니즘을 찾는 것이 목표다.

정의들

비용 공유 문제는 다음과 같은 기능으로 정의되는데 여기서 나는 에이전트, S는 에이전트의 서브셋이다.

가치(i) = 서비스를 즐기기 위해 에이전트에서 기꺼이 지불할 금액.
비용(S) = S. 예: 위의 예에서 모든 에이전트와 에이전트만 서비스하는 비용({Alice,George}=9000).

비용 공유 문제에 대한 해결책은 다음과 같이 정의된다.

서비스되어야 하는 에이전트의 하위 집합 S;
서비스되는 모든 에이전트에 대해 ${\text{Pay}}(i)$ 지불 ${\text{Pay}}(i)$ ( ${\text{Pay}}(i)$ ) ${\displaystyle {\text{Pay}(i)}.$

해결책은 다음과 같은 특성을 가질 수 있다.

솔루션의 예산 잉여금은 총 지급액에서 총 비용을 뺀 금액이다: $Surplus:=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}}(S)$ $Surplus:=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}}(S)$ r p $Surplus:=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}}(S)$ $Surplus:=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}}(S)$ $Surplus:=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}}(S)$ $Surplus:=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}}(S)$ $Surplus:=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}}(S)$ $Surplus:=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}}(S)$ $Surplus:=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}}(S)$ $Surplus:=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}}(S)$ ( i $Surplus:=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}}(S)$ ) $Surplus:=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}}(S)$ - $Surplus:=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}}(S)$ ( $Surplus:=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}}(S)$ ) ${\displaystyle Perful:$ $=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}($ S $Surplus:=\sum _{i\in S}{\text{Pay}}(i)-{\text{Cost}}(S)$ 예산수지를 원하는데, 이는 흑자가 정확히 0이어야 한다는 것을 의미한다.
해결책의 사회 복지는 총 효용에서 총 비용을 뺀 것이다. ${\displaystyle 복지:$ $=\sum _{i\in S}{\text{Value}(i)-{\text{Cost}(S$ 효율성이 있었으면 좋겠는데, 이는 사회 복지가 극대화 된다는 뜻이다.

진실성, 예산 균형 및 효율성을 동시에 달성하는 것은 불가능하다. 따라서 진실성 메커니즘에는 두 가지 종류가 있다.

누더기 메카니즘 - 균형 잡힌 예산이지만 효율적이지 않음

예산 균형의 비용 공유 메커니즘은 지불(i,S) 기능으로 정의될 수 있다. 즉, 서빙된 에이전트의 하위 집합이 S일 때 에이전트에게 지불해야 하는 지불이다. 이 함수는 다음 두 가지 특성을 만족시켜야 한다.

budget-balance: the total payment by any subset equals the total cost of serving this subset: $\forall S:\sum _{i\in S}{\text{Payment}}(i,S)={\text{Cost}}(S)$ . So if a single agent is served, he must pay all his cost, but if two or more agents are served, each of them may pa잠수함으로 인해 개인 비용보다 적은 액수.
모집단 단성: 서빙된 에이전트의 하위 집합이 축소될 때 에이전트 지불이 약하게 증가함: $T\supseteq S\implies {\text{Payment}}(i,T)\leq {\text{Payment}}(i,S)$ $T\supseteq S\implies {\text{Payment}}(i,T)\leq {\text{Payment}}(i,S)$ $T\supseteq S\implies {\text{Payment}}(i,T)\leq {\text{Payment}}(i,S)$ $T\supseteq S\implies {\text{Payment}}(i,T)\leq {\text{Payment}}(i,S)$ $T\supseteq S\implies {\text{Payment}}(i,T)\leq {\text{Payment}}(i,S)$ $T\supseteq S\implies {\text{Payment}}(i,T)\leq {\text{Payment}}(i,S)$ , $T\supseteq S\implies {\text{Payment}}(i,T)\leq {\text{Payment}}(i,S)$ ) $T\supseteq S\implies {\text{Payment}}(i,T)\leq {\text{Payment}}(i,S)$ $T\supseteq S\implies {\text{Payment}}(i,T)\leq {\text{Payment}}(i,S)$ ( $T\supseteq S\implies {\text{Payment}}(i,T)\leq {\text{Payment}}(i,S)$ , $T\supseteq S\implies {\text{Payment}}(i,T)\leq {\text{Payment}}(i,S)$ ) { 지불 ( ) $\displaystyle T\supseteq S\implies {\text{Payment}(i,T)\leq {\text{Payment$

그러한 기능에 대해 하위 모델 비용에 대한 비용 분담 문제는 다음과 같은 누태화 과정을 통해 해결할 수 있다.^[6]

처음에는 S를 모든 에이전트의 집합으로 한다.
각 에이전트 i에게 지불(i,S)을 지불해야 한다고 말하십시오.
대가를 지불하지 않으려는 각 요원은 S를 떠난다.
에이전트가 S를 떠난 경우 2단계로 돌아가십시오.
그렇지 않은 경우 S에 남아 있는 에이전트를 완료하고 서버 처리하십시오.

인구-단조성 속성에 의해, 사람들이 S를 떠날 때 가격은 항상 오른다는 점에 유의한다. 따라서 대리인은 결코 S로 돌아가고 싶지 않을 것이기 때문에 메커니즘은 진실하다(그 과정은 영어 경매와 비슷하다). 이 메커니즘에는 진실성 외에도 다음과 같은 장점이 있다.

그룹 전략 증명 - 어떤 에이전트 그룹도 거짓 보고로 이득을 얻을 수 없다.
긍정적인 이전이 없음 - 어떤 에이전트도 서비스를 받기 위해 돈을 지불하지 않는다.
개인의 합리성 - 참여로 인해 가치를 잃는 대리인은 없다(특히, 비서비스 대리인은 대가를 지불하지 않으며 서빙된 대리인은 최대 가치평가액을 지불한다).
소비자 주권 - 지불 의지가 충분히 크면 모든 대리인은 서비스를 받기로 선택할 수 있다.

또한, 예산 균형, 무긍정 전송기, 개인-합리성, 소비자 주권 및 그룹-전략성을 만족하는 모든 메커니즘은 적절한 지불 기능을 사용하여 이러한 방식으로 도출될 수 있다.^[6]^{: Proposition 1}

이 메커니즘은 공정성 또는 효율성과 같은 목표를 달성하기 위해 지불 기능을 선택할 수 있다. 대리인이 동등한 권리(apriori right)를 갖는 경우, 합리적인 지급 기능은 다음과 같다.

The Shapley value, e.g., for two agents, the payments when both agents are served are: Payment(Alice,Both) = [Cost(Both)+Cost(Alice)-Cost(George)]/2, Payment(George,Both) = [Cost(Both)+Cost(George)-Cost(Alice)]/2.
The egalitarian solution,^[7] e.g. Payment(Alice,Both) = median[Cost(Alice), Cost(Both)/2, Cost(Both)-Cost(George)], Payment(George,Both) = median[Cost(George), Cost(Both)/2, Cost(Both)-Cost(Alice)].
에이전트가 서로 다른 권리(예: 어떤 요원은 다른 요원에 비해 선배가 많음)를 갖는 경우, 예를 들어 조지가 더 선배인 경우, 조지가 포함되지 않은 모든 하위 집합 S에 대해 그의 한계 비용만 부과할 수 있다. 결제(George,S+George) = 비용(S+George)-비용(S) 마찬가지로 차선의 요원은 자신의 한계 남은 비용 등을 지불할 수 있다.

위의 비용 분담 메커니즘은 효율적이지 않다 - 그들은 항상 가장 높은 사회 복지를 가진 할당을 선택하지는 않는다. 그러나, 지급 기능이 샤플리 가치로 선정되면, 복지 손실은 최소화된다.^[6]^{: Proposition 2}

VCG 메커니즘 - 효율적이지만 예산 균형이 맞지 않음

다른 종류의 비용 공유 메커니즘은 VCG 메커니즘이다. VCG 메커니즘은 항상 사회적으로 최적화된 할당 즉, 서비스 제공 에이전트의 총 효용에서 서비스 비용을 최대화하는 할당을 선택한다. 그 후, 각 대리인은 다른 대리인의 복지를 받고, 다른 대리인의 가치에 따라 달라지는 금액을 지불한다. 더욱이 모든 VCG 메커니즘은 소비자 주권적 특성을 만족시킨다.

비양성 전송기와 개인-합리성의 요건도 충족하는 단일 VCG 메커니즘이 있다 - 그것은 한계비용 가격결정 메커니즘이다.^[6]^{: Proposition 3} 이것은 각 비서비스 에이전트가 지불하지 않고 각 서비스 에이전트가 지불하는 특별 VCG 메커니즘이다.

Pay(i)=Value(i)-[복지(All)-Welfare(All\setminus \{i\})]

즉, 각 대리인은 자신의 가치를 지불하지만, 그의 존재에 의해 부가되는 복지를 되찾는다. 따라서 대리인의 이익은 사회의 이익(사회복지 극대화)과 일치하므로 그 메커니즘은 진실한 것이다.

이 메커니즘의 문제는 그것이 예산 균형이 맞지 않는다는 것이다 - 그것은 적자를 내고 있다. 위의 수도관의 예를 들어보자. 그리고 앨리스와 조지가 모두 서비스를 $10000으로 평가한다고 가정하자. 앨리스만 섬겼을 때 복지는 10000-8000=2000, 조지만 섬겼을 때 복지는 10000-7000=3000, 둘 다 섬겼을 때 복지는 10000+10000-9000=11000이다. 따라서 한계비용 가격결정 메커니즘은 두 대리점에 서비스를 제공하도록 선택한다. 조지는 10000-(11000-2000)=1000, 앨리스는 10000-(11000-3000)=2000을 지불한다. 총지급액은 3000개에 불과해 총비용인 9000개에 못 미친다.

게다가 VCG 메커니즘은 그룹 전략에 적합하지 않다. 즉, 에이전트는 자신을 해치지 않고 자신의 가치를 높임으로써 다른 에이전트에 도움을 줄 수 있다.^[6]

참고 항목

카풀 - 비용 분담의 적용.
샤플리 가치 - 비용 분담에 대한 가능한 규칙.
공익
시설위치(협력게임)
잉여분할

참조

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^ William S. Sharkey (1982). The Theory of Natural Monopoly. ISBN 9780521243940.
^ 야에르 타우만, "오만 샤플리 가격: 조사" , 18장
^ Moulin, H. (1987). "Equal or proportional division of a surplus, and other methods". International Journal of Game Theory. 16 (3): 161–186. doi:10.1007/BF01756289., 비고 2, 페이지 168
^ O'Neill, Barry (1982). "A problem of rights arbitration from the Talmud". Mathematical Social Sciences. 2 (4): 345–371. CiteSeerX 10.1.1.709.7342. doi:10.1016/0165-4896(82)90029-4.
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^ Dutta, Bhaskar; Ray, Debraj (1989). "A Concept of Egalitarianism Under Participation Constraints". Econometrica. 57 (3): 615. doi:10.2307/1911055. JSTOR 1911055.

[ms92-1] Moulin, Herve; Shenker, Scott (1992). "Serial Cost Sharing". Econometrica. 60 (5): 1009. doi:10.2307/2951537. JSTOR 2951537.

[s82-2] William S. Sharkey (1982). The Theory of Natural Monopoly. ISBN 9780521243940.

[t88-3] 야에르 타우만, "오만 샤플리 가격: 조사" , 18장

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