구조적 역학을 위한 복합적 방법

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복합적 방법은 구조적 역학 및 관련 분야에 적용되는 접근법이다.그들은 다른 방법의 장점을 얻기 위해 각 시간 단계에서 다양한 방법을 결합한다.기존의 복합적인 방법은 만족스러운 정확도와 강력한 수치적 소산을 보여주는데, 이는 특히 뻣뻣한 문제와^[1] 미분수 방정식을 해결하는 데 유용하다.^[2]

정의들

공간 탈부착 후 구조 역학 문제는 일반적으로 2차 일반 미분 방정식으로 설명된다.

${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{¨}}$+ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle u\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$+ f (${\displaystyle u}$ , t )${\displaystyle }$= ${\displaystyle R}$( t${\displaystyle }$) ${\ddot {u}+C{\\$dot{u$}}+$C{\$dot{u}+f(u,t)=R(t$

여기서 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u$ $u{\displaystyle \stackrel{}{}}$˙ ${\$$dot$${u},$ $u{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{¨}}$ ${\dot {u}$은(는) 변위, 속도 및 가속 벡터를 각각 나타내고$$, M ${\displaystyle$ M$}$은 질량 매트릭스, C ${\displaystyle$ $C$$}$은 감쇠 $,$ f$(u$는 f${\displaystyle ,}$ ${\displaystalle$)이다.내부 하중, ${\displaystyle R}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle R(t)}$이(가) 외부 하중이다.초기 시간 $t{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에서 초기 변위 및 속도는 각각 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$과 ${\displaystyle u_{\mathrm{}}}${$$0 {\$dot{u$로 부여되어야 하며, 초기 가속도는 다음과 같이 해결할 수 있다.

${\displaystyle {\stackrel{}{u}0}_{\mathrm{}}}$0 =${\displaystyle {\mathrm{M}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$1 ( ${\displaystyle R}$( ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle u_{\mathrm{}}f}$0 - ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ t 0 )${\dot{u}_{0}=M^{-1}(R(t_{0})-C{0}{$0}-{$0}-f}(u_{0},t_{0$

For numerical analysis, the overall time domain ${\displaystyle [t_{0},t_{N}]}$ is divided into a series of time steps by ${\displaystyle t_{1}}$, ${\displaystyle t_{2}}$, ${\displaystyle \cdots }$, ${\displaystyle t_{k}}$, ${\displaystyle t_{k+1}}$, $$${\displaystyle \cdots }$. Taking the step ${\displaystyle [t_{k},t_{k+1}]}$ (${\displaystyle t_{k+1}-t_{k}=h}$ is the step size), the main concept of composite methods is to subdivide the current step to several sub-steps ${\displaystyle [t_{k$$}}$${\displaystyle {}_{}}$${k+\property_{1$${\displaystyle }$[${\displaystyle t_{}}$ k + ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$,${\displaystyle {{}_{}}_{}}$t ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle [t_{k+\propert_{1}, t_{k+\put _{$2}}], $\}$${\displaystystyle \cdots$ 각 하위 단계에서 서로 다른 숫자 방법을 사용한다.

사용할 수 있는 방법은 많지만, 검토를 참조하라,^[3] 기존의 복합 방법은 기본적으로 사다리꼴 규칙과 선형 다단계 방법의 조합을 사용한다.그러나 적어도 2차적 정확성과 무조건적인 안정성을 획득하기 위해서는 각 방법의 스칼라 매개변수와 하위 단계의 구분을 신중하게 결정할 필요가 있다.

복합 방법의 두 가지 예

2-sub-step Cath 방법

목욕법은 2단계의 방법이다.In the first sub-step ${\displaystyle [t_{k},t_{k+\gamma }]}$ (${\displaystyle t_{k+\gamma }-t_{k}=\gamma h}$, ${\displaystyle \gamma \in (0,1)}$), the trapezoidal rule is used as:

${\displaystyle u_{k+\properties }=u_{k}+{\frac {\property h}{2}}({\dot {u}_{k}+}{\dot {u}_{k+\pair}}}}}}}}}}$

${\dapstyle {\dot{u}_{k+}={\dot {u}_{k}+{\frac {\frac}{\dot {u}{k}+{\dot {u}_{k+}}}}}}}}}$

${\dddtyle M{{u}_{k+\gamma }+C{{k}_{k+\gamma }+f(u_{k+\gamma }}}}}=R(t_{k+\k+\gamma }}}}}}}}}}$

In the second sub-step ${\displaystyle [t_{k+\gamma },t_{k+1}]}$ (${\displaystyle t_{k+1}-t_{k+\gamma }=(1-\gamma )h}$), the 3-point Euler backward method is employed as

${\dot{u}_{k+1}={\frac {1-\pairs }{\frac {1-\pair }-{\frac {1}{{1-\pair }{k+\pair }}{\frac {2-\pair }}{{{h-{k+}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{k+}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\ddot {u}}_{k+1}={\frac {1-\gamma }{\gamma h}}{\dot {u}}_{k}-{\frac {1}{(1-\gamma )\gamma h}}{\dot {u}}_{k+\gamma }+{\frac {2-\gamma }{(1-\gamma )h}}{\dot {u}}_{k+1}}$

${\ddtyle M{\ddot{u}_{k+1}+C{\dot {u}_{k+1}+f(u_{k+1},t_{k+1}=R(t_{k+1})}$

비선형 역학의 경우, 즉, 내력 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에 대한 비선형 함수로$,$ 뉴턴-Raphson 반복을 사용하여 단계당 비선형 방정식을 해결할 수 있다.매개 변수 ${\displaystyle \gamma }$은(는) 실제로 $1{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$}2$}}$ 및 ${\displaystyle 2}$ - 2 ${\$로 설정된다$$.

목욕법은 2차 정확도가 높고 선형 분석부터 무조건 안정적이다.또한, 이 방법은 고주파 함량에 대해 강력한 수치적 분산을 제공할 수 있으며, 이는 경직된 구성요소를 축축하게 하고 비선형 역학의 안정성을 높이는 데 도움이 된다.

이를 근거로, 규정된 수적 소산 정도를 획득하기 위해 ${\$Bathe$$ 방법은 2차 하위 단계에서 3점 오일러 후진 방법을 일반 공식으로 대체하여 개발하였다.

${\displaystyle u_{k+1}=u_{k}+h(q_{0}{\dot {u}+q_{1}{\dot {u}}{{k+}}{{1}{k+}}}{}}}+q_{2}{dot {u}_{k+1}.$

${\dapstyle {\dot{u}_{k+1}={\dot {u}_{k}{0}{\dot {u}_{k}+q_{1}{\ddot {u}}{k+}{{k+}}}{{{k+}}}}}{\dot {}}}}}}}}}}}}}}$

${\ddtyle M{\ddot{u}_{k+1}+C{\dot {u}_{k+1}+f(u_{k+1},t_{k+1}=R(t_{k+1})}$

매개 변수를 권장 사항대로 선택

${\displaystyle \gamma ={\frac {2-{\sqrt {2(1+\rho _{\infty })}}}{1-\rho _{\infty }}}{\text{ if }}\rho _{\infty }\in [0,1);\gamma ={\frac {1}{2}}{\text{ if }}\rho _{\infty }=1}$

${\displaystyle q_{1}={\frac {\rho _{\infty }+1}{2\gamma (\rho _{\infty }-1)+4}},q_{0}=(\gamma -1)q_{1}+{\frac {1}{2}},q_{2}=-\gamma q_{1}+{\frac {1}{2}}}$

매개변수 집합으로 ${\$Bathe$$ 방식도 2차 정확도와 무조건적인 안정성을 얻을 수 있다.더욱이, 파라미터 ${\$을 조정함으로써$,$ 이 방법은 조정 가능한 수준의 수치 소산을 제공할 수 있다.더 $\{\$}}을(를) 가진 방법은 수적$$ 소산이 강하지만 저주파 함량에서는 정확도가 낮다.$\rho {\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \rho _{\infit }=0}$일 때$$$\gamma {\displaystyle }$= ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$- 2 ${\$= $2-{\sqrt{2}}:$ 원래의 목욕 방법과 동일하다$.$

3-하위 합성법

목욕법 아이디어에 이어 처음 두 하위 단계에서 사다리꼴 규칙을 사용하는 3 하위 단계 복합법도 논의됐다.^[7][8][9]They divides the current step into ${\displaystyle [t_{k},t_{k+\gamma _{1}}]}$, ${\displaystyle [t_{k+\gamma _{1}},t_{k+\gamma _{2}}]}$ and ${\displaystyle [t_{k+\gamma _{2}},t_{k+1}]}$, and generally, the first two sub-s${\displaystyle {teps}_{}}$는 size 2${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$$1}}$와 같은 크기로 설정된다. 처음 두 하위 단계에서는 사다리꼴 규칙이 사용된다.

${\displaystyle u_{k+\properties_{1}=u_{k}+{1}{1}h}{1}{1}:{1}2}}({\dot{u}_{k}}+{{u}}_{k+\pa _{1}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\dot{u}_{k+\i1}{1}={{1}}{{1}{{1}frac {\cH}{1}2}}({\ddot {u}}}}+{\dot {u}}}}{k+\dot {u}\i1}{1}{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{1}}}}}}}$

${\ddtyle M{\dot{u}_{k+\gamma_{1}+C{\dot{u}_{k+\gamma_{1}{1}+f(u_{k+\gamma_{1},t_{k+\gamma_{1})=R(t_{k+\g+\gma_{1})}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle u_{k+\properties_{2}}=u_{k+\pair_{1}{1}{1}{1}:{1}{prac {(\pair_{2}-\pair_{1}{k+\pair}{1}}}{1}+{k+\pa}}}}}}}}}$

${\dapstyle {\dot{u}_{k+\pair_{2}}={\dot{u}_{k+\pair_{1}{1}}{1}}{1}}}{1}}}{{{dot {u}-\pair_{1}}}}{{1}+}}}}}}{{{k+\pa}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\ddtyle M{{u}_{k+\gamma _{2}}+C{{\dot{u}}_{k+\gamma _{2}}+f(u_{k+\gamma _{2}}, t_{k+\gamma_{2})=R(t_{k+\gma_{2}})}}}}$

마지막 하위 단계에서는 일반 공식을 다음과 같이 활용한다.

${\displaystyle u_{k+1}=u_{k}+h(c_{0}{\dot{u}}{k}+c_{1)}}{\dot{u}_{k+\pair _{1}+c_{2}}}{\dot{u}_{k+\pair _{2}}+c_{3}}}{\dot {u}_{k+1}}$

${\dot스타일 {\dot{u}_{k+1}={\dot {u}_{k}{0}{\dot{u}_{k}+c_{1}{\dot {u}_{k+\c}{1}{1}{1}{1}{1}}}}{1}{1}@}}{1}{{{{{dot}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{}}{\dot{u}_{k+1}}$

${\ddtyle M{\ddot{u}_{k+1}+C{\dot {u}_{k+1}+f(u_{k+1},t_{k+1}=R(t_{k+1})}$

이 방법에 대해 Li et al.^[8]는 다음과 같이 두 가지 최적의 매개변수 집합을 제공했다.

${\displaystyle a={\frac {1}{2}}(1\pm \rho _{\infty }),c_{0}={\frac {-(a+1)\gamma _{1}^{2}+4\gamma _{1}-1}{4\gamma _{1}}},c_{1}={\frac {1+(a-1)\gamma _{1}}{2}},c_{2}={\frac {(1-a)\gamma _{1}^{2}-2\gamma _{1}+1}{4\gamma _{1}}},c_{3}={\frac {\gamma _{1}}{2}}}$

Here ${\displaystyle \gamma _{2}=2\gamma _{1}}$ is assumed, and ${\displaystyle \gamma _{1}}$ is the minimum value that satisfies ${\displaystyle 48(a-1)\gamma _{1}^{4}-32(a-5)\gamma _{1}^{3}-192\gamma _{1}^{2}+96$$\cHB _{1}-16\geq$ 0$\}.$

결과 2개의 하위 패밀리는 모두 2차 순서가 정확하고, 무조건 안정적이며,${\$을(를) 조정하여 조정 가능한 수치적 소산을 제공할 수 있다$.$$\rho {\displaystyle {}_{}0}$ =$$0 {\$displaystyle \rho$_{\$inflt$}=$0}$이(가)$$될 때 같아진다.언제 0<>ρ ∞<1{0<, \rho_{\infty\displaystyle}<a=12(1− ρ ∞){\displaystyle a={\frac{1}{2}}(1-\rho_{\infty})과 1}, sub-family} 같은 계산 비용 중인ρ ∞{\displaystyle \rho_{\infty}}-Bathe 방법보다 더 나은 진폭과 기간 정확 및 sub-fam을 보여 준다.로 ily${\displaystyle a}$= 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$( ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle$ a$={\frac {1}{1$}{2$}}(1+\rho _{\inflt }}})$ 더 낮은$$ 진폭 정확도의 비용으로 기간 정확도를 더욱 향상시킨다.

분석

구조 역학에서 특성 분석을 위한 시험 모델은 다음과 같이 자유도 동종 방정식이다.

${\ddotyle {\dot}+2\xi \omega {\dot {u}+\omega ^{2}u=0}$

여기서 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi$}은(는) 댐핑 비율이고 $\Omega {\displaystyle }${\$displaystyle \omega$}은(는) 자연 주파수 입니다$$.복합 방법을 테스트 모델에 적용하면 컴팩트한 스키마를 얻을 수 있다.

${\displaystyle X_{k+1}=AX_{k}}$

여기서 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$=${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\dot{}}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{¨}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle X_{k}=\{u_{k};{\dot{u}_{k}};{\ddot{u}_{k}\}\$$displaystyle$ A$}$는 진폭 행렬로, $이것$은 메서법의 속성을 지배한다$.$일반적으로 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) 0 특성 루트 1개와 한 쌍의 결합 복합 루트를 가지고 있는데$$,${\displaystyle {\mathrm{from1}}_{}}$, 2 ${\$개$$로부터 해결할 수 있다.

${\displaystyle \lambda ^{2}-A_{1}\lambda +A_{2}=0}$

여기서 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}은$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 흔적이고, $A$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 2차 주 미성년자의 합이다$.$그것들은 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi},$$\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \omega$ h$\}$의 함수이며, 방법의 매개변수들이다.

정확도

콤팩트한 구조에서 변위에 관한 차이 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle u_{k+1}-A_{1}u_{k}+A_{2}u_{k-1}=0}$

$로컬{\displaystyle }$ 잘라내기 오류 ${\displaystyle \sigma$}은$($는) 다음과 같이 정의됨$$

${\displaystyle \sigma =u(t_{k+1}-A_{1}u(t_{k})+A_{2}u(t_{k-1})}$

$이{\displaystyle }$ 방법을 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$정확한$$ 순서( if${\displaystyle }$= O${\displaystyle }$( ${\displaystyle h^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$) ${\displaystyle \sigma =O(h^{s+1})$라고 한다$.$

안정성

For physically stable systems (${\displaystyle \xi \geq 0}$, ${\displaystyle \omega \geq 0}$), the method can give stable solutions if the spectral radius ${\displaystyle \rho =\max\{ \lambda \}\leq 1}$. A method is called unconditionally stable if the condition ${\displaystyle \rh$$\leq 1}$은(는) 모든 h${\displaystyle }$≥ 0 ${\displaystyle h\geq 0}$에 대해 충족되며$,$ 그렇지 않으면 조건적으로 안정적이라고 한다.고주파수 한계치인 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$→ +$∞$에서 스펙트럼 반경을 $\rho {\displaystyle {}_{}}$ \ \ \ \ $\omega h\rightarrow +\infit$ $\}$로 표시하는데, which ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ∞ ${\$ $\}\}$로 표기하는데, 일반적으로 위에서 사용한 수치 소산 정도를 나타내기 위해 사용된다.

진폭 붕괴비 및 주기 신장비

정확도 순서와 더불어 진폭 붕괴비, 주기 신장비 등도 보통 평가하여 저주파 함량의 진폭과 주기 정확도를 측정한다.테스트 모델의 정확한 해결책은

${\displaystyle u(t)={\text{e}^{-\xi \omega t}(c_{1}\cos \omega _{d}}\sin \omega _{d}t),\omega _{d}=\sqrt{1-\xi ^{2}}:$

여기서 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개는 초기 조건에 의해 결정되는 상수다$$.숫자 해법은 다음과 같이 유사한 형태로도 표현할 수 있다.

${\displaystyle u_{k}={\text{e}}^{-{\overline {\xi }}{\overline {\omega }}t_{k}}({\overline {c}}_{1}\cos {\overline {\omega }}_{d}t_{k}+{\overline {c}}_{2}\sin {\overline {\omega }}_{d}t_{k}),{\overline {\omega }}_{d}={\overline {\omega }}{\sqrt {1-{\overline {\xi }}^{2}}}}$

$마찬가지$로 c${\displaystyle {\stackrel{}{\text{'}}}_{}}$ ${\$${1},$ $'$${\$$displaystyle{c}_{2$}}도 초기 조건에 따라 결정되며$$ c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle c_{}}$ 2${\$}}에 각각$$ 근접해야 수렴성 방법을 사용할 수 있다.댐핑 비율 ${\$ 및$$ 주파수 $\Omega {\displaystyle \stackrel{}{}}$${\displaystyle \omega }$${\$$displaystyle \lambda}$ 및 단계$$${\displaystyle \mathrm{}\mathrm{phase}}$ ${\displaysty \angle \lambda}$에서 얻을^[10] 수 있다$$$.$

${\displaystyle {\overline {\xi }}=-{\frac {\ln \lambda }{\sqrt {(\angle \lambda )^{2}+(\ln \lambda )^{2}}}},{\overline {\omega }}={\frac {\sqrt {(\angle \lambda )^{2}+(\ln \lambda )^{2}}}{h}}}$

여기서 ${\$은(는) 진폭 붕괴비라고 불리며$$${\displaystyle \frac{,}{}}$ $T$의${\displaystyle \frac{\stackrel{}{}}{}}$- T ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$}{{\overline}-T$}{$$T}}}($${\displaystyle \stackrel{}{}}$π = ${\displaystyle \frac{\stackrel{}{}}{}}$ Ω${\displaystyle \frac{}{}T}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{2\omega }}{}}$ {\$displaystyle {\overline{T}={\frac$ {$2\pi}}{\overline{\opega }}}}},$T={\$frac {2\$pi$}{\omega$는 $기간$ 신장비라고 불린다.

예

목욕 방법 고려, ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$} 및 $A$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}: 형식은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle A_{1}={\frac {2(\gamma ^{4}-4\gamma ^{3}+6\gamma ^{2}-4)\omega ^{2}h^{2}+8(\gamma -2)^{2}}{(\gamma ^{2}\omega ^{2}h^{2}+4)((\gamma -1)^{2}\omega ^{2}h^{2}+(\gamma -2)^{2})}}}$

${\displaystyle A_{2}={\frac {(\gamma ^{4}-4\gamma ^{3}+8\gamma ^{2}-8\gamma +4)\omega ^{2}h^{2}+4(\gamma -2)^{2}}{(\gamma ^{2}\omega ^{2}h^{2}+4)((\gamma -1)^{2}\omega ^{2}h^{2}+(\gamma -2)^{2})}}}$

$여기$서는 단순성을 위해${\displaystyle }${$$= 0 {\$displaystyle \$ =$0}$과$($와) 같은 미답변형을 고려한다.이 방법이 2차 정확도와 무조건적인 안정성의 조건을 충족시킬 수 있는지 확인할 수 있다.$\gamma {\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\${1$$$}{2}}:}$ $및{\displaystyle \mathrm{}2\sqrt{\mathrm{}}}$ - 2$${\$displaystyle 2-{\sqrt{2$의 경우 스펙트럼 반경, 진폭 붕괴비 및 주기 신장비를 여기에 나타낸다.이 방법은 고주파 함량에서${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}\rho {\displaystyle {}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}0}$ ${\displaystyle \rho_{\inflit }=0$과 같이 강력한 수치 소멸을 하는 동안 저주파 함량에서 좋은 진폭과 주기 정확도를 제공할 수 있음을 관찰할 수 있다.

참고 항목

• 룬게쿠타법
• 룬게-쿠타 방법 목록
• 수치일반미분방정식
• 선형 다단계 방법
• 리 그룹 통합자

참조