콤팩트 스텐실

8개의 인접 노드와 중앙 노드(빨간색)를 모두 사용하는 2D 콤팩트 스텐실.

수학에서 특히 숫자 부분 미분방정식이라 불리는 수치해석 영역에서 콤팩트 스텐실은 2차원의 탈부착 방식으로 9개 노드만 사용하는 스텐실 유형이다.중앙 노드와 인접 노드만 사용한다.1, 2 또는 3차원의 콤팩트 스텐실을 이용하는 구조화된 그리드의 경우 최대 노드 수는 각각 3, 9 또는 27이다.콤팩트한 스텐실은 비 컴팩트 스텐실과 비교될 수 있다.콤팩트 스텐실은 CFD, FEA, 그리고 PDE와 관련된 다른 수학적 해결사의 주제에 있는 여러 가지 것을 포함하여, 현재 많은 부분 미분 방정식 해결기에 구현되어 있다.^[1]^[2]

투 포인트 스텐실 예제

함수의 첫 번째 파생상품에 대한 2개의 점 스텐실은 다음과 같다.

$f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ ( $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ ) $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ = f $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ ( $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ + $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ ) $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ - $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ ( $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ - $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ ) $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ h $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ + $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ ( $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ $f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$ ) ${\$ f $'(x_{0}+h\$ right $)={\f\$ f\f $\좌(x_{0}+h\right)}{2h+O\좌(h^{2$

이는 Taylor 시리즈에서 얻은 기능 중 첫 번째 파생상품의 확장이다.

${\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})$ $}}{h}-{\frac {f^{f^{(2)}(x_{0}){2!$ $}}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0}){3!$ $}}}h^{2}-{\frac {f^{(4)}(x_{0}){4!$ $}}}h^{3}+\cdots \end{array$

$-h$ $h$ 을 $-h$ 를) - h ${\displaystyle -h}($ 으 $-h$ 로 $h$ 대체하면 다음과 같은 이점이 있다.

${\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x_{0})=-{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})$ $}}{h}+{\frac {f^{f^{(2)}(x_{0}){2!$ $}}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0}){3!$ $}}}h^{2}+{\frac {f^{(4)}(x_{0}){4!$ $}}}h^{3}+\cdots \end{array$

위의 두 방정식을 함께 추가하면 $h$ ${\displaystyle$ h $h$

${\displaystyle {\begin{array}{l}2f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})$ $}}{h}-{\frac {f\left(x_{0}-h\오른쪽)-f(x_{$ $}}{h}-2{\frac {f^{(3)}(x_{0}){3}{$ $}}}h^{2}+\cdots \end{array$

${\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!$ $}}}h^{2}+\cdots \end{array$

${\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)\end{array}}$ .

3점 스텐실 예제

예를 들어, 함수의 두 번째 파생상품에 대한 3점 스텐실은 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle {\begin{array}{l}f^{(2)}(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)+f\left(x_{0}-h\right)-2f(x_{0})$ $}}{h^{2}}+O\왼쪽(h^{2}\오른쪽)\end{array$

이는 Taylor 시리즈에서 얻은 기능 중 첫 번째 파생상품의 확장이다.

${\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})$ $}}{h}-{\frac {f^{f^{(2)}(x_{0}){2!$ $}}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0}){3!$ $}}}h^{2}-{\frac {f^{(4)}(x_{0}){4!$ $}}}h^{3}+\cdots \end{array$

$-h$ $h$ 을 $-h$ 를) - h ${\displaystyle -h}($ 으 $-h$ 로 $h$ 대체하면 다음과 같은 이점이 있다.

${\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x_{0})=-{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})$ $}}{h}+{\frac {f^{f^{(2)}(x_{0}){2!$ $}}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0}){3!$ $}}}h^{2}+{\frac {f^{(4)}(x_{0}){4!$ $}}}h^{3}+\cdots \end{array$

$h$ 의 두 방정식을 빼면 h $h$ : ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ = ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ ( ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ + ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ ) ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ - ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ ( x ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ ) h ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ + ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ ( ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ 0 ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ - ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ ) ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ - f ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ ( ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ 0 ) ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ - ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ - ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ ( ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ ) ( x 0 ) ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ ! ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ - 2 ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ f ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ ( ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ ) ( ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ ) ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ + ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$ {\displaystystylevelope ${}$ 의 고른 용어가 취소된다. $\cHB{l}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\오른쪽)-f(x_{$ $}}{h}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})$ $}}{h}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0}){2!$ $}}}{}h-2{\frac {f^{f^}{(4)}(x_{0}){4!$ $}}}h^{3}+\cdots \end{array$

${\displaystyle {\begin{array}{l}f^{(2)}(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)+f\left(x_{0}-h\right)-2f(x_{0})$ $}}{h^{2}}-{\frac {f^{f^{(4)}(x_{0}){4}{4!$ $}}}h^{2}+\cdots \end{array$

${\displaystyle {\begin{array}{l}f^{(2)}(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)+f\left(x_{0}-h\right)-2f(x_{0})$ $}}{h^{2}}+O\왼쪽(h^{2}\오른쪽)\end{array$

참고 항목

참조

^ W. F. 스팟츠컴퓨터 역학을 위한 고차적 컴팩트 유한 차이 체계.박사학위 논문, 텍사스 대학교 오스틴, TX, 오스틴, 오스틴, 1995.

[1] W. F. 스팟츠컴퓨터 역학을 위한 고차적 컴팩트 유한 차이 체계.박사학위 논문, 텍사스 대학교 오스틴, TX, 오스틴, 오스틴, 1995.

[2] 엔지니어링, 저작권에서의 수치적 방법에 관한 커뮤니케이션 2008년 © 존 와일리 & 선스 주식회사

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