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수학 생물학에서 공동체 행렬은 평형점에서 로트카-볼테라 방정식의 선형화다.공동체 행렬의 고유값은 평형점의 안정성을 결정한다.

로트카-볼테라 포식자-프리 모델은

${\displaystyle {\cHB{array}{rcl}{\dfrac {dx}&x(\dt}\x(\flict -\flict y)\\\\dfrac {dy}{dy}&=&-y(\dvmx -\end{array}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}).$

여기서 x(t)는 먹이의 수를 나타내고 y(t) 포식자의 수를 나타내며 α, β, β, Δ는 상수다.하트만-그로브만 정리(Hartman-Grobman 정리)에 의해 비선형 시스템은 형태인 평형점(x*, y*)에 대한 시스템의 선형화와 토폴로지적으로 동등하다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{du}}{dt}\\\\\\frac {dv}{dv}}\end{bmatrix}}=\mathbf {A}{\begin}u\v\end{bmatrix},},},}$

여기서 u = x - x* 및 v = y - y*.수학 생물학에서는 평형점(x*, y*)에서 평가한$$ 자코비안 $행렬{\displaystyle \mathbf{}}$ A ${\$를) 공동체 행렬이라고 한다.^[1]안정적인 다지관 정리에 의해, $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 하나 또는 둘 다의 고유값이 양의 실제 부분을 가지면$$ 평형이 불안정하지만, 모든 고유값이 음의 실제 부분을 가지면 안정적이다.

참고 항목

• 농축의 역설

참조

• Murray, James D. (2002), Mathematical Biology I. An Introduction, Interdisciplinary Applied Mathematics, vol. 17 (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95223-9.

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