일관성 조건

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수학, 특히 범주 이론에서 일관성 조건은 기초 형태론의 다양한 구성이 동일해야 하는 조건들의 집합이다.일반적으로 기본적인 형태는 범주의 데이터의 일부분이다.일관성 정리는 이러한 모든 동일성이 유지된다는 것을 확신하기 위해 소수의 신원을 확인하는 것으로 충분하다고 말한다.

예시 사례: 단일 범주

단면체 범주의 데이터의 일부는 선택된 형태론 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {A,}_{}}$ ${\displaystyle {B,}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\$이며$,$ 이를 연관자라고 한다.

$\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon (A\otimes B)\otimes C\hrow A\otimes (B\otimes C)}$

범주 내 개체$$ $A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle$ A$,B,C}$의 각 세 개에 대해.이러한 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$, ${\displaystyle B_{}}$, ${\displaystyle C_{}}$ ${\$의 구성을 이용하여 형태론을 구성할 수 있다$.$

${\displaystyle ((A_{N}\otimes A_{N-1})\otimes A_{N-2})\otimes \cdots \otimes A_{1})\rightarrow (A_{N}\otimes (A_{N-1}\otimes \cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})).}$

실제로 다양한 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {A,}_{}}$ ${\displaystyle {B,}_{}}$ C ${\$의 구성으로서 이러한 형태론을 구성하는 방법에는 여러 가지가 있다$.$ 일반적으로 부과되는 한 가지 일관성 조건은 이러한 구성이 모두 동등하다는 것이다.

일반적으로 하나는 일관성 정리를 사용하여 일관성 조건을 증명하는데, 이 정리는 나머지 구성도 유지한다는 것을 보여주기 위해 몇 개의 균등성만 확인하면 된다는 것이다.위의 예에서는 물체 $A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A,B,C,D}$의 모든 4배에서 다음 도표가 통근하는지 확인하기만 하면 된다$.$

Any pair of morphisms from ${\displaystyle ((\cdots (A_{N}\otimes A_{N-1})\otimes \cdots )\otimes A_{2})\otimes A_{1})}$ to ${\displaystyle (A_{N}\otimes (A_{N-1}\otimes (\cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})\cdots ))$다양한 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {A,}_{}}$ ${\displaystyle {B,}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\$의 합성물로 구성된$$ $}$은(는) 동일하다$$.

추가 예

그 정의를 설명하는 두 가지 간단한 예는 다음과 같다.둘 다 범주의 정의에서 직접 나온 것이다.

아이덴티티

f : A → B는 두 개의 물체 A와 B를 포함하는 범주의 형태론이다.이러한 물체와 연관된 것은 정체성 형태 1_A : A → A 및 1 : B_B → B. f. 이들을 f로 구성함으로써 우리는 다음과 같은 두 가지 형태를 구성한다.

f o 1_A : A → B, 그리고

1_B o f : A → B

둘 다 f와 같은 물체 사이의 형태다.이에 따라 우리는 다음과 같은 일관성을 가지고 있다.

f o 1_A = f = 1_B o f.

구성 연관성

f : A → B, g : B → C, h : C → D는 물체 A, B, C, D를 포함하는 범주의 형태론이다.반복적인 구성에 의해, 우리는 A에서 D까지의 형태론을 다음과 같은 두 가지 방법으로 구성할 수 있다.

(h o g) o f : A → D

h o (g o f) : A → D.

우리는 이제 다음과 같은 일관성을 가지고 있다.

(h o g) o f = h o (g o f)

이 두 가지 특정한 예에서 일관성 진술은 공리에서 직접 따르기 때문에 추상적인 범주의 경우에 대한 이론이다. 사실 그것들은 공리들이다.구체적인 수학적 구조의 경우, 그것들은 조건, 즉 고려 중인 수학적 구조가 구체적인 범주가 되기 위한 요건, 그러한 구조가 충족되거나 충족되지 않을 수 있는 요건이라고 볼 수 있다.

참조

• 맥 레인, 선더스(1971)작업 중인 수학자의 범주.Springer-Verlag 수학 교과목.특히 7장 2절.