체비셰프 편향

n ≤ 30000에 대한

\pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)

함수

\pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)

;

\pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)

,

\pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)

) -

\pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)

;

\pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)

,

\pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)

)

\displaystyle \pi(x;4,3)-\pi(x;4,1

)의 그림

수 이론에서 체비셰프의 편향은 대부분 같은 한계까지 4k+1형보다 4k+3형식의 프리마임이 더 많은 현상이다.이러한 현상은 1853년 체비셰프에 의해 처음 관찰되었다.

설명

π(x; n, m)은 nk + m ~ x 형식의 소수점을 나타낸다. 소수 정리(산술 수열로 확장)로,

\pi (x;4,1)\sim \pi (x;4,3)\sim {\frac {1}{1}:{2}}: {\frac {x}{\log x}}}.

즉 프리임의 절반은 4k + 1형식이고, 절반은 4k + 3형식이다. 합리적인 추측은 π(x; 4, 1) > π(x; 4, 3)과 π(x; 4, 1) < π(x; 4, 3)도 각각 50%씩 발생한다는 것이다.그러나 이것은 수치적 증거에 의해 뒷받침되지 않는다 —사실 >(x; 4, 3) > π(x; 4, 1)은 훨씬 더 자주 발생한다.예를 들어, 이 불평등은 5, 17, 41 및 461을 제외한 모든 소수 x < 26833에 대해 유지되며, 이 경우 π(x; 4, 1) = π(x; 4, 3)에 해당한다.prime(x; 4, 1) > π(x; 4, 3)이 26861인 제1 프라임 x는 모든 프라임 x < 26861>에 대하여 <(x; 4, 3) ≥(x; 4, 1)이 된다.

일반적으로 0 < a, b < n은 정수, GCD(a, n) = GCD(b, n) = 1, a는 2차적 잔류 modn, b는 2차적 비레시듀 modn인 경우, x(x, n, b) > n(x; n, a)은 이보다 더 자주 발생한다.이것은 리만 가설이 강한 형태를 가정함으로써만 증명되었다.π(x; 4, 3) > π(x; 4, 1)이 잡는 숫자 x의 밀도가 1(즉, 거의 모든 x를 지탱한다)이라는 더 강한 추측이 거짓으로 드러났다.그러나 그들은 대략 0.9959....의 로그 밀도를 가지고 있다.^[1]

일반화

이러한 q은 상당한(kq)을∑ q≤ p,;0{\displaystyle \sum_{q\leqp,\ q\{\text{총리는}}}\left({\frac{k}{q}}\right)&gt에 k=−4 가장 작은 소수 p를 찾기 위해 이 휴대폰은 주어진 영이 아닌 정수 k에 0}(어디(mn){\displaystyle \left({\frac{m}{n}}\right)}은 크로네커 기호)그러나,(지 않을 것 같다.ly k=-4) 또한 이 조건을 만족시키는 가장 작은 prime p를 찾을 수 있다.소수 정리에 의해, 0이 아닌 정수 k마다, 이 조건을 만족하는 소수들이 무한히 많다.

양의 정수 k = 1, 2, 3, ...의 경우 가장 작은 p는

2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... (OEIS: A306499 is a subsequence, for k = 1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33, 37, 40, 41, 44, 53, 56, 57, 60, 61, ...OEIS: A003658)

음의 정수 k = -1, -2, -3, ...의 경우 가장 작은 p는

2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... (OEIS: A306500 is a subsequence, for k = −3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31, −35, −39, −40, −43, −47, −51, −52, −55, −56, −59, ...OEIS: A003657)

매 (양수 또는 음수) 비쿼어 정수 k의 경우 $\left({\frac {k}{p}}\right)=1$ $\left({\frac {k}{p}}\right)=-1$ $\left({\frac {k}{p}}\right)=-1$ ) $\left({\frac {k}{p}}\right)=-1$ = $\left({\frac {k}{p}}\right)=-1$ - $\left({\frac {k}{p}}\right)=-1$ ${\displaystyle \left({\frac {k}{p}}}\오른쪽$ )=-1 $(k$ )이 ( $\left({\frac {k}{p}}\right)=1$ ) $\left({\frac {k}{p}}\right)=1$ = $\left({\frac {k}{p}}\right)=1$ ${\displaystyle \left({\p}}}\rig)=1}($ 동일한 한계까지)가 더 많다.리만 가설의 강한 형태가 사실이라면.

더 높은 전력 잔류물로 연장

m와 엔 정수가 m≥0, n>0, GCD(m, n)=1, 기능'을 정의하 f(m, n))∑ p황금, p∣ ϕ(n), 음 p≡ m(nmod)이 있는 해결책(1p){\displaystyle f(m,n)=\sum_{p\{\text{은}}){\text{총리}},\p\mid \phi(n),\ x^{p}\equiv m(n\mod){\text{ 해결책을 가지고 있}}}\left({\frac{1}{p}}\righ자.t=} $f(m,n)=\sum _{p\ {\text{is}}\ {\text{prime}},\ p\mid \phi (n),\ x^{p}\equiv m(\mod n){\text{has a solution}}}\left({\frac {1}{p}}\right)$ , 여기서 $\phi$ $\pi$ 은 $\phi$ (는) 오일러의 토털 함수다.

For example, f(1, 5) = f(4, 5) = 1/2, f(2, 5) = f(3, 5) = 0, f(1, 6) = 1/2, f(5, 6) = 0, f(1, 7) = 5/6, f(2, 7) = f(4, 7) = 1/2, f(3, 7) = f(5, 7) = 0, f(6, 7) = 1/3, f(1, 8) = 1/2, f(3, 8) = f(5, 8) = f(7, 8) = 0, f(1, 9) = 5/6, f(2, 9) = f(5, 9) = 0, f(4, 9) = f(7, 9) = 1/2, f(8, 9) = 1/3.

0 < a, b < n이 정수인 경우, GCD(a, n) = 1, f(a, n) > f(b, n) > f(b, n) > x(x; n) > ((x; n, a)이 자주 발생하는 것으로 추측된다.

참조

^ (Rubinstein—Sarnak, 1994)

P.L. 체비셰프: 레트레 드 M. 르 트셰비체프 교수호들갑스런 수르 누보 테오렘 상대성 보조 수상 콘테누스 레스 폼 4n + 1 et 4n + 3, Bull. 클라스 피스 아카드. imf. sci. 상트페테르부르크, 11 (1853년), 208년
Granville, Andrew; Martin, Greg (2006). "Prime number races". Amer. Math. Monthly. 113 (1): 1–33. doi:10.1080/00029890.2006.11920275. JSTOR 27641834. S2CID 3846453.
J. Kaczorowski:프라임 분포에 대하여(모드 4) 분석, 15 (1995), 159–171.
S. Knapowski, Turan: 비교 소수 이론, I, Acta Math. 아카드. 공상과학. 흥, 13 (1962년), 299–314.
Rubinstein, M.; Sarnak, P. (1994). "Chebyshev's bias". Experimental Mathematics. 3 (3): 173–197. doi:10.1080/10586458.1994.10504289.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Chebyshev Bias". MathWorld.
(OEIS에서 시퀀스 A007350)(4n+1 대 4n+3으로 선두가 바뀌는 경우)
(OEIS에서 시퀀스 A007352)(프라임 레이스 3n+1 대 3n+2가 리더를 바꾸는 경우)

[1] (Rubinstein—Sarnak, 1994)

[1]

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