점근성 동질화

수학과 물리학에서 균질화는 다음과 ^[1]^[2]^[3]같이 급속하게 진동하는 계수를 갖는 부분 미분 방정식을 연구하는 방법이다.

\nabla \cdot \left(A\frac {\vec}{\epsilon }}\right)\nabla u_{\epsilon }\right)=f

where $\epsilon$ is a very small parameter and $A\left({\vec {y}}\right)$ is a 1-periodic coefficient: ${\displaystyle A\left({\vec {y}}+{\vec {e}}_{i}\right)=$ $A\왼쪽({\vec {y}\오른쪽)$ , i $i=1,\dots ,n$ = 1 , $i=1,\dots ,n$ $i=1,\dots,n$ .

이러한 유형의 방정식이 이질적 또는 이질적 물질의 물리학을 지배하기 때문에 이러한 방정식의 연구는 물리학과 공학에서도 매우 중요한 것으로 밝혀졌다.물론 어느 정도 규모에서는 모든 물질이 비균형이지만, 흔히 균질하게 취급하는 것이 편리하다.좋은 예는 연속체 역학에서 사용되는 연속체 개념이다.이 가정 하에서 유체, 고체 등과 같은 물질은 균질 재료로 취급될 수 있으며 이러한 물질과 관련된 물질은 전단 계수, 탄성 모듈리 등과 같은 물질적 특성이다.

흔히 비균종 재료(복합재료 등)는 미세구조를 가지고 있어 미세구조물의 특성 길이 척도보다 훨씬 큰 길이 척도에 따라 달라지는 하중이나 강제력을 받는다.이런 상황에서는 흔히 위의 방정식을 형식의 방정식으로 대체할 수 있다.

\displaystyle \nabla \cdot \left(A^{*}\nabla u\오른쪽)=f}

여기서 $∗{\$ 는 일정한 텐서 계수로서 $A^{*}$ 해당 물질과 관련된 유효성으로 알려져 있다.다음과 같이 명시적으로 계산할 수 있다.

A_{ij}^{*}=\int _{(0,1)^{n}}A({\vec {y}})\left(\nabla w_{j}({\vec {y}})+{\vec {e}}_{j}\right)\cdot {\vec {e}}_{i}\,dy_{1}\dots dy_{n},\qquad i,j=1,\dots ,n

$w_{j}$ $({\$

\nabla _{y}\cdot \left(A({\vec {y}})\nabla w_{j}\오른쪽)=-\nabla _{y}\cdot \left(A({\vec{y}}}{vec}}}}}}}\j}\오른쪽).

고진동계수를 갖는 방정식을 동질(균일)계수를 갖는 방정식으로 대체하는 과정을 균질화라고 한다.이 주제는 바로 이런 이유로 마이크로메카닉의 주제와 불가분의 관계에 있다.

동질화에서 $u_{\epsilon }\approx u$ $u_{\epsilon }\approx u$ $u_{\epsilon }\approx u$ u {\ $displaystyle u_{\epsilon$ }\ $관련$ $u$ $}$ 이(가) 충분히 작은 $\epsilon$ ${\$ $displaystyle$ $\epsilon$ $\epsilon$ 에 대해 $\epsilon \to 0$ → $u_{\epsilon }\to u$ → $u_{\epsilon }\to u$ $\epsilon \to 0$ → $\epsilon \to 0$ 으로 적절한 $\epsilon \to 0$ 규범에 따라 $u_{\epsilon }\to u$ 하나의 $u_{\epsilon }\to u$ 방정식이 다른 $방정식$ 으로 대체된다 $\epsilon \to 0$

따라서 위의 결과, 균질화는 미세구조를 가진 물질에 대한 연속체 개념의 확장으로 볼 수 있다.연속체 개념에서 미분 원소의 아날로그(그 물질을 대표할 수 있는 충분한 원자 또는 분자 구조를 포함한다)는 동질화와 마이크로메카닉에서 "대표 볼륨 요소"^[4]로 알려져 있다.이 요소에는 물질을 대표할 수 있도록 비균형 매체에 대한 통계 정보가 충분히 포함되어 있다.따라서 이 요소에 대한 평균은 위의 $A^{*}$ $∗{\$ 와 같은 유효 특성을 제공한다.

균질화 이론의^[1]^[2]^[3] 고전적 결과는 주기적 계수를 갖는 부분 미분 방정식에 의해 모델링된 주기적 미세 구조를 가진 매체에 대해 얻어졌다.이러한 결과는 나중에 공간의 모든 지점에서 통계적 특성이 동일한 무작위 계수를 갖는 미분방정식에 의해 모델링된 공간적으로 균일한 무작위 매체로 일반화되었다.^[5]^[6]실제로 많은 애플리케이션은 주기적이거나 통계적으로 동질적이지 않은 보다 일반적인 모델링 방법을 요구한다.이를 위해 균질화 이론의 방법은 계수가 주기적이지도 통계적으로 동질적이지도 않은 부분 미분 방정식(일명 임의의 거친 계수)으로 확장되었다.^[7]^[8]

점근성 균질화 방법

수학적인 동질화 이론은 프랑스, 러시아, 이탈리아 학교들로 거슬러 올라간다.^[1]^[2]^[3]^[9]점증식 균질화 방법은 빠른 ${\vec {y}}={\vec {x}}/\epsilon$ ${\vec {y}}={\vec {x}}/\epsilon$ → ${\vec {y}}={\vec {x}}/\epsilon$ = x ${\vec {y}}={\vec {x}}/\epsilon$ → / ${\vec{y}}={\vec{x}/\epsilon }}$ 을(를) 도입하고 ${\vec {y}}={\vec {x}}/\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ 로 정식 확장을 하는 방식으로 진행된다.

u_{\epsilon }({\vec {x}})=u({\vec {x}},{\vec {y}})=u_{0}({\vec {x}},{\vec {y}})+\epsilon u_{1}({\vec {x}},{\vec {y}})+\epsilon ^{2}u_{2}({\vec {x}},{\vec {y}})+O(\epsilon ^{3})\,

문제의 계층 구조를 생성해 내는 겁니다.균질화 방정식을 얻어 유효 계수는 함수 $u_{1}({\vec {x}},{\vec {x}}/\epsilon )$ 1 $u_{1}({\vec {x}},{\vec {x}}/\epsilon )$ → $u_{1}({\vec {x}},{\vec {x}}/\epsilon )$ , x $u_{1}({\vec {x}},{\vec {x}}/\epsilon )$ → / $u_{1}({\vec {x}},{\vec {x}}/\epsilon )$ ) $u_{1}({\vec {x},{\vec {x}/\epsilon )$ 에 대한 소위 "세포 문제"를 풀어서 결정된다 $u_{1}({\vec {x}},{\vec {x}}/\epsilon )$

참고 항목

메모들

^ ^a ^b ^c Sanchez-Palencia, E. (1980). Non-homogeneous media and vibration theory. Lecture Notes in Physics. Vol. 127. Springer Verlag. doi:10.1007/3-540-10000-8. ISBN 978-3-540-10000-3.
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참조

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Oleinik, O.A.; Shamaev, A.S.; Yosifian, G.A. (1991), Mathematical problems in elasticity and homogenization, Studies in Mathematics and its Applications, vol. 26, Amsterdam - London - New York City - Tokyo: North-Holland, ISBN 0-444-88441-6, Zbl 0768.73003
Hornung, Ulrich (Ed.). (1997), Homogenization and Porous Media, Interdisciplinary Applied Mathematics, vol. 6, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1920-0, ISBN 978-1-4612-7339-4
Bakhvalov, N. S.; Panasenko, G. P. (1984), Averaging of Processes in Periodic Media (English translation: Kluwer,1989), Moscow: Nauka, Zbl 0607.73009
Braides, A.; Defranceschi, A. (1998), Homogenization of Multiple Integrals, Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-198-50246-3

[S-P-1] Sanchez-Palencia, E. (1980). Non-homogeneous media and vibration theory. Lecture Notes in Physics. Vol. 127. Springer Verlag. doi:10.1007/3-540-10000-8. ISBN 978-3-540-10000-3.

[B-P-2] Bakhvalov, N.; Panasenko, G. (1989). Homogenisation: Averaging Processes in Periodic Media. Mathematics and its Applications. Dordrecht: Kluwer. doi:10.1007/978-94-009-2247-1. ISBN 978-94-010-7506-0.

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[5] Kozlov, S.M. (1979). "Homogenization of Random Operators". Mat. Sbornik. 109 (151): 188–202. (영어 번역:수학. USSR, Sb. 37:2, 1980, 페이지 167-180)

[6] Papanicolaou, G. C.; Varadhan, S.R. (1981). "Boundary Value Problems with Rapidly Oscillating Coefficients" (PDF). Seria Colloq. Math. Society Janos Bolyai. Amsterdam. 27: 835–873.

[7] Berlyand, L.; Owhadi, H. (November 2010). "Flux Norm Approach to Finite Dimensional Homogenization Approximations with Non-Separated Scales and High Contrast". Archive for Rational Mechanics and Analysis. 198 (2): 677–721. arXiv:0901.1463. Bibcode:2010ArRMA.198..677B. doi:10.1007/s00205-010-0302-1.

[8] Målqvist, A.; Peterseim, D. (2014). "Localization of elliptic multiscale problems". Mathematics of Computation. 83 (290): 2583–2603. doi:10.1090/S0025-5718-2014-02868-8.

[9] Dal Maso, G. (1993). An Introduction to Γ-Convergence. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. Birkhauser. doi:10.1007/978-1-4612-0327-8. ISBN 9780817636791.

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