대수기하학 부호

대수기하학 코드, 종종 줄여서 AG 코드는 리드-솔로몬 코드를 일반화하는 선형 코드의 한 유형입니다.러시아 수학자 V.D. Goppa는 1982년에^[1] 처음으로 이 코드들을 만들었습니다.

역사

이 코드들의 이름은 그것들을 설명하는 Goppa의 논문이 출판된 이후로 발전해 왔습니다.역사적으로 이 코드들은 기하학적인 Goppa^[2] 코드라고도 불렸지만, 이것은 더 이상 코딩 이론 문헌에서 사용되는 표준 용어가 아닙니다.이것은 Goppa 코드가 1970년대^[3]^[4]^[5] 초에 Goppa에 의해 구성된 별개의 코드 클래스이기 때문입니다.

이 코드들은 길버트-바르샤모프 경계를 능가하는 능력을 가지고 있기 때문에 코딩 이론 공동체에 관심을 갖게 되었습니다; 이것이 발견되었을 때, 길버트-바르샤모프 경계는 그것의 발견^[6] 이후 30년 동안 깨지지 않았습니다.이것은 Tfasman, Vladut 및 Zink에 의해 그들의 논문 "Varshamov-Gilbert ^[7]bound보다 나은 모듈 곡선, 시무라 곡선 및 Goppa 코드"에서 코드 구성이 출판된 같은 해에 입증되었습니다.이 논문의 이름은 1980년대와 1990년대 코딩 이론 문헌 전반에 걸쳐 대수 기하학 코드에 대한 참조에 영향을 미치는 혼란의 한 원인일 수 있습니다.

시공

이 섹션에서는 대수 기하학 코드의 구성에 대해 설명합니다.이 섹션은 대수 기하학 코드의 구성에 동기를 부여하는 데 사용되는 리드-솔로몬 코드 뒤의 아이디어로 시작합니다.

리드솔로몬 코드

대수 기하학 코드는 리드 솔로몬 코드의 일반화입니다.1960년 어빙 리드와 구스타브 솔로몬이 구성한 리드-솔로몬 코드는 유한 $\mathbb {F} _{q}$ $\mathbb {F} _{q}$ \ $displaystyle \mathbb {F}_{q$ ^[8]의 지점에서 충분히 작은 정도의 다항식을 평가하여 일변량 다항식을 사용하여 코드 워드를 형성합니다.

공식적으로 리드-솔로몬 코드는 다음과 같이 정의됩니다. $\mathbb {F} _{q}=\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{q}\}$ $=$ { $\mathbb {F} _{q}=\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{q}\}$ $\mathbb {F} _{q}=\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{q}\}$ $}{displaystyle \mathbb {F}_{q$ }=\{\ $alpha_{1},\alpha_{q$ 를 $\mathbb {F} _{q}=\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{q}\}$ 합니다. 양의 $k\leq n\leq q$ k ≤ n $k\leq n\leq q$ ≤ $k\leq n\leq q$ {\ $displaystyle$ k $\leq$ n $\leq$

\mathbb {F} _{q}[x]_{<k}:=\left\{f\in \mathbb {F}_{q}[x]:\filename f<k\right\}

리드-솔로몬

RS(q,n,k)

RS

q

,

,k)

는

RS(q,n,k)

평가

코드입니다.

RS(q,n,k)=\left\{\left(f(\alpha_{1}), f(\alpha_{2}), f(\alpha_{n})\right):f\in \mathbb{F}_{q}[x]_{<k}\right\}\subseteq \mathbb {F}_{q}^{n}.

대수 곡선 코드

Goppa는 $\mathbb {F} _{q}$ {\ $displaystyle \mathbb {F}$ _ ${q}}$ 를 $\mathbb {F} _{q}$ 해당 투영 선 $\mathbb {P} _{\mathbb {F} _{q}}^{1}$ $\mathbb {P} _{\mathbb {F} _{q}}^{1}$ 1 ${\$ 과 함께 아핀 선으로 간주할 수 있음을 $\mathbb {F} _{q}$ 했습니다.그렇다면, $\mathbb {F} _{q}[x]_{<k}$ $\mathbb {F} _{q}[x]_{<k}$ < $\mathbb {F} _{q}[x]_{<k}$ \ $displaystyle \mathbb {F}$ _ ${q}[x]_$ 의 다항식 ${<k}}($ $,$ $Fq$ 에 $\mathbb {F} _{q}$ k ${displaystyle$ $\mathbb {F} _{q}$ k $}$ 보다 $k$ $작은$ 정도의 다항식은 $\mathbb {P} _{\mathbb {F} _{q}}^{1}$ \ $mathbb {F}_{q}^{$ ^[6]의 무한대 지점에서 k ${displaystyle$ $\mathbb {P} _{\mathbb {F} _{q}}^{1}$ k $}$ $k$ 의 $k$ 극 허용 오차를 갖는 다항식으로 생각할 수 있습니다.

이 아이디어를 염두에 두고, Goppa는 리만-로흐 정리를 바라보았습니다.리만-로흐 공간의 요소는 정확하게 주어진 임계값^[9] 아래에서 제한된 극 순서를 가진 함수이며, 제한은 해당 지수의 계수로 인코딩됩니다. $({$ $\mathbb {F} _{q}$ 의 대수 $곡선$ X $(즉$ , $곡선$ X({ $displaystyle$ X $X$ 위의 $({$ $\mathbb {F} _{q}^{2}$ 의 점에서 이러한 함수를 평가하면 리드-솔로몬 구조와 동일한 의미의 코드가 제공됩니다.

그러나 대수기하학 코드의 매개 변수는 대수 함수 필드와 연결되어 있기 때문에 코드의 정의는 종종 유한^[10] 필드에 대한 대수 함수 필드의 언어로 제공됩니다.그럼에도 불구하고, 이것은 리드-솔로몬 코드의 확장으로 AG 코드에 대해 보다 기하학적으로^[9] 직관적인 사고 방법을 제공하기 때문에 대수 곡선과의 연결을 기억하는 것이 중요합니다.

공식적으로 대수 기하학 코드는 다음과^[10] 같은 방식으로 정의됩니다.F $F/\mathbb {F} _{q}$ / $Fq$ 를 대수 함수 필드, $F/\mathbb {F} _{q}$ $=$ $D=P_{1}+\dots +P_{n}$ + $D=P_{1}+\dots +P_{n}$ + $D=P_{1}+\dots +P_{n}$ ${\$ $displaystyle$ D = $P_{1}$ + \ $dots$ + $P_{n}$ 을 $F/\mathbb {F} _{q}$ $D=P_{1}+\dots +P_{n}$ $F/\mathbb {F} _{q}$ / $F/\mathbb {F} _{q}$ ${\$ $displaystyle$ F $/\mathbb {F} _{q$ $}$ 의 $F/\mathbb {F} _{q}$ $개별$ 위치 $n개$ 의 $n$ 합이라고 $F/\mathbb {F} _{q}$ . $그리고$ G ${displaystyle$ G $}$ 는 $G$ D ${displaystyle$ D $D$ 로부터 분리된 지원을 받는 제수입니다. D ${$ $displaystyle$ D $}$ 와 $D$ G ${displaystyle$ $G$ $}$ 와 $G$ 관련된 $C_{\mathcal {L}}(D,G)$ 대수 기하학 $C_{\mathcal {L}}(D,G)$ $D,$ G $)$ 은 다음과 같이 정의됩니다.

C_{\mathcal {L}}(D,G):=\lbrace(f(P_{1}),\dots,f(P_{n}):f\in{{{\mathcal {L}}(G)\rbrace \mathec \mathb {F}_{q}_{n}.

이러한 코드에 대한 더 많은 정보는 코딩^[10]^[11] 이론에 대한 고급 텍스트뿐만 아니라 입문^[6] 텍스트에서도 찾을 수 있습니다.

예

리드솔로몬 코드

는 것을 알 수 있습니다.

$RS(q,n,k)=displaymathcal {C}_{\mathcal {L}}(D,(k-1)P_{\infty })$

$P_{\infty }$ 서 P $D=P_{1}+\dots +P_{q}$ {\ $displaystyle P_$ ${\infty}$ 는 $P_\infty$ 투영 선 $q$ 에서 무한대의 점이며, $D=P_{1}+\dots +P_{q}$ $=$ $D=P_{1}+\dots +P_{q}$ $D=P_{1}+\dots +P_{q}$ $D=P_{1}+\dots +P_{q}$ + $D=P_{1}+\dots +P_{q}$ {\ $displaystyle$ D = $P_{1}$ + \ $dots$ + $P_{$ $q}$ 는 $\mathbb {P} _{\mathbb {F} _{q}}^{1}$ $D=P_{1}+\dots +P_{q}$ $\mathbb {F} _{q}$ $F$ \ $mathstyle {F$ 점의 합입니다 $.$

원포인트 에르미트 부호

에르미트 곡선은 다음과 같이 주어진다.

x^{q+1}=y^{q}+y

\mathbb {F} _{q^{2}}

\mathbb {F} _{q^{2}}

2

({

^[2]에 대해 고려됩니다. 이 곡선은 동등한 하세-웨일 경계를 충족하므로, 따라서 대수 기하학 코드와 관련하여

\mathbb {F} _{q^{2}}

2({

displaystyle \mathbb {F}_{q^{2

^[12]에

\mathbb {F} _{q^{2}}

최대 아핀 점 수를 가지기 때문에 특히 중요합니다.이것은 에르미트 코드가 정의된 알파벳에 대해^[13] 상대적으로 길다는 것을 의미합니다.

에르미트 함수 필드의 리만-로흐 공간은 다음^[2] 문장에 나와 있습니다.에르미트 함수 $\mathbb {F} _{q^{2}}(x,y)$ $\mathbb {F} _{q^{2}}(x,y)$ 2 ( $\mathbb {F} _{q^{2}}(x,y)$ ) \ $displaystyle \mathbb {F} _{q^{2}}(x,y)}$ 에 $\mathbb {F} _{q^{2}}(x,y)$ $x^{q+1}=y^{q}+y$ $x^{q+1}=y^{q}+y$ + $=$ $x^{q+1}=y^{q}+y$ $x^{q+1}=y^{q}+y$ y {{ $displaystyle$ x $^{q+1$ }= $y^{q$ }+ $y}$ 와 $x^{q+1}=y^{q}+y$ $m\in \mathbb {Z} ^{+}$ Z $m\in \mathbb {Z} ^{+}$ + {\ $displaystyle$ m $\in \mathbbb{Z}$ $m\in \mathbb {Z} ^{+}$ 리만-로흐 ${\mathcal {L}}(mP_{\infty })$ L ( ${\mathcal {L}}(mP_{\infty })$ P ${\mathcal {L}}(mP_{\infty })$ ) ${\displaystyle {{mathcal {L}}(mP_{\infty})$ 은 ${\mathcal {L}}(mP_{\infty })$

표시({style{\mathcal {L}}(mP_{\infty})=\left\lex^{a}y^{b}:0\leq b\leq q-1,aq+b(q+1)\leq m\right\rangle,}

P_{\infty }

서 P

∞

{\

displaystyle P_{\infty}

는

P_\infty

{\mathcal {H}}_{q}(\mathbb {F} _{q^{2}})

Fq 2)

에서 무한대의 점입니다

{\mathcal {H}}_{q}(\mathbb {F} _{q^{2}})

이를 통해 원포인트 에르미트 코드를 다음과 같이 정의할 수 있습니다. $({$ 를 $\mathbb {F} _{q^{2}}$ 2 $({$ 에 정의된 에르미트 곡선이라고 합니다.

$P_{\infty }$ $∞$ {\ $displaystyle P_{\infty}$ 를 $P_\infty$ ${\mathcal {H}}_{q}(\mathbb {F} _{q^{2}})$ ${\mathcal {H}}_{q}(\mathbb {F} _{q^{2}})$ 2 $)$ 의 ${\mathcal {H}}_{q}(\mathbb {F} _{q^{2}})$ 의 점으로 하자 (\ $displaystyle {H}_$ {q $}(\mathbb {F}_{q^{2$ 그리고

{\displaystyle D=P_{1}+\cdots +P_{n}} 표시

n:=q^{3}

∞

{\infty

P_{\infty }

의

{\mathcal {H}}_{q}

{{\

mathcal {H}_{q}

에서

{\mathcal {H}}_{q}

n

=

3

{\

displaystyle

n

:=

q^{3}}

개의

n:=q^{3}

\mathbb {F} _{q^{2}}

\mathbb {F} _{q^{2}}

2

{{

\

mathbb {F}_{q^{2}}}

개의

\mathbb {F} _{q^{2}}

점에 의해 지지되는 제수가 됩니다.

원포인트 에르미트 $C(D,mP_{\infty })$ C ( $C(D,mP_{\infty })$ $C(D,mP_{\infty })$ P $C(D,mP_{\infty })$ $){displaystyle$ C $(D, mP_{\infty })$ 는 $C(D,mP_{\infty })$

${\infty} 표시 스타일 C(D,mP_{\inftydisplaystyle C(D,mP_{\infty}):=\left\lbrace(f(P_{1}),\dots,f(P_{n})): f\in{{\mathcal {L}}(mP_{\infty})\rbrace \mathbb {F}_{q^{2}}^{n}.}$

레퍼런스

^ Goppa, Valerii Denisovich (1982). "Algebraico-geometric codes". Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya. 46 (4): 726--781 – via Russian Academy of Sciences, Steklov Mathematical Institute of Russian.
^ ^a ^b ^c Stichtenoth, Henning (1988). "A note on Hermitian codes over GF(q^2)". IEEE Transactions on Information Theory. 34 (5): 1345--1348 – via IEEE.
^ Goppa, Valery Denisovich (1970). "A new class of linear error-correcting codes". Probl. Inf. Transm. 6: 300--304.
^ Goppa, Valerii Denisovich (1972). "Codes Constructed on the Base of (L,g)-Codes". Problemy Peredachi Informatsii. 8 (2): 107--109 – via Russian Academy of Sciences, Branch of Informatics, Computer Equipment and.
^ Berlekamp, Elwyn (1973). "Goppa codes". IEEE Transactions on Information Theory. 19 (5): 590--592 – via IEEE.
^ ^a ^b ^c Walker, Judy L. (2000). Codes and Curves. American Mathematical Society. p. 15. ISBN 0-8218-2628-X.
^ Tsfasman, Michael; Vladut, Serge; Zink, Thomas (1982). "Modular curves, Shimura curves, and Goppa codes better than the Varshamov-Gilbert bound". Mathematische Nachrichten.
^ Reed, Irving; Solomon, Gustave (1960). "Polynomial codes over certain finite fields". Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. 8 (2): 300--304 – via SIAM.
^ ^a ^b Hoholdt, Tom; van Lint, Jacobus; Pellikaan, Ruud (1998). "Algebraic geometry codes" (PDF). Handbook of coding theory. 1 (Part 1): 871–961 – via Elsevier Amsterdam.
^ ^a ^b ^c Stichtenoth, Henning (2009). Algebraic function fields and codes (2nd ed.). Springer Science & Business Media. pp. 45--65. ISBN 978-3-540-76878-4.
^ van Lint, Jacobus (1999). Introduction to coding theory (3rd ed.). Springer. pp. 148--166. ISBN 978-3-642-63653-0.
^ Garcia, Arnoldo; Viana, Paulo (1986). "Weierstrass points on certain non-classical curves". Archiv der Mathematik. 46: 315--322 – via Springer.
^ Tiersma, H.J. (1987). "Remarks on codes from Hermitian curves". IEEE Transactions on Information Theory. 33 (4): 605--609 – via IEEE.

[1] Goppa, Valerii Denisovich (1982). "Algebraico-geometric codes". Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya. 46 (4): 726--781 – via Russian Academy of Sciences, Steklov Mathematical Institute of Russian.

[:0-2] Stichtenoth, Henning (1988). "A note on Hermitian codes over GF(q^2)". IEEE Transactions on Information Theory. 34 (5): 1345--1348 – via IEEE.

[3] Goppa, Valery Denisovich (1970). "A new class of linear error-correcting codes". Probl. Inf. Transm. 6: 300--304.

[4] Goppa, Valerii Denisovich (1972). "Codes Constructed on the Base of (L,g)-Codes". Problemy Peredachi Informatsii. 8 (2): 107--109 – via Russian Academy of Sciences, Branch of Informatics, Computer Equipment and.

[5] Berlekamp, Elwyn (1973). "Goppa codes". IEEE Transactions on Information Theory. 19 (5): 590--592 – via IEEE.

[:1-6] Walker, Judy L. (2000). Codes and Curves. American Mathematical Society. p. 15. ISBN 0-8218-2628-X.

[7] Tsfasman, Michael; Vladut, Serge; Zink, Thomas (1982). "Modular curves, Shimura curves, and Goppa codes better than the Varshamov-Gilbert bound". Mathematische Nachrichten.

[8] Reed, Irving; Solomon, Gustave (1960). "Polynomial codes over certain finite fields". Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. 8 (2): 300--304 – via SIAM.

[:2-9] Hoholdt, Tom; van Lint, Jacobus; Pellikaan, Ruud (1998). "Algebraic geometry codes" (PDF). Handbook of coding theory. 1 (Part 1): 871–961 – via Elsevier Amsterdam.

[:3-10] Stichtenoth, Henning (2009). Algebraic function fields and codes (2nd ed.). Springer Science & Business Media. pp. 45--65. ISBN 978-3-540-76878-4.

[11] van Lint, Jacobus (1999). Introduction to coding theory (3rd ed.). Springer. pp. 148--166. ISBN 978-3-642-63653-0.

[12] Garcia, Arnoldo; Viana, Paulo (1986). "Weierstrass points on certain non-classical curves". Archiv der Mathematik. 46: 315--322 – via Springer.

[13] Tiersma, H.J. (1987). "Remarks on codes from Hermitian curves". IEEE Transactions on Information Theory. 33 (4): 605--609 – via IEEE.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Search

대수기하학 부호

네임스페이스

더

목차

역사

시공

리드솔로몬 코드

대수 곡선 코드

예

리드솔로몬 코드

원포인트 에르미트 부호

레퍼런스