(2,1)-파스칼 삼각형

(2,1)-Pascal triangle
(2,1)-파스칼 삼각형 중 0-5행

수학에서 (2,1)-파스칼 삼각형(미러링 루카스 삼각형[1])은 삼각형 배열이다.

(2,1)-파스칼 삼각형(OEIS의 순서 A029653)[2]의 행은 상단의 n = 0으로 시작하는 관습적으로 열거된다. 각 행의 항목은 k = 0으로 시작하는 왼쪽부터 번호가 매겨지며, 일반적으로 인접한 행의 숫자에 비례하여 시차된다.

삼각형은 파스칼의 삼각형을 기준으로 하며, 두 번째 줄은 (2,1)이고 각 행의 첫 번째 셀은 2로 설정된다.

이 구조는 Pascal의 규칙에 의한 이항계수와 관련이 있으며, 용어 중 하나는 + 이다

패턴 및 속성

(2,1)-파스칼 삼각형은 많은 성질을 가지고 있으며 많은 수의 패턴을 포함하고 있다. 루카스 수열피보나치 수열의 자매 수열인 것과 마찬가지로 파스칼 삼각형의 자매 수열로 볼 수 있다.[citation needed]

  • n = 0, 1 행을 제외하고, 한 행의 원소의 합은 그 앞에 있는 행의 합계의 두 배가 된다. 예를 들어, 1행의 값은 3이고, 2행의 값은 6이며, 3행의 값은 12이다. 일렬로 늘어선 모든 품목이 다음 줄의 두 품목을 생산하기 때문인데, 하나는 왼쪽이고 하나는 오른쪽이다. n행 요소의 합은 - 2.(OEIS의 경우 시퀀스 A003945)와 같다(OEIS의 경우 시퀀스 A007283).
  • 각 항목이 소수 자릿수로 간주되는 경우(그리고 그에 따라 9보다 큰 숫자) 행 값은 11 곱하기 21의 힘이다(n 행의 경우 - 열 2, ⟨2, 3, 그러므로 1⟩이 21×11{21\times 11\displaystyle},⟨2, 9,16,14,6, 1⟩ 연속 5에(뒤)307461은 21× 114{\displaystyle 21\times 11^{4}}. 이 속성 및 소수 체제에 값을 조정하)=10(2배+1)(x+1)n−1의 이항 확장에서를로 설정하고 있다는 설명이다.m 그러나 x는 행이 모든 베이스의 값을 나타내도록 허용하기 위해 선택할 수 있다.
    • 베이스 3: = 4( ) 4
    • 베이스 9: 9= ( ) (
  • 극성: 그러나 또 다른 흥미로운 패턴은 파스칼의 삼각형 행을 순차적으로 더하고 함께 뺄 때, 모든 행은 홀수 정수를 가진 행을 의미하는 중간 숫자를 가지고 있으며, 그것들은 항상 0과 같다. Example, row 4 is 2 7 9 5 1, so the formula would be 9 − (7 + 5) + (2 + 1) = 0, row 6 is 2 11 25 30 20 7 1, so the formula would be 30 − (25 + 20) + (11 + 7) − (2 + 1) = 0. So every even row of the Pascal triangle equals 0 when you take the middle number, then subtract the integers directly next to the center, then add the next integers, then 뺄셈, 그리고 줄의 끝에 도달할 때까지 등등.
    • 또는 행의 첫 번째 임기를 취했을 때, 그 다음, 두 번째 임기를 뺀 다음, 세 번째 용어를 더했을 때, 그 행의 끝에 도달할 때까지, 그 결과는 항상 0과 같다고 말할 수 있다.
    • 3행: 2 - 3 + 1 = 0
    • 4행: 2 - 5 + 4 - 1 = 0
    • 5행: 2 - 7 + 9 - 5 + 1 = 0
    • 6행: 2 - 9 + 16 - 14 + 6 - 1 = 0
    • 7행: 2 - 11 + 25 - 30 + 20 - 7 + 1 = 0
    • 8행: 2 - 13 + 36 - 55 + 50 - 27 + 8 - 1 = 0

대각선

파스칼의 삼각형의 대각선에는 다음과 같은 간단한 그림들이 있다.

  • 오른쪽 가장자리를 따라가는 대각선은 1초만, 오른쪽 가장자리를 따라가는 대각선은 첫 번째 셀을 제외하고 2초만 포함한다.
  • 왼쪽 가장자리 대각선 옆에 있는 대각선에는 순서대로 홀수가 들어 있다.
  • 오른쪽 가장자리 대각선 옆에 있는 대각선에는 순서대로 자연수가 들어 있다.
  • 대각선의 다음 쌍은 정사각형 숫자와 삼각형 숫자에서 순서대로 1을 뺀 값을 포함한다.
  • 다음 쌍의 대각선에는 정사각형 피라미드 번호가 순서대로 수록되어 있으며, 다음 쌍은 4차원 피라미드 번호(OEIS에서 순서 A002415)를 제공한다.

전체 패턴 및 특성

시에르핀스키 삼각형
(2,1)-그리드 위에 겹쳐진 파스칼 삼각형은 각 사각형에 대한 구별되는 경로의 수를 제공하며, 오른쪽 방향과 아래쪽 방향 움직임만 고려된다고 가정한다.
  • 파스칼 삼각형의 홀수만을 색칠하여 얻은 패턴은 시에르핀스키 삼각형이라 불리는 프랙탈과 매우 흡사하다. 이러한 유사성은 더 많은 행이 고려될수록 점점 더 정확해진다. 한계에서 행의 수가 무한에 가까워질수록 그 결과의 패턴은 고정된 둘레를 가정하는 시에르핀스키 삼각형이다.[3] 보다 일반적으로, 숫자는 3, 4 등의 배수인지 여부에 따라 다르게 색칠될 수 있다. 이는 다른 유사한 패턴을 야기한다.
  • 삼각형의 각 숫자가 그 위와 아래에 인접한 숫자와 연결되는 격자의 노드라고 상상해 보십시오. 이제 그리드의 모든 노드에 대해 이 노드를 삼각형의 상단 노드(1)에 연결하는 그리드에 있는 경로(역추적 제외)의 수를 계산하십시오. 답은 그 노드와 연관된 파스칼 번호다.
  • 행이 왼쪽 맞춤이면 삼각형의 속성 하나가 드러난다. 아래 삼각형에서 대각선 색 띠는 연속적인 피보나치 숫자루카스 숫자로 합친다.[4]
1
2 1
2 3 1
2 5 4 1
2 7 9 5 1
2 9 16 14 6 1
2 11 25 30 20 7 1
2 13 36 55 50 27 8 1
2 15 49 91 105 77 35 9 1
1
2 1
2 3 1
2 5 4 1
2 7 9 5 1
2 9 16 14 6 1
2 11 25 30 20 7 1
2 13 36 55 50 27 8 1
2 15 49 91 105 77 35 9 1
  • 구조는 == + x 의 확장과도 이 있다
  • 그때

참조

  1. ^ "(1,2)-Pascal triangle - OeisWiki". oeis.org. Retrieved 2016-02-23.
  2. ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A029653 (Numbers in (2,1)-Pascal triangle (by row))". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 2015-12-24.
  3. ^ Wolfram, S. (1984). "Computation Theory of Cellular Automata". Comm. Math. Phys. 96: 15–57. Bibcode:1984CMaPh..96...15W. doi:10.1007/BF01217347.
  4. ^ "An Exact Value For The Fine Structure Constant. - Page 7 - Physics and Mathematics". Science Forums. Retrieved 2016-02-01.