(2,1)-파스칼 삼각형

수학에서 (2,1)-파스칼 삼각형(미러링 루카스 삼각형^[1])은 삼각형 배열이다.

(2,1)-파스칼 삼각형(OEIS의 순서 A029653)^[2]의 행은 상단의 n = 0으로 시작하는 관습적으로 열거된다. 각 행의 항목은 k = 0으로 시작하는 왼쪽부터 번호가 매겨지며, 일반적으로 인접한 행의 숫자에 비례하여 시차된다.

삼각형은 파스칼의 삼각형을 기준으로 하며, 두 번째 줄은 (2,1)이고 각 행의 첫 번째 셀은 2로 설정된다.

이 구조는 Pascal의 규칙에 의한 이항계수와 관련이 있으며, 용어 중 하나는 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 2x+y}$이다$.$

${\displaystyle (2x+y)(x+y)^{n-1}$

패턴 및 속성

(2,1)-파스칼 삼각형은 많은 성질을 가지고 있으며 많은 수의 패턴을 포함하고 있다. 루카스 수열이 피보나치 수열의 자매 수열인 것과 마찬가지로 파스칼 삼각형의 자매 수열로 볼 수 있다.^{[citation needed]}

행

• n = 0, 1 행을 제외하고, 한 행의 원소의 합은 그 앞에 있는 행의 합계의 두 배가 된다. 예를 들어, 1행의 값은 3이고, 2행의 값은 6이며, 3행의 값은 12이다. 일렬로 늘어선 모든 품목이 다음 줄의 두 품목을 생산하기 때문인데, 하나는 왼쪽이고 하나는 오른쪽이다. n행 요소의 합은 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ 2$^{n-1}$.($$OEIS의 경우 시퀀스 A003945)와 같다(OEIS의 경우 시퀀스 A007283).
• 각 항목이 소수 자릿수로 간주되는 경우(그리고 그에 따라 9보다 큰 숫자) 행 값은 11 곱하기 21의 힘이다(n 행의 경우 ${\displaystyle 21}$${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {11}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ 열 2, ⟨2, 3, 그러므로 1⟩이 21×11{21\times 11\displaystyle},⟨2, 9,16,14,6, 1⟩ 연속 5에(뒤)307461은 21× 114{\displaystyle 21\times 11^{4}}. 이 속성 및 소수 체제에 값을 조정하)=10(2배+1)(x+1)n−1의 이항 확장에서를로 설정하고 있다는 설명이다.m 그러나 x는 행이 모든 베이스의 값을 나타내도록 허용하기 위해 선택할 수 있다.
  • 베이스 3: ${\displaystyle {231}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle \times }$ 4${\displaystyle }$( ${\displaystyle 28}$) ${\displaystyle 231_{3}=7\times$ 4$(28)}$
  • ${\displaystyle(2,5,4,1)\오른쪽 화살표 11011_{3}=7\nfg 4^{2}(으)}$
  • 베이스 9: ${\displaystyle {231\mathrm{}}_{}}$ 9${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 19}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 10}$( ${\displaystyle 190}$) ${\displaystyle 231_{9}=19\time 10$ ($190)}$
  • ${\displaystyle 2541_{9}=19\1997년 10^{2}(수치)}$
  • ${\displaystyle(2,9,16,14,6,1)\우경로318561_{9}=19\1901{4}{4}(1700)}$
• 극성: 그러나 또 다른 흥미로운 패턴은 파스칼의 삼각형 행을 순차적으로 더하고 함께 뺄 때, 모든 행은 홀수 정수를 가진 행을 의미하는 중간 숫자를 가지고 있으며, 그것들은 항상 0과 같다. Example, row 4 is 2 7 9 5 1, so the formula would be 9 − (7 + 5) + (2 + 1) = 0, row 6 is 2 11 25 30 20 7 1, so the formula would be 30 − (25 + 20) + (11 + 7) − (2 + 1) = 0. So every even row of the Pascal triangle equals 0 when you take the middle number, then subtract the integers directly next to the center, then add the next integers, then 뺄셈, 그리고 줄의 끝에 도달할 때까지 등등.
  • 또는 행의 첫 번째 임기를 취했을 때, 그 다음, 두 번째 임기를 뺀 다음, 세 번째 용어를 더했을 때, 그 행의 끝에 도달할 때까지, 그 결과는 항상 0과 같다고 말할 수 있다.
  • 3행: 2 - 3 + 1 = 0
  • 4행: 2 - 5 + 4 - 1 = 0
  • 5행: 2 - 7 + 9 - 5 + 1 = 0
  • 6행: 2 - 9 + 16 - 14 + 6 - 1 = 0
  • 7행: 2 - 11 + 25 - 30 + 20 - 7 + 1 = 0
  • 8행: 2 - 13 + 36 - 55 + 50 - 27 + 8 - 1 = 0

대각선

파스칼의 삼각형의 대각선에는 다음과 같은 간단한 그림들이 있다.

• 오른쪽 가장자리를 따라가는 대각선은 1초만, 오른쪽 가장자리를 따라가는 대각선은 첫 번째 셀을 제외하고 2초만 포함한다.
• 왼쪽 가장자리 대각선 옆에 있는 대각선에는 순서대로 홀수가 들어 있다.
• 오른쪽 가장자리 대각선 옆에 있는 대각선에는 순서대로 자연수가 들어 있다.
• 대각선의 다음 쌍은 정사각형 숫자와 삼각형 숫자에서 순서대로 1을 뺀 값을 포함한다.
• 다음 쌍의 대각선에는 정사각형 피라미드 번호가 순서대로 수록되어 있으며, 다음 쌍은 4차원 피라미드 번호(OEIS에서 순서 A002415)를 제공한다.

전체 패턴 및 특성

• 파스칼 삼각형의 홀수만을 색칠하여 얻은 패턴은 시에르핀스키 삼각형이라 불리는 프랙탈과 매우 흡사하다. 이러한 유사성은 더 많은 행이 고려될수록 점점 더 정확해진다. 한계에서 행의 수가 무한에 가까워질수록 그 결과의 패턴은 고정된 둘레를 가정하는 시에르핀스키 삼각형이다.^[3] 보다 일반적으로, 숫자는 3, 4 등의 배수인지 여부에 따라 다르게 색칠될 수 있다. 이는 다른 유사한 패턴을 야기한다.
• 삼각형의 각 숫자가 그 위와 아래에 인접한 숫자와 연결되는 격자의 노드라고 상상해 보십시오. 이제 그리드의 모든 노드에 대해 이 노드를 삼각형의 상단 노드(1)에 연결하는 그리드에 있는 경로(역추적 제외)의 수를 계산하십시오. 답은 그 노드와 연관된 파스칼 번호다.
• 행이 왼쪽 맞춤이면 삼각형의 속성 하나가 드러난다. 아래 삼각형에서 대각선 색 띠는 연속적인 피보나치 숫자와 루카스 숫자로 합친다.^[4]

1
2	1
2	3	1
2	5	4	1
2	7	9	5	1
2	9	16	14	6	1
2	11	25	30	20	7	1
2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

								1
							2	1
						2	3	1
					2	5	4	1
				2	7	9	5	1
			2	9	16	14	6	1
		2	11	25	30	20	7	1
	2	13	36	55	50	27	8	1
2	15	49	91	105	77	35	9	1

• $이$ 구조는 $y{\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle }$=$$= ${\displaystyle x\frac{\mathrm{}}{}}$${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ x ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{n^{}}{}}$ ${\$$displaystyle$ $x^{n}+{\$$frac$${1$$}{x^{n}}}}}$의 확장과도 $관련$이 있다$.$
• 그때

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{0}+{\frac {1}{x^{0}}}&=2\\[5pt]x^{1}+{\frac {1}{x^{1}}}&=y\\[5pt]x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}&=y^{2}-2\\[5pt]x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}&=y^{3}-3y\\[5pt]x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}&=y^{4}-4y^{2}+2\\[5pt]x^{5}+{\frac {1}{x^{5}}}&=y^{5}-5y^{3}+5y\end{aligned}}}$

참조