균일화 가능한 공간

수학에서 위상학적 공간 X는 X의 위상을 유도하는 균일한 구조가 존재한다면 균일할 수 있다. 동등하게 X는 균일한 공간(균일한 구조에 의해 유도된 위상 포함)에 동형인 경우에만 균일할 수 있다.

어떤 (의사)메트리징 가능한 공간은 (의사)메트리닉 균일성이 (의사)메트리학적 토폴로지를 유도하기 때문에 균일화할 수 있다.반전이 실패하는 경우:균일하게 만들 수 있는 공간이 있는데, 그 공간은 (의사) 메트리지 않는다.그러나 균일화할 수 있는 공간의 위상은 항상 유사측정학 계열에 의해 유도될 수 있는 것이 사실이다. 실제로 이는 집합 X의 균일성이 유사측정학 계열에 의해 정의될 수 있기 때문이다.

공간이 균일하다는 것을 보여주는 것은 공간을 측정할 수 있다는 것을 보여주는 것보다 훨씬 더 간단하다.사실 통일성은 공통 분리 공리와 같다.

위상학적 공간은 그것이 완전히 규칙적일 경우에만 균일할 수 있다.

유도 균일성

위상학적 공간 X에 균일한 구조를 구성하는 한 가지 방법은 X에 대한 실제 가치 연속함수의 계열인 C(X)가 유도한 X에 대한 초기 균일성을 취하는 것이다.이것은 그러한 모든 기능이 균일하게 연속되는 X에서 가장 강한 균일성이다.이 균일성에 대한 하위 베이스는 모든 엔트리에 의해 주어진다.

${\displaystyle D_{f,\varepsilon }=\{(x,y)\in X\time X: f(x)-f(y) <\varepsilon \}}}$

여기서 f ∈ C(X) 및 ε > 0.

위의 통일성에 의해 생성된 균일한 위상은 C(X) 계열이 유도한 초기 위상이다.일반적으로 이 위상은 X의 주어진 위상보다 더 클 것이다.만약 X가 완전히 규칙적이면 두 위상은 일치할 것이다.

미세 균일성

균일할 수 있는 공간 X에 주어진 X에는 미세한 균일성 또는 보편적인 균일성이라고 불리는 X의 위상과 호환되는 가장 훌륭한 균일성이 있다.균일한 공간은 균일한 위상에 의해 생성되는 미세한 균일성이 있으면 괜찮다고 한다.

미세한 균일성은 보편적인 성질에 의해 특징지어진다: 미세한 공간 X에서 균일한 공간 Y까지의 모든 연속 함수 f는 균일하게 연속적이다.즉, X의 미세한 균일성을 X에 할당하는 functor F : CReg → uni는 그 기초의 완전 정규 공간에 균일한 공간을 보내는 망각적인 functor에 비례한다는 것을 의미한다.

Explicitly, the fine uniformity on a completely regular space X is generated by all open neighborhoods D of the diagonal in X × X (with the product topology) such that there exists a sequence D₁, D₂, … of open neighborhoods of the diagonal with D = D₁ and ${\displaystyle D_{n}\circ D_{n}\subseteq D_{n-1}}$.

C(X)에 의해 유도된 완전 정규 공간 X의 균일성이 항상 미세한 균일성은 아니다.

참조

• Willard, Stephen (1970). General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.