2차원 창 디자인

윈도잉은 지수 제한 시퀀스가 최대 에너지를 유한 주파수 구간에 집중시키는 공정이다.이는 N-D 창이 분리 또는 분리할 수 없는 N-D 패스밴드 내에서 제한적인 지지와 최대 에너지 농도를 갖는 N-차원까지 확장될 수 있다.한N-dimensional 창문의 디자인은 특히 2차원 창문 다차원 신호의 스펙트럼 추정, 최적의 주름 기능의 원형으로, quadrantally 대칭 대칭 비재귀 2Dfilters,[1]디자인의 디자인, 이미지 향상만큼 data-dependent의 영향을 줄이도록 등 다양한 분야에 응용을 발견한다. pr오프로세싱 아티팩트, 광학 도포 및 안테나 어레이 설계.^[2]

2차원 창

다차원 신호 처리의 다양한 애플리케이션 때문에, 위에서 언급한 이러한 애플리케이션을 각각 용이하게 하기 위해서는 2-D 윈도우의 다양한 설계 방법론이 매우 중요하다.

Consider a two-dimensional window function (or window array) ${\displaystyle w(n_{1},n_{2})}$ with its Fourier transform denoted by ${\displaystyle W(w_{1},w_{2})}$. Let ${\displaystyle i(n_{1},n_{2})}$ and ${\displaystyle I(w_{1},$$w_{2})}$ denote the impulse and frequency response of an ideal filter and ${\displaystyle h(n_{1},n_{2})}$ and ${\displaystyle H(w_{1},w_{2})}$ denote the impulse and frequency response of a filter approximating the ideal filter, then we can approximate ${\dis$$Playstyle I(w_{1$},$w_{2}})$ by$$ $($ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) {\$displaystyle h(n_{1},n_{2}}.$ i${\displaystyle (<img\; alt="h(n\_1,n\_2)"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/3af74de774e14e28f2377ea93aa13ed591296300"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:9.08ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="31">}n{\displaystyle }$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaysty$ i$(n_{1$},$n_{2})$는 무한 범위를 가지므로$$ 아래와 같이 윈도우 함수와 곱하여 유한충동 응답으로 근사치를 추정할 수 있다.

${\displaystyle h(n_{1},n_{2})=i(n_{1},n_{2}w(n_{1},n_{2})}$

그리고 푸리에 영역에서는

${\displaystyle H(w_{1},w_{2}}={\frac {1}{1}{{{1}:{2}}:[I(w_{1},w_{2})*W(w_{1},w_{2}}]}$ ^[2]

The problem is to choose a window function with an appropriate shape such that ${\displaystyle H(w_{1},w_{2})}$ is close to ${\displaystyle I(w_{1},w_{2})}$ and in any region surrounding a discontinuity of ${\displaystyle I(w_{1},w_{2})}$, ${\displaystyle H(w_1,{}_{}}$${\displaystyle w_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle H(w_{1},w_{2}}$은(는) 윈도우 설정 때문에 과도한 리플을 포함할 수 없다$$.

1-D 기능에서 2-D 창 기능

1차원 창을 프로토타입으로 사용해 2차원 창을 생성하는 접근방식은 4가지다.^[3]

접근 I

2-D 창을 도출하는 방법 중 하나는 $두{\displaystyle }$ 개의 1-D 창, 즉 w${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, 2${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) w ${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ ( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle w(n_{1},n_{2}}=w_{1}(n_{1$})$w_{2}($n_{1}){2}($n_{2$})의 외부 제품이다$.$$}$ 분리 가능성 속성은$$ 이 접근법에 악용된다.형성된 창은 지지의 사각 영역을 가지며 두 변수에서 분리할 수 있다.이 접근 방식을 이해하려면 윈도우 기능이 제공되는 1-D 카이저 윈도우를 고려하십시오.^[4]

${\displaystyle w[n]=\left\{\begin{matrix}{\frac {I_{0}\왼쪽(\pi \pi \alpha {\sqrt {1-\좌({\frac {2n}{N-1-우)^{2}}\우)}{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{I_{0}(\pi \alpha )}},&0\leq n-1\\\\\\\0&{\text{otherwise}\\end{matrix}}\right.}$

그 다음에 해당하는 2-D 함수는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle w(n_{1},n_{2})=\좌측\{\begin{matrix}{\frac {I_{0}\좌측(\알파 {\sqrt {1-\좌측({\frac {n_}{a}\우측)^{2}}\우측).I_{0}\좌(\alpha {\sqrt {1-({\frac {n_{2}}:{a})^{2}}\우)}{{{2}}}{{{n1}}}}{{{night)}}}{{{n1}}}}}}}{{{}}I_{0}^{2}(\alpha )}},&n_{1} \leqslant a, n_{2} \leqslant a\0&{\text}\otherwise}\end{matrix}\}\right.}$

여기서:

• ${\displaystyle r={\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}}^{2}}}}$
• N은 1-D 시퀀스의 길이,
• 난₀ 제롯 주문 변형 베셀 함수야
• α는 임의의 음이 아닌 실수로 창문의 모양을 결정한다.주파수 영역에서는 주-로브 폭과 측엽 레벨 사이의 트레이드오프를 결정하는데, 이는 윈도우 설계에서 중심적인 결정이다.

The Fourier transform of ${\displaystyle w(n_{1},n_{2})}$ is the outer product of the Fourier transforms of ${\displaystyle w_{1}(n_{1}){\text{ and }}w_{2}(n_{2})}$. Hence ${\displaystyle W(w_{1}$$,w_{2}=$$W_{1}(w_{1})$$W_{2}(w_{2})}$^[5].

접근 II

1-D 창 설계를 2-D 설계로 확장하는 또 다른 방법은 원형 회전 1-D 연속 창 기능을 샘플링하는 것이다.^[2]함수는 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$에 독립적으로, 반지름의 함수로 쓸 수 있다면 원형 대칭성을 갖는다고 한다. 즉, $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle \theta }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f(}$ r ${\displaystyle ).}$ ${\displaystystyle f(r,\theta )=f(r).$$}$

w(n)이 좋은 1-D 짝수 대칭 윈도우를 나타내는 경우 해당 2-D 윈도우 기능은^[2]

${\displaystyle w(n_{1},n_{2}=w\left\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}}^{2}}:}\오른쪽){\text{{}}}}}}{}\{}\왼쪽 {\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}}}^{2}}:}\오른쪽 \leqslant a}$

(여기서 ${\displaystyle a}$은(는) 상수) 및

${\displaystyle w(n_{1},n_{2})=0{{\text{{{}}}}}\{}\{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}}^{2}}:}\오른쪽 >a}$

직사각형 좌표에서 극좌표로의 창 기능의 푸리에 변환은 푸리에-베셀 변환 식을 낳는데, 이를 한켈 변환이라고 한다.따라서 Hankel 변환은 2-D 창 함수의 푸리에 변환을 계산하는 데 사용된다.

만약 이 접근방식이 1-D 윈도우 기능에서 2-D 윈도우를 찾는 데 사용된다면, 그들의 푸리에 변환은 관계가 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }H(w_{1},w_{2})**W(w_{1},w_{2}}=H(w)*W(w)}$^[2]

여기서:

$displaystyle H(w)=\left\{\begin{begin}1,&w\geq$$}$은(는) 1-D 단계 함수

, 그리고

${\displaystyle H(w_{1},w_{2})=\left\{{\begin{matrix}1,&w_{1}\geq 0{\text{ and all }}w_{2}\\0,&w_{1}<0{\text{ and all }}w_{2}\end{matrix}}\right.$$}$은(는) 2-D 단계 함수다.
시들로브에 의해 구성되는 메인로브의 비율을 계산하기 위해, 시들로브 아래의 부피는 시들로브 아래의 부피가 사용되는 1-D와 달리 계산된다.
이 접근 방식을 이해하기 위해 1-D 카이저 창을 고려하면 해당 2-D 함수가 다음과 같이 도출될 수 있다.

${\displaystyle w(n_{1},n_{2})=\좌측\{\begin{matrix}{\frac {I_{0}\좌측(\alpha {\sqrt {1-{\sqrt{n_{1}^{2}+n_{2)}}^{2}}:}{a^{2}}:}\오른쪽)}{{I_{0}(\alpha )},&r \leqslant a\\\0&{\text{otherwise}\end{matrix}\right.}$

이것은 2-D 창을 설계하기 위해 가장 널리 사용되는 접근법이다.

위의 두 가지 접근방식에서 얻은 윈도우 제형을 사용하여 윈도우 설정을 통한 2-D 필터 설계는 동일한 필터 순서가 될 것이다.이는 두 번째 접근방식의 이점이 된다. 두 번째 접근방식의 원형 지지 영역은 첫 번째 접근방식에서 얻은 지지 영역의 제곱보다 0이 아닌 표본을 더 적게 가지기 때문이다. 이는 결국 2-D 필터의 계수 감소로 인한 계산적 절감으로 이어진다.그러나 이 방법의 단점은 1-D 창의 주파수 특성이 2-D 사례에서 이 회전 방법에 의해 잘 보존되지 않는다는 것이다.^[3]또한 2-D 윈도우의 메인로브 폭과 사이드로브 레벨은 1-D 프로토타입에 비해 동작이 좋지 않고 예측이 불가능한 것으로 밝혀졌다.^[4]2-D 창을 설계하는 동안 회전을 위해 고려해야 할 두 가지 특징이 있다.첫째, 1-D 창은 $n$ ${\displaystyle n},$ n ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}_{}^{}}}$ 2${\displaystyle \sqrt{{}_{}^{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{n\mathrm{}}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}_{}^{}}}$ ${\$}의 정수 값에 대해서만 정의된다.$}}^{2}}:}}$ 값은$$ 일반적으로 정수가 아니다.이를 극복하기 위해 보간법을 사용하여 임의 $w{\displaystyle (\sqrt{{n\mathrm{}}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}_{}^{}}}$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}_{}^{}}}$${\displaystyle {}_{}}$2${\displaystyle \sqrt{{}_{}^{}}}$)에$$ $대한{\displaystyle }$w (${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ 1, n ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}_{}^{}}}$ )$${\$displaystyle$w${\displaystyle \sqrt{{}_{}^{}}}$$n_{$${\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}_{}^{}}}$$}, n_{2})$ 값을 정의할 수 있다${\displaystyle .}${\$displaysty w\preft({\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2$}).$}^{2}}:}\오른쪽).$$}}$ 둘째$$, 2-D FFT는 2-D 창에 적용 가능해야 한다.

접근 III

또 다른 접근방식은 푸리에 공간에서의 1-D 창의 주파수 응답을 회전시킨 후 역 푸리에 변환을 수행하여 2-D 창을 얻는 것이다.^[6]접근 II에서는 공간 영역 신호가 회전하는 반면, 이 접근법에서는 1-D 창이 다른 영역(예: 주파수 신호)에서 회전한다.

따라서 2-D 윈도우 기능의 푸리에 변환은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle W_{2}(w_{1},w_{2})=W_{1}\왼쪽({\sqrt {(w_{1}^{2}+w_{2)}^{2}}}}}\오른쪽).}$

${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) 와 2 (n 2 ) ${\displaystyle w_{2}($${\displaystyle {}_{}}$${1$},$n_{2}})$의 역방향 푸리에 변환 W 2${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle W_{2}(w_{1$},$w_{2})$를 계산하여 얻을 수 있다$$$.$

유형 보존 회전을 표시하는 또 다른 방법은 관계 ${\displaystyle {W\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= W ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$w ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle \text{a}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle W_{1}(w_{1})=$인 경우다.$W_{2}(w_{1},w_{2})\ at\ w_${2$}=0}$이(가) 충족됨$$이는 ${\displaystyle {2-D\mathrm{}}_{}}$ 창의 주파수 응답 조각이 (${\displaystyle }$w 1,${\displaystyle {}_{}{w\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle (w_{1},w_{2})$의 방향이 임의인$$ 1-D 창의 그것과 같다는 것을 의미한다.In spatial domain, this relation is given by ${\displaystyle w_{1}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }\!w_{2}(n_{1},n_{2})\,dn_{2}}$. This implies that a slice of the frequency response ${\displaystyle W_{2}(w_{1},w_{2})}$ is the same as th${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ 2 (${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{n\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle w_{2}(n_{1},n_{2})}$의 2-D 창 단방향 통합의 푸리에 변환$.$

The advantage of this approach is that the individual features of 1-D window response ${\displaystyle W_{1}(w_{1})}$ are well preserved in the obtained 2-D window response ${\displaystyle W_{2}(w_{1},w_{2})}$. Also, the circular symmetry is improved considerably in a discrete system.단점은 2-D 역 푸리에 변환의 요구조건으로 인해 연산적으로 비효율적이어서 실제 사용에서는 유용성이 떨어진다는 것이다.^[3]

접근 IV

매클렐런 변환을 1-D 창에 적용하여 2-D 창을 설계하는 새로운 방법이 제안되었다.^[7]결과 2-D 창의 각 계수는 해당 1-D 창의 계수를 2 가중치의 정수 또는 검정력으로 선형 결합한 것이다.

길이가 짝수인 경우를 생각해 보면, 길이가 N인 1-D 창의 주파수 응답은 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle W_{1}(w)=\sum _{n=1}^{N/2}w(n)\cos[(n-0.5)w].}$

McClellan 변환 고려:

$\displaystyle \cos(w)=0.5\cos(w_{1})+0.5\cos(w_{2})+0.5\cos(w_{1})\cos(w_{2})-0.5}$

에 해당하는

${\displaystyle \cos(0.5w_{1}=\cos(0.5w_{1})\cos({2})\cos({2})\cos(0.5w_{2})\cos({2})\cos({2})\leq \leq \pi.}$

위의 내용을 대체하여 해당 2-D 창의 주파수 응답을 얻음

${\displaystyle W_{2}(w_{1},w_{2})=\sum _{n_{1}=1}^{N/2}\sum _{n_{2}=1}^{N/2}w_{2}(n_{1},n_{2})\cos[(n_{1}-0.5)w_{1}]\cos[(n_{2}-0.5)w_{2}].}$

위의 방정식으로부터 2-D창의 계수를 구할 수 있다.

이러한 접근 방식을 설명하려면 Tseng 창을 고려하십시오.${\displaystyle \mathrm{2N}}$ ${\displaystyle 2N}$ 가중치의$$ 1-D Tseng 창은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle W(w)=\exp(-jw/2)\sum _{n=1}^{n2}w_{n}}\cos \left(\왼쪽(n-{\frac {1}{1}{2}}\오른쪽)w\w\w\right\right)).}$

이 접근방식을 구현함으로써 2-D McClellan 변환된 Tseng 창의 주파수 응답은 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle W(w_{1},w_{2})=\exp(-j(w_{1}+w_{2})/2)\sum _{n_{1}=1}^{N}\sum _{n_{2}=1}^{N}4w(n_{1},n_{2})\cos \left(\left(n_{1}-{\frac {1}{2}}\right)w_{1}\right)\cos \left(\left(n_{2}-{\frac {1}{2}}\right)w_{2}\right)}$

$여기$서 w${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$n ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle w(n_{1},n_{2})$는 2-D Tseng 창 계수다.

이 창은 안테나 어레이 설계에서 AM 신호 탐지를 위한 응용 프로그램을 찾아낸다.^[8]

이점은 간단하고 효율적인 설계, 2-D 창의 거의 원형 대칭 주파수 응답, 1-D 창 프로토타입 특징을 보존하는 것이다.그러나 이 접근법을 FIR 필터 설계에 사용할 때 설계한 2-D 필터는 McClellan이 원래 제안한 필터보다 좋지 않다는 것이 관찰되었다.

2-D 창 기능

위의 접근방식을 이용하여 1-D 창 중 몇 개에 대해 2-D 창 기능을 다음과 같이 한다.윈도우 기능의 주파수 응답을 찾기 위해 행클 변환을 사용할 경우, 닫힌 형태로 나타내기 어렵다.직사각형 윈도우와 바틀렛 윈도우를 제외하고, 다른 윈도우 기능은 원래 일체형 형태로 표현된다.그 2차원 윈도우 함수 w로(r)표시된다{\displaystyle w(r)}이 있는의 지원에 의해서 r<>;{\displaystyle r<>;}이 어디 창은 설정할 일치하여 기원과 w(r))0{\displaystyle w(r)=0}에 r>.{\displaystyle r>a}은 핸켈 변환은 frequen이 사용됩니다.윈도우 기능의 cy 응답은 다음을 통해 제공된다.

${\displaystyle W(f)=\int _{0}^{\infit }\!rw(r)J_{0}(fr)\,dr.}$ ^[9]

여기서 $J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 베셀 함수 ID이다$$.

직사각형 창

원형 대칭 직사각형 창의 2차원 버전은 다음과^[9] 같다.

${\displaystyle ww(r)=\left\{\put\{\\nd{array}{ll1}1,&r \leqslant a\0,&r >a\\\end{array}\\rig}}$

창문은 높이가 1이고 밑면이 2a인 원통형이다.이 창문의 수직 단면은 1-D 직사각형 창이다.
Hankel 변환을 사용하여 위에서 정의한 윈도우 기능을 대체한 후 윈도우의 주파수 응답은 아래와 같다.

${\displaystyle W(f)=\int _{0}^{\ft }\!rJ_{0}(fr)\,dr}$

바틀렛 창

Bartlett 창문의 2차원 수학적 표현은 아래와^[9] 같다.

${\displaystyle ww(r)=\left\{{\precovery{array}{cl}-1-{\frac {r}a},&r \leqslant a\0,&r >a\end{array}}\right.}$

창문은 원뿔 모양으로 높이가 1과 같고, 밑면은 반지름 2a의 원형으로 되어 있다.이 창문의 수직 단면은 1-D 삼각 창이다.
Hankel 변환을 사용한 창의 푸리에 변환은 아래와 같다.

${\displaystyle W(f)=\int _{0}^{\inflt }\\\r\왼쪽(1-{\{\frac {}{a}\오른쪽)J_{0}(fr)\,dr}$

카이저 창

2-D 카이저 창은 다음과 같이 표현된다^[9].

${\displaystyle w(r)=\left\{\begin{array}{cl}{\frac {I_{0}\left(\alpha {\sqrt{1-({\frac {r}{a}}}}^{2}}\right)}{{{}}}}}}}}{I_{0}(\alpha )},&r \leqslant a\\\\[4pt]0,&{\text{otherwise}\end{array}}\right.}$

2-D 윈도우의 단면은 1-D 카이저 윈도우 기능의 응답을 제공한다.
Hankel 변환을 사용한 창의 푸리에 변환은 아래와 같다.

${\displaystyle W(f)=\int _{0}^{0}\\\r\좌({\tfrac {I_{0}\좌)(\알파 {\sqrt{1-({\frac {r}{a}}}}}^{2}}\우)}{{{0}}}}}}}}{{{{{{}}}}}}}I_{0}(\alpha )}}\오른쪽)J_{0}(fr)\,dr}$

참조