잘린 투영 평면

기하학에서, 이중 아핀 평면으로도 알려진 잘린 투영 평면(TPP)은 다음과 같은 방식으로 구성된 특별한 종류의 하이퍼그래프 또는 기하학적 구성이다.^[1][2]

• 유한 투영면을 취한다.
• 평면에서 점(수직) 중 하나를 제거한다.
• 해당 점을 포함하는 모든 선(에지)을 제거하십시오.

이 물체들은 많은 다른 환경에서 연구되었고, 종종 서로 독립적이어서, 많은 용어들이 개발되었다.또한 분야마다 이러한 물체에 대해 다른 유형의 질문을 하는 경향이 있으며 동일한 물체의 다른 측면에 관심이 있다.

예: Pasch 하이퍼그래프

순서 2의 투사 평면인 Fano 평면을 고려한다.7개의 꼭지점 {1,2,3,4,5,6,7}과(와) 7개의 가장자리 {123, 145, 167, 246, 257, 347, 356}을(를) 가지고 있다.

예를 들어, 정점 7과 이를 포함하는 가장자리를 제거하여 자를 수 있다.남은 하이퍼그래프는 순서 2의 TPP이다.6개의 꼭지점 {1,2,3,4,5,6}과(와) 4개의 가장자리 {123,154,624,653}을(를) 가지고 있다.면 {1,6},{2,5},{3,4}(정확히 제거된 정점 7의 이웃)이 있는 삼부 하이퍼그래프다.파슈의 공리와 연관되어 있어 파슈 하이퍼그래프로 불리기도 한다.^{[3]: 4}

2-정규 하이퍼그래프(각 꼭지점이 정확히 두 개의 가장자리에 있음)이며, 최대 일치는 크기 1(가장자리 두 개가 모두 교차함)이다.

이중 아핀 평면의 콤비네이터학

순서 n의 유한 투영 평면은 모든 선에 n + 1 점을 가진다(하이퍼그래프 설명에서 n + 1 = r).총점이 n² + n + 1이고 선 수가 같다.각 점은 n + 1 선에 있다.두 개의 구별되는 점이 모두 하나의 선에 놓여 있고, 각각의 구별되는 선들이 하나의 독특한 점에서 만난다.

한 점과 그 점을 통과하는 모든 선을 제거함으로써, 왼쪽의 구성은 n² + n 점, n 선을² 가지며, 각 점은 n 선에 있고 각 선은 n + 1 점을 포함한다.각각의 구별되는 선 쌍은 여전히 독특한 점에서 만나지만, 두 개의 구별되는 점이 최대 한 선에 있다.따라서 이 이중 부속 평면은 형식((n² + n)_n (n²))_{n + 1}의 구성이다.

점들은 각각 n + 1 세트의 n 포인트로 분할할 수 있으며, 여기서 동일한 파티션 세트의 두 포인트는 선으로 결합되지 않는다.이들 집합은 아핀 평면에 있는 평행선 클래스의 유사점이며, 일부 저자는 구조의 이중적 특성에 맞추어 칸막이 조각의 점을 평행점이라고 언급한다.^[4]

유한장(Descurges 평면)으로 구성된 투영 평면은 평면의 점에 대해 전이적으로 작용하는 자동형성 집단을 가지고 있기 때문에 이러한 평면의 경우 이중 아핀 평면을 형성하기 위해 제거한 지점은 중요하지 않으며, 다른 점들을 선택하는 결과는 이형성적이다.그러나, 데스투게스 이외의 평면이 존재하며, 그 평면에서 제거할 점을 선택하면 동일한 매개변수를 갖는 비 이형성 이중 아핀 평면이 발생할 수 있다.

부착 평면은 투영 평면에서 선과 해당 선의 모든 점을 제거하여 얻는다.투사 평면은 자기 이중 구성이므로, 부속 평면의 이중 구성은 투사 평면에서 해당 점을 통해 점 및 모든 선을 제거하여 얻는다.따라서 이 구성의 이름.

하이퍼그래프 속성

r-1이 주력이 될 때마다 r-1의 투사면이 존재하는 것으로 알려져 TPP도 마찬가지다.

순서 r-1의 유한 투영면은 r-r²+1 정점과 r-r²+1 에지를 포함하고 있으므로, 순서 r-1의 TPP는 r-r² 정점과 r-2r²+1 에지를 포함한다.

order r-1의 TPP는 r-partite hypergraph이다. 그 정점들은 r 파트로 분할될 수 있다. 그래서 각 hyperdge는 각 파트의 꼭지점을 정확히 한 개씩 포함하고 있다.예를 들어, 순서 2의 TPP에서 3부분은 {1,6}, {2,5}, {3,4}이다.일반적으로 각 r 부분은 r-1 정점을 포함한다.

TPP의 각 가장자리는 모든 다른 가장자리와 교차한다.따라서 최대 일치 크기는 1:

${\displaystyle \nu }$( ${\displaystyle H}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \nu (H)=1$

반면 TPP의 모든 가장자리를 덮으려면 한 부분의 r-1 정점이 모두 필요하다.따라서 최소 꼭지점 커버 크기는 r-1:

${\displaystyle \tau }$( H${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle r}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \tau(H)=r-1$

따라서 TPP는 라이저의 추측에 대한 극단적 과장이다.^[5][1][6]

TPP의 최소 분수 정점 커버 크기도 r-1이다. 각 정점에 1/r의 중량을 할당하면 크기(r-r²)/r=r-1이 된다.

또한 의 최대 분수 일치 크기는 r-1이다. 각 축성에 1/(r-1)의 가중치를 할당하면(각 정점이 r-1 가장자리에 포함되어 있으므로 일치) 크기(r-2r²+1)/(r-1)=r-1의 부분 일치가 발생한다.따라서 다음과 같다.^[7]

${\displaystyle {}^{}\tau {}^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$H${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \nu {}^{}}$(${\displaystyle H}$ ) = r${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \tau ^{*(H)=\nu ^{*}(H)=r-1$ .

위의 부분 일치는 크기가 r-partite 하이퍼그래프의 각 부분에 있는 정점의 수와 같기 때문에 완벽하다는 점에 유의하십시오.그러나 완벽한 매칭은 없으며, 더욱이 최대 매칭 크기는 1에 불과하다.이는 초당적 그래프에서 완벽한 부분 일치가 완벽한 일치의 존재를 암시하는 상황과 대조적이다.

설계이론적 측면

이중 부속 평면은 투사 평면의 점 잔여물,^[8] 1-설계,^[9] 그리고 보다 고전적으로 전술적 구성으로 볼 수 있다.^[10]

이들은 쌍으로 균형 잡힌 설계(PBD)가 아니기 때문에 설계이론적 관점에서 광범위하게 연구되지 않았다.그러나 전술적 구성은 기하학, 특히 유한 기하학의 중심 주제다.

역사

뎀보스키(1968, 페이지 5)에 따르면, "actical configuration"이라는 용어는 1896년 E. H. Moore에 기인하는 것으로 보인다.^[11]이중 구성의 내역은 이중성(프로젝트 형상)을 참조하십시오.#역사.

메모들

참조

• Beth, Thomas; Jungnickel, Dieter; Lenz, Hanfried (1986), Design Theory, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 3-411-01675-2
• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275