삼원삼각형

삼원삼각형은 파스칼의 삼각형의 변형이다.둘 사이의 차이점은 삼원 삼각형의 항목이 그 위에 있는 세 개의 항목(파스칼의 삼각형의 두 항목이 아닌)의 합이라는 것이다.

${\displaysty}&&&&&#1&&&#1&&#1&&&#1&&#2&#1&#1&#1&#3&#6&#1&#1&#1&#1&#1&#1&#1&#1&#1&#1$

$n$ $n$ -th $n$ 행의 k $k$ -th $k$ 항목은 다음으로 표시됨

{n \choose k}_{2}

{n \choose k}_{2}

)

{n \choose k}_{2}

{\

행은 0부터 세어진다. $n$ $n$ -th $n$ 행의 항목은 왼쪽에서 $-n$ $-n$ $-n$ 부터 색인화되며, 가운데 항목은 색인 0이 있다.중간 엔트리에 대한 행 엔트리의 대칭은 관계에 의해 표현된다.

{n \선택 k}_{2}={n \선택 -k}_{2}

특성.

$n$ $n$ -th $n$ 행은 $n$ $n$ -th $n$ 전원으로 상승된 $(1 + x + x^2)$ $(1+x+x^{2})$ 삼원 $(1+x+x^{2})$ + $(1+x+x^{2})$ + x $(1+x+x^{2})$ ) {\ $displaystyle(1+x+x^{2})$ 확장 다항식 확장의 계수에 해당한다.^[1]

\left(1+x+x^{2)}\오른쪽)^{n}=\sum _{j=0}^{2n}{n \선택 j-n}_{2}x^{j}=\sum _{k=-n}^{n \n \선택 k}_{2}x^{n+k}}}}}

아니면 대칭적으로

{\

^{n}=\sum _{k=-n}^{n}{n

}{n

\선택 k}_{2}x^{k

따라서 다항계수에 대한 관계 때문에 대체 이름 삼항계수:

{n \선택 k}_{2}=\sum _{\textstyle {0\leq\mu,\nu \leq n \lq n \atop \mu +2\n+k}{\frac {n!}}{\mu !\,\nu !\, (n-\mu -\nu )!}}

게다가, 대각선은 삼각형 숫자에 대한 관계와 같은 흥미로운 성질을 가지고 있다.

$n$ $n$ -th번째 $n$ 행의 요소의 합은 $3^{n}$ ${\$ 3 $^{n}$ 입니다 $3^{n}$

재발식

삼원계수는 다음과 같은 반복식을 사용하여 생성할 수 있다.^[1]

{0 \choose 0}_{2}=1

{0 \choose 0}_{2}=1

)

{0 \choose 0}_{2}=1

=

{0 \choose 0}_{2}=1

{\displaystyle {

0

\선택

0

}_{2}=1

{n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}

+

{n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}

{n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}

)

{n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}

= (

{n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}

{n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}

-

{n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}

) 2

{n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}

+

{n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}

( n

{n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}

)

{n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}

+

{n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}

(

{n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}

{n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}

+ 1

{n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}

)

{n+1 \choose k}_{2}={n \choose k-1}_{2}+{n \choose k}_{2}+{n \choose k+1}_{2}

{\

displaystyle {n+1 \선택

k

}_{2}={n \n

선택

k-1}_{2}+{n

선택

\n

선택

\

n\geq 0

\{n

선택 k

}}}{

n 선택

\

displaystylease

n\

c.

0

n\geq 0

.

${n \choose k}_{2}=0$ 서 ${n \choose k}_{2}=0$ ( ${n \choose k}_{2}=0$ ${n \choose k}_{2}=0$ ) 2 ${n \choose k}_{2}=0$ = ${n \choose k}_{2}=0$ ${\displaystyle {$ n $\select k}_$ {2 $}=0}$ $\ k<-n$ k $\ k<-n$ < - $\ k<-n$ {\ $displaystyle$ \ $k<-$ $n$ $}$ $\ k>n$ k > $\ k>n$ {\ $displaystyle$ \ $k$

중심삼원계수

삼원삼각형의 중간 항목

1, 1, 3, 7, 19, 51, 141, 393, 1107, 3139, … (OEIS의 경우 시퀀스 A002426)

오일러에 의해 연구되었고 중심 삼원계수로 알려져 있다.

$n$ $n$ -번째 $n$ 중심 3원 계수는 다음과 같이 지정된다.

{n \선택 0}_{2}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n(n-1)\cdots (n-2k+1){(k!)}{(k!)^{2}}=\sum _{k=0}^{n}{n \선택 2k}{2k \선택 k}.

그들의^[2] 생성 기능은

1+x+3x^{2}+7x^{3}+19x^{4}+\ldots ={\frac {1}{\sqrt{(1+x)(1-3x)}}}}}}.

오일러는 다음과 같은 예시적 기억유도증("잘못된 유도의 예")에 주목했다.

(

+ 1

3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)

)

3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)

-

3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)

(

3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)

n

3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)

+

3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)

0

3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)

) 2

3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)

=

3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)

3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)

3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)

n

3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)

+ 1

3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)

)

{\displaystyle 3{n+1 \선택 0}_{2}-{n+2 \선택

0

}=F_{n}(F_{n}+1

)에서

3{n+1 \choose 0}_{2}-{n+2 \choose 0}_{2}=F_{n}(F_{n}+1)

0\leq n\leq 7

0\leq n\leq 7

0\leq n\leq 7

≤ 7

{\displaystytyleq

n

\7

여기서 $F_{n}$ $F_{n}$ ${\$ 는 $F_{n}$ n번째 피보나치 수입니다.그러나 더 큰 $n$ ${\displaystyle n$ 의 경우 이 관계는 부정확하다.조지 앤드류스는 일반적인 정체성을 이용해 이 오류를 설명했다^[3].

2\sum _{k\in \mathb {Z}}\왼쪽[{n+1 \선택 10k}_{2}-{n+1 \선택 10k+1}_{2}\right]=F_{n}(F_{n}+1)

적용들

체스에서.

최소 이동 수로 셀에 도달하는 방법 수

삼각형은 체스 게임에서 왕이 취할 수 있는 가능한 경로의 수에 해당한다.셀의 항목은 왕이 셀에 도달하기 위해 취할 수 있는 다른 경로의 수를 나타낸다.

조합어로

$\left(1+x+x^{2}\right)^{n}$ + $\left(1+x+x^{2}\right)^{n}$ + $\left(1+x+x^{2}\right)^{n}$ $\left(1+x+x^{2}\right)^{n}$ )의 다항식 확장 시 $x^{k}$ $x^{k}$ $x^{k}$ ${\$ 의 계수 $\$ ) $}\오른쪽)$ $^{n$ $}}}$ 은(는) 두 세트의 $n$ 한 $n$ 플레이 카드에서 k ${\displaystyle$ $k}$ $k$ 를 $k$ 무작위로 그리는 여러 가지 방법을 지정한다 $\left(1+x+x^{2}\right)^{n}$ .^[4]예를 들어, 세 개의 카드 A, B, C 중 두 세트가 있는 카드 게임에서 선택은 다음과 같다.

선택한 카드 수	옵션 수	옵션들
0	1
1	3	A B C
2	6	AA, AB, AC, BB, BC, CC
3	7	AAB, AAC, ABB, ABC, ACC, BBC, BCC
4	6	AAB, AABC, ABC, ABC, ABC, BBCC, BBCC
5	3	AABBC, AABCC, ABBCC
6	1	AABBCC

특히 ${24 \choose 12-24}_{2}={24 \choose -12}_{2}={24 \choose 12}_{2}$ ( ${24 \choose 12-24}_{2}={24 \choose -12}_{2}={24 \choose 12}_{2}$ ${24 \choose 12-24}_{2}={24 \choose -12}_{2}={24 \choose 12}_{2}$ - ${24 \choose 12-24}_{2}={24 \choose -12}_{2}={24 \choose 12}_{2}$ ) 2 ${24 \choose 12-24}_{2}={24 \choose -12}_{2}={24 \choose 12}_{2}$ = ${24 \choose 12-24}_{2}={24 \choose -12}_{2}={24 \choose 12}_{2}$ ( ${24 \choose 12-24}_{2}={24 \choose -12}_{2}={24 \choose 12}_{2}$ - ${24 \choose 12-24}_{2}={24 \choose -12}_{2}={24 \choose 12}_{2}$ ) ${24 \choose 12-24}_{2}={24 \choose -12}_{2}={24 \choose 12}_{2}$ = ${24 \choose 12-24}_{2}={24 \choose -12}_{2}={24 \choose 12}_{2}$ ( ${24 \choose 12-24}_{2}={24 \choose -12}_{2}={24 \choose 12}_{2}$ ${24 \choose 12-24}_{2}={24 \choose -12}_{2}={24 \choose 12}_{2}$ ) ${24 \choose 12-24}_{2}={24 \choose -12}_{2}={24 \choose 12}_{2}$ ${\$ }}: 도플코프 게임에서 다른 손의 수로 선택한다 ${24 \choose 12-24}_{2}={24 \choose -12}_{2}={24 \choose 12}_{2}$ .

또는 ${n \choose p}$ (n $){\$ 인 두 세트에서 동일한 카드를 $p$ $p$ 쌍을 $p$ 선택하는 방법의 수를 고려하여 이 숫자에 도달하는 것도 가능하다 ${n \choose p}$ 그런 다음 $k-2p$ k $k-2p$ - $k-2p$ $k-2p$ 카드를 $k-2p$ ${n-p \choose k-2p}$ ( ${n-p \choose k-2p}$ - ${n-p \choose k-2p}$ - ${n-p \choose k-2p}$ ) ${\$ 방법으로 ${n-p \choose k-2p}$ 선택할 수 있으며,^[4] 이 카드들은 이항계수의 관점에서 다음과 같이 작성할 수 있다.

{\

}}{n \p 선택}{n-p \k-2p}} 선택

예를 들어,

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

= (

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

- 3

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

)

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

=

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

(

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

)

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

(

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

3

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

) +

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

( 3

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

) ( 2

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

)

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

=

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

⋅

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

+

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

1 {\

displaystyle 6={3 \선택 2-3}

_{

2}={3

\선택 0}{3 선택 0

} \

3 \{3 \

선택

2}+{3

\2

선택 \{2 \{2

6={3 \choose 2-3}_{2}={3 \choose 0}{3 \choose 2}+{3 \choose 1}{2 \choose 0}=1\cdot 3+3\cdot 1

\ 선택 \{{{2 \{{{{{{{2}}} \선택 0=1=1} \선택 0=

1}

\

cdot 3

\1}}

위의 예는 동일한 카드 쌍이 없는 두 카드를 선택하는 세 가지 방법(AB, AC, BC)과 동일한 카드 쌍을 선택하는 세 가지 방법(AA, BB, CC)에 해당한다.

참조

^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Trinominal Coefficient". MathWorld.
^ Weisstein, Eric W. "Central Trinomial Coefficient". MathWorld.
^ 조지 앤드류스, 파티션을 위한 세 가지 측면세미나레 로트하링엔 드 콤비나토레, B25f (1990) 온라인 카피
^ ^a ^b 안드레아스 스틸러: 페헨마테마틱. 트리노미알레와 도펠코프("페어수학")이다.트리노미알스와 도플코프 게임)이다.c't Value 10/2005, 페이지 181f

추가 읽기

Leonhard Euler (1767). "Observationes analyticae ("Analytical observations")". Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 11: 124–143.

[MathWorldTrinomialCoefficient-1] Weisstein, Eric W. "Trinominal Coefficient". MathWorld.

[2] Weisstein, Eric W. "Central Trinomial Coefficient". MathWorld.

[3] 조지 앤드류스, 파티션을 위한 세 가지 측면세미나레 로트하링엔 드 콤비나토레, B25f (1990) 온라인 카피

[ct200510-4] 안드레아스 스틸러: 페헨마테마틱. 트리노미알레와 도펠코프("페어수학")이다.트리노미알스와 도플코프 게임)이다.c't Value 10/2005, 페이지 181f

[1]

[2]

[3]

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