전송행렬법(광학)

레이어를 통한 광선의 전파

전달행렬법은 광학 및 음향학에서 층화매체를 ^[1]통한 전자파 또는 음향파의 전파를 분석하기 위해 사용되는 방법이다.이것은 예를 들어 반사 방지 코팅 및 유전체 거울의 설계와 관련이 있다.

2개의 매체 간의 단일 인터페이스로부터의 빛의 반사는 프레넬 방정식으로 설명됩니다.단, 그림처럼 인터페이스가 여러 개 있는 경우 반사 자체도 부분적으로 전송되어 부분적으로 반영됩니다.정확한 경로 길이에 따라 이러한 반사는 파괴적 또는 건설적으로 간섭할 수 있습니다.레이어 구조의 전체 반사는 무한히 많은 반사의 합입니다.

전달 매트릭스 방법은 맥스웰 방정식에 따르면 한 매체에서 다음 매체까지의 경계를 가로지르는 전기장에 대한 단순한 연속성 조건이 있다는 사실에 기초한다.레이어 시작 부분에서 필드가 알려진 경우 레이어 끝의 필드는 단순한 매트릭스 연산에서 파생될 수 있습니다.레이어 스택은 개별 레이어 매트릭스의 산물인 시스템 매트릭스로 나타낼 수 있습니다.이 방법의 마지막 단계는 시스템 매트릭스를 반사 및 전달 계수로 다시 변환하는 것을 포함합니다.

전자파에 대한 형식주의

아래는 전송 매트릭스가 정상 입사 시 층을 통해 전파되는 특정 주파수의 전자파(예를 들어 빛)에 어떻게 적용되는지 설명합니다.각도로 입사, 흡수 매체 및 자기 성질을 가진 매체를 다루도록 일반화할 수 있습니다.스택 레이어는 $z\,$ 에 대해 정상이며, 한 레이어 내의 필드는 파형 $k\,$ k $(\$ $z\,$ k $k\,$ 의 $z\,$ 좌우 이동 파형의 중첩으로 표현될 수 있다고 가정합니다.

displaystyle

E_{r}e^{ikz}+E_{l}e^{-ikz

Maxwell의 방정식에 따르면 $E\,$ E(\ $displaystyle$ E $,})$ 와 자기장(그 정규화 ${\textstyle H={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE}{dz}}\,}$ ) ${\textstyle H={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE}{dz}}\,}$ ${\textstyle H={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE}{dz}}\,}$ ${\textstyle H={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE}{dz}}\,}$ ${\textstyle H={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE}{dz}}\,}$ ${\textstyle H={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE}{dz}}\,}$ d ${\textstyle H={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE}{dz}}\,}$ d ${\textstyle H={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE}{dz}}\,}$ z { $textstyle$ H = $scsfrac {$ 1} { $ik} Z_{c}{\frac$ {dE} { $dz}}}}}$ 는 ${\textstyle H={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE}{dz}}\,}$ 경계를 가로지르는 연속이어야 하기 때문에 편리합니다. ${\textstyle (E(z),H(z))\,}$ ${\textstyle (E(z),H(z))\,}$ ( ${\textstyle (E(z),H(z))\,}$ ) ${\textstyle (E(z),H(z))\,}$ { $textstyle (E(z), H(z$ 여기서

H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,

(

H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,

)

H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,

H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,

Z

H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,

H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,

H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,

H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,

k

H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,

-

H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,

H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,

H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,

H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,

H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,

e -

H(z)={\frac {1}{Z_{c}}}E_{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}}E_{l}e^{-ikz}\,

\

displaystyle

H ( z ) =

scsfrac {1}

E_

{r}e^{ikz}-{\frac {1}{Z_{c}}E_{l}-{ikz

$H\,$ $E_{r}\,$ $displaystyle$ $E_{$ $r$ 와 E\ $displaystyle E_{l$ 에 $E_{r}\,$ $E_{r}\,$ 된 두 개의 방정식이 있으므로 이 두 표현은 동일합니다.새로운 표현에서는 $L\,$ L(\ $displaystyle$ L $,)$ 에서 $L\,$ z $(\$ z $,)$ 의 $z\,$ $z\,$ 의 방향으로의 전파를 특수 선형군 SL(2, C)에 속하는 행렬로 기술한다.

{\displaystyle M=\left({\begin{array}{cc}\cos kL&iZ_{c}\{\frac {i}{z_{c}}}\sin kL&\cos kL\end {array}}\right})

그리고.

\displaystyle \left({\begin{array}{c}E(z+L)\H(z+L)\end{array}}\오른쪽)=M\cdot \left({\begin{array}{c}E(z)\H(z)\end{array}}\right)}

이러한 매트릭스는 $k\,$ k $,}$ 가 $k\,$ 매질 내의 파형 $L\,$ 이고 L $\$ L $,}$ 레이어의 $L\,$ 두께인 $k\,$ 레이어를 통한 전파를 나타낼 수 있습니다. $N개의$ 레이어가 있는 $N\,$ 의 경우 각 $j\,$ 에는 전송 $N\,$ 매트릭스 $N\,$ $j\,$ $디스플레이 스타일$ $j\,$ M_ ${j$ 가 있으며 $,$ $j\,$ 서 j(\ $displaystyle$ j $,}$ 는 $j\,$ 더 높은 z $($ $스타일 z,)$ 값으로 $z\,$ 증가합니다.시스템 전송 매트릭스는 다음과 같습니다.

\displaystyle M_{s}=M_{N}\cdot\ldots\cdot M_{2}\cdot M_{1}.}

일반적으로 레이어 구조의 반사율과 투과율을 알고 싶습니다.레이어 스택이 z $z=0\,$ {\ $displaystyle$ z $=0$ 에서 $z=0\,$ 된 경우 $z\,$ 의 $z\,$ z {\ $displaystyle$ z $}$ 의 경우 $z\,$ 필드는 다음과 같습니다.

E_{L}(z)=E_{0}e^{ik_{L}z}+rE_{0}e^{-ik_{L}z},\qquad z<0,

$E_{0}\,$ 서 $E_{0}\,$ 0 $displaystyle E_{0},)$ 은 $E_{0}\,$ $k_{L}\,$ 들어오는 파형의 진폭, $k_{L}\,$ $displaystyle k_{L},$ $\$ r $\)$ 은 $r\,$ 레이어 구조의 진폭(강도가 아님) 반사 계수입니다.레이어 구조의 다른 쪽에서는 필드가 오른쪽 전파 전송 필드로 구성됩니다.

\displaystyle E_{R}(z)=tE_{0}e^{ik_{R}z},\qquad z>L',}

$t\,$ 서 t $t\,$ {\ $displaystyle$ t $}$ 는 $t\,$ 진폭 투과율, $k_{R}\,$ $displaystyle k_$ {R $},})$ 은 $k_{R}\,$ 맨 오른쪽 매체의 파형 $번호$ , L{\(\ $displaystyle$ L $')$ 은 $L'$ 총 두께입니다. ${\textstyle H_{L}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{L}}{dz}}\,}$ L ${\textstyle H_{L}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{L}}{dz}}\,}$ ${\textstyle H_{L}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{L}}{dz}}\,}$ ${\textstyle H_{L}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{L}}{dz}}\,}$ Z ${\textstyle H_{L}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{L}}{dz}}\,}$ ${\textstyle H_{L}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{L}}{dz}}\,}$ E ${\textstyle H_{L}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{L}}{dz}}\,}$ ${\textstyle H_{L}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{L}}{dz}}\,}$ z {\ $textstyle H_$ {L} = $flac {1}$ { $ik}Z_{c}{\frac {dE_{}$ 인 ${\textstyle H_{L}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{L}}{dz}}\,}$ $L}}{dz}},}$ 및 ${\textstyle H_{L}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{L}}{dz}}\,}$ ${\textstyle H_{R}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{R}}{dz}}\,}$ $=$ ${\textstyle H_{R}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{R}}{dz}}\,}$ ${\textstyle H_{R}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{R}}{dz}}\,}$ Z ${\textstyle H_{R}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{R}}{dz}}\,}$ d ${\textstyle H_{R}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{R}}{dz}}\,}$ ${\textstyle H_{R}={\frac {1}{ik}}Z_{c}{\frac {dE_{R}}{dz}}\,}$ z {\ $textstyle H_$ {R}= $sq$ frac ${1}{c}Z_{\frac {dE_{R}{dz$ 그러면 해결할 수 있습니다.

\displaystyle \left({\begin{array}{c}E(z_{R})\H(z_{R})\end{array}}\오른쪽)=M\cdot \left({\begin{array}{c}E(0)\H(0)\end{array}}\right)}

시스템 $M_{s}\,$ $M_{s}\,$ 의 매트릭스 $M_{mn}\,$ $M_{mn}\,$ $M_{mn}\,$ n $displaystyle$ M_ ${mn},})$ 과 $M_{{mn}}\,$ $M_{s}\,$ 관련하여 다음을 구합니다.

t=2ik_{L}e^{-ik_{R}L}\left[{\frac {1}{-M_{214}+k_{L}k_{R}M_{12}+i(k_{R}M_{11}+k_{L}M_{22}}\right]

그리고.

k

L}k_{R}M_{12}+i(k_{)

L_{22}-k_{R}M_{11}}{(-M_{21)+k_{

L}k_{R}M_{12}+i(k_{)

L}M_{22}+k_{R}M_{11}}}\right

투과율 및 반사율(즉, 레이어에 의해 전달 및 반사된 입사 ${\textstyle \left|E_{0}\right|^{2}}$ E $(\$ E_ ${0}\right$ ^{ $2})$ 의 ${\textstyle \left|E_{0}\right|^{2}}$ 분율)은 종종 보다 실용적이며 ${\textstyle T={\frac {k_{R}}{k_{L}}}|t|^{2}\,}$ ${\textstyle T={\frac {k_{R}}{k_{L}}}|t|^{2}\,}$ ${\textstyle T={\frac {k_{R}}{k_{L}}}|t|^{2}\,}$ k ${\textstyle T={\frac {k_{R}}{k_{L}}}|t|^{2}\,}$ t 2(\ $textstyle$ T = $sclac {k_$ {R $}}{$ 에 의해 ${\textstyle T={\frac {k_{R}}{k_{L}}}|t|^{2}\,}$ . $L}} t$ ^{ $2},}$ $R=|r|^{2}\,$ R $=$ $R=|r|^{2}\,$ $정상$ 발생 시 $R=|r|^{2}\,$

예

예를 들어 굴절률 n과 두께 d를 가진 단일 유리층을 파수 k(공기 중)로 공기 중에 부유시킨 것으로 한다.유리에서 파형 번호는 $k'=nk\,$ $=$ $k'=nk\,$ k $(\$ k'= $display$ )입니다. 전송 매트릭스는 다음과 같습니다.

M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)

M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)

(

M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)

M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)

M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)

M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)

M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)

sin

M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)

( k

M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)

) /

M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)

- k

M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)

sin

M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)

M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)

d

M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)

)

M=\left({\begin{array}{cc}\cos k'd&\sin(k'd)/k'\\-k'\sin k'd&\cos k'd\end{array}}\right)

(

displaystyle

M

=

\

left

( { \

begin

{

array

} {

cc

} \

cos k'd

& \ cos k

'd

\

cos

{ k'

d }

)

진폭 반사 계수는 다음과 같이 단순화할 수 있습니다.

r =

(

r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}

/

r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}

-

r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}

)

r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}

r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}

（

r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}

r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}

r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}

） sin （ n

r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}

+

1

/

r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}

）

r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}

r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}

、

r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}

）

r={\frac {(1/n-n)\sin(k'd)}{(n+1/n)\sin(k'd)+2i\cos(k'd)}}

（

n

）

sin

（ n + 1 /

n

）

sin （ n

） 2 \

cos

이 구성은 효과적으로 Fabry-Péro 간섭계 또는 에탈론을 기술합니다.k ${\textstyle k'd=0,\pi ,2\pi ,\cdots \,}$ ${\textstyle k'd=0,\pi ,2\pi ,\cdots \,}$ $=$ , ${\textstyle k'd=0,\pi ,2\pi ,\cdots \,}$ , ${\textstyle k'd=0,\pi ,2\pi ,\cdots \,}$ ${\textstyle k'd=0,\pi ,2\pi ,\cdots \,}$ , ${\$ \ $textstyle$ k'd ${\textstyle k'd=0,\pi ,2\pi ,\cdots \,}$ = 0 , $\pi$ , 2 \pi , \ $cdots$ , ${\textstyle k'd=0,\pi ,2\pi ,\cdots \,}$ 의 ${\textstyle k'd=0,\pi ,2\pi ,\cdots \,}$ 반사가 사라집니다.

음파

음파에 전달 매트릭스법을 적용할 수 있다.전계 E 및 그 미분 F 대신 변위 $\sigma =Cdu/dz$ 및 응력 $=$ $\sigma =Cdu/dz$ $\sigma =Cdu/dz$ $\sigma =Cdu/dz$ $\sigma =Cdu/dz$ 서 $C$ ${\$ $displaystyle$ \displaystyle $C$ $}$ 는 $C$ p파 계수)를 사용해야 합니다.

아벨 행렬 형식주의

계층화 인터페이스로부터의 반사

Abeles 매트릭스^[2]^[3]^[4] 방법은 수직 운동량 전달의_z 함수로서 계층화된 인터페이스에서 스펙트럼 반사율을 계산적으로 빠르고 쉽게 계산할 수 있는 방법입니다. Q:

Q_{z}=flac {4\pi}{\sin \theta = 2k_{z}

여기서 θ는 입사 방사선의 입사/반사 각도이고 θ는 방사선의 파장이다.측정된 반사율은 인터페이스에 수직인 산란길이밀도(SLD) 프로파일의 변동에 따라 달라집니다.산란길이밀도 프로파일은 통상적으로 연속적으로 변화하는 함수이지만, 표면구조는 종종_n 두께(d), 산란길이밀도_n(θ) 및 거칠기_n,n+1(θ)의 층이 초상과 부상 사이에 끼어 있는 슬래브 모델에 의해 잘 근사될 수 있다.그런 다음 각 층을 설명하는 매개변수를 변경하여 이론적 반사율 곡선과 측정된 반사율 곡선 사이의 차이를 최소화하기 위한 정제 절차를 사용한다.

이 설명에서는 인터페이스가 n개의 레이어로 분할되어 있습니다.입사 중성자 빔은 각 층에 의해 굴절되기 때문에 층 n의 파동 벡터 k는 다음과 같이 구해진다.

({displaystyle k_{n}=sqrt {k_{z}}^2}-4\pi({\rho}_{n}-{\rho}_{0}})})

다음으로 레이어 n과 n+1 사이의 플레넬 반사 계수를 다음에 나타냅니다.

r_{n,n+1}=snfrac {k_{n}-k_{n+1}{k_{n}+k_{n+1}

각 레이어 간의 인터페이스가 완전히 평활할 가능성은 낮기 때문에 각 인터페이스의 거칠기/확산성은 프레넬 계수를 수정하고 Nevot and Croce(1980)에 의해 기술된 오류 함수에 의해 설명됩니다.

({displaystyle r_{n,n+1}=param frac {k_{n}-k_{n+1}}\exparam 2k_{n}k_{n+1}{\param _{n,n+1})

각 층의 두께를 설명하는 위상 인자 β가 도입된다.

\displaystyle _{0}=0}

{\displaystyle_{n}=ik_{n}d_{n}}

$i^{2}=-1$ 서 i 2 $=$ - $i^{2}=-1$ {\ $displaystyle$ i $^{2$ }=- $1$ 각 층에 대해 특성 행렬 c가_n 계산됩니다.

\displaystyle c_{n}=\left[{\display {array}{cc}\exp \left(\display _ {n}\right)\exp \retft(\display _ {n}\right)\exp \retft \ exp _ right \ exp _ right }

결과 행렬은 이러한 특성 행렬의 곱으로 정의됩니다.

M=\prod _{n}c_{n}

반사율은 다음과 같이 계산됩니다.

R=\left {Frac {M_{10}}}{M_{00}}\right ^{2}

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Born, M.; Wolf, E., 광학 원리: 빛의 전파, 간섭 및 회절의 전자기 이론.옥스퍼드, 퍼가몬 출판사, 1964년
^ 오에스 천국박막의 광학 특성.런던, 버터워스(1955년).
^ Névot, L.; Croce, P. (1980). "Caractérisation des surfaces par réflexion rasante de rayons X. Application à l'étude du polissage de quelques verres silicates". Revue de Physique Appliquée (in French). EDP Sciences. 15 (3): 761–779. doi:10.1051/rphysap:01980001503076100. ISSN 0035-1687.
^ Abelès, Florin (1950). "La théorie générale des couches minces" [The generalized theory of thin films]. Journal de Physique et le Radium (in French). EDP Sciences. 11 (7): 307–309. doi:10.1051/jphysrad:01950001107030700. ISSN 0368-3842.

추가 정보

다층 반사율: 복잡한 굴절률을 가진 다층으로부터 투과 및 반사 확률을 도출하는 첫 번째 원리입니다.
MIT 오픈 코스의 레이어드 재료 및 포토닉 밴드 다이어그램(강연 23) 전자, 광학 및 자기 재료 특성.
MIT 오픈코스 나노-마크로 트랜스포트 프로세스에서 박막 및 멀티레이어를 통한 전자파 전파(강연 13)짧은 토론 음파를 포함합니다.

외부 링크

이 계산을 실행하는 컴퓨터 프로그램은 다음과 같습니다.

FreeSnell은 입상 필름과 같은 고급 측면을 포함하여 전송 매트릭스 방식을 구현하는 독립 실행형 컴퓨터 프로그램입니다.
Thinfilm은 전송 매트릭스 방법을 구현하는 웹 인터페이스로, 반사 및 투과 계수를 출력하고 타원형 파라미터 Psi 및 Delta도 출력합니다.
Luxpop.com은 전송/전송 방식을 구현하는 다른 웹 인터페이스입니다.
Python 및 Mathematica의 전송 매트릭스 계산 프로그램.
EMPy(Electragnetic Python) 소프트웨어.
motofit은 중성자 및 X선 반사계 데이터를 분석하기 위한 프로그램이다.
OpenFilters는 광학 필터를 설계하기 위한 프로그램입니다.
Py_matrix는 임의 유전체 텐서를 가진 다층용 전송 매트릭스 방법을 구현하는 오픈 소스 Python 코드입니다.이것은 플라스모닉 계산과 자기 플라스틱 계산을 위해 특별히 만들어졌습니다.
매트릭스 방법 및 네보-크로스 거칠기 근사(Emscripten을 통해 C에서 변환된 계산 커널)을 사용한 브라우저 내 계산기 및 핏터 Javascript 대화형 반사율 계산기

[1] Born, M.; Wolf, E., 광학 원리: 빛의 전파, 간섭 및 회절의 전자기 이론.옥스퍼드, 퍼가몬 출판사, 1964년

[2] 오에스 천국박막의 광학 특성.런던, 버터워스(1955년).

[3] Névot, L.; Croce, P. (1980). "Caractérisation des surfaces par réflexion rasante de rayons X. Application à l'étude du polissage de quelques verres silicates". Revue de Physique Appliquée (in French). EDP Sciences. 15 (3): 761–779. doi:10.1051/rphysap:01980001503076100. ISSN 0035-1687.

[4] Abelès, Florin (1950). "La théorie générale des couches minces" [The generalized theory of thin films]. Journal de Physique et le Radium (in French). EDP Sciences. 11 (7): 307–309. doi:10.1051/jphysrad:01950001107030700. ISSN 0368-3842.

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