얇은 판 스플라인

박판 스플라인(TPS)은 데이터 보간 및 평활을 위한 스플라인 기반 기법이다.그들은 두촌에 의해 기하학적 디자인을 소개받았다.^[1]그것들은 다화학적 스플라인에 대한 중요한 특별한 경우다.RPM(Robust Point Matching)은 일반적인 확장이며 TPS-RPM 알고리즘으로 알려져 있다.^[2]

물리 유추

얇은 판 스플라인이라는 이름은 얇은 금속판의 구부러짐과 관련된 물리적 유추를 말한다.금속의 강성이 강하듯이 TPS 핏은 또한 구부러지지 않으며, 이는 장착 표면의 부드러움과 관련된 페널티를 의미한다.물리적 설정에서 편향은 $평면$에 직교하는 z ${\displaystyle z}$ 방향에$$ 있다.이 아이디어를 좌표 변환 문제에 적용하기 위해 플레이트 리프팅을 $평면{\displaystyle }$ 내 x ${\displaystyle$ x$}$ 또는$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ 좌표의$$ 변위로 해석한다.2D 사례에서, $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 해당하는 포인트 세트가 주어진 경우, TPS Warp는 6개의 글로벌 아핀 모션 파라미터와 ${\displaystyle \mathrm{2K}}$ ${\displaystyle$ $2(K+3$)의$$ 제어 포인트 대응 계수를$$ 포함하는 $2{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle 3}$) ${\$displaysty $2K}$이러한 파라미터들은 선형 시스템을 풀어서 계산되는데, 다시 말해서 TPS는 폐쇄형 솔루션을 가지고 있다.

평활도 측정

TPS는 두 번째 파생상품의 제곱의 적분인 매끄러운 정도를 고려하여 발생한다.$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 2차원인 경우 보간을 위해 TPS는 다음과 같은 에너지 기능을 최소화하는$$ 해당 포인트 세트 $\{{\displaystyle y_{}}$}$${\$displaystyle$\{$y_{i$${\displaystyle \{x_{i}\}}}$ 사이에$$$$ 매핑 $함수{\displaystyle }$ f$x$를 적합시킨다.

${\displaystyle E_{\mathrm {tps}} }(f)=\sum _{i=1}^{K}\y_{i}-f(x_{i})\{2}}$

평활변형은 그에 상응하여 튜닝 매개변수 ${\displaystyle \lambda }$를 사용하여$$ 변형의 강성을 제어함으로써 앞에서 언급한 기준과 적합도 측정의 균형을 유지하여 다음을 최소화한다.

${\displaystyle E_{\mathrm {tps} ,\mathrm {smooth} }(f)=\sum _{i=1}^{K}\ y_{i}-f(x_{i})\ ^{2}+\lambda \iint \left[\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}\right)^{2}\right]{\textrm {d}}x_{1}\,{\textrm {d}}x_{2}}$

이러한 변수 문제에 대해서는 고유한 $미니마이저{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$이(가) 존재함을 보여줄 수 있다.$$^[3]탄성 맵의 방법인 이 변동 문제의 유한요소 탈소화는 데이터 마이닝과 비선형 치수 감소를 위해 사용된다.

반지름 기준 함수

얇은 판 스플라인에는 방사상 염기함수의 측면에서 자연적으로 표현된다.제어 지점${\displaystyle }${${\displaystyle c}$ ${\displaystyle i_{}}$, i${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2${\displaystyle }$,${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{c_{i},i=1,2,\ldots,K\}}}$을(를) 지정하면 방사상 기준 함수는 공간에 있는$$ 모든 $위치{\displaystyle }$ x$$${\displaystyle x$을($)$로 나타내는 공간 매핑을 정의한다$.$

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{K}w_{i}\varphi(\왼쪽\x-c_{i}\오른쪽\ )}$

여기서 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \{}$ ${\$은(는) 일반적인 유클리드 규범을 나타내며$$ {${\displaystyle w_{}}{\displaystyle }$i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{w_{i}\}\}}}$은(는) 매핑 계수의 집합이다$$.TPS는 방사상 기반 커널 $\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$)${\displaystyle }$= r ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle }$ r ${\displaystyle \varphi (r)=r^{2}\log$ r$}$에 해당한다$.$

스플라인

점이 2차원이라고 $$합시다${\displaystyle (\mathrm{D}}$= 2 {\$displaystyle$ D=$2}).$점 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가${\displaystyle \mathrm{벡터}}$(1${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle$(1$,y_{ix},y_{iy}})$로 표시되는 점 집합에 균일한 좌표를 사용할 수 있다$.$고유 미니마이저 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f}$은(는) $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 의해 매개 변수화되며$$,$$$$ = ${\displaystyle \{\backslash d}$, c${\displaystyle \}}$ {\$displaystyle \alpha =\d,c\})$ 두 개의 $행렬$로 구성된다.$$$$

${\displaystyle f_{tps}(z,\alpha )=f_{tps}(z,d,c)=z\cdot d+\phi (z)\cdot c=z\c+\sum _{i=1}^{K}\phi_{i}}$

where d is a ${\displaystyle (D+1)\times (D+1)}$ matrix representing the affine transformation (hence ${\displaystyle z}$ is a ${\displaystyle 1\times (D+1)}$ vector) and c is a ${\displaystyle K\times (D+1)}$ warping coefficient matrix representing the non-affine deformation. The kernel function ${\displaystyle \phi (z)}$ is a ${\displaystyle 1\times K}$ vector for each point ${\displaystyle z}$, where each entry ${\displaystyle \phi _{i}(z)=\ z-x_{i}\ ^{2}\log \ z-x_{i}\ }$. Note that for TPS, the control points $$${\displaystyle \{{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \{c_$$i$$}\}}$은(는) 뒤틀릴 포인트 집합과 동일하게 선택되므로$,{\displaystyle }$ 이미 제어 포인트의 위치에${\displaystyle }${${\displaystyle {xi}_{}}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}}}$을(를) 사용하고 있다$.$

솔루션을 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$로$$${\displaystyle {대체}_{}}$하는 ${\displaystyle {\mathrm{경우}}_{}}$, ${\displaystyle E_{}}$t p s {\$displaystyle$ E_${tps}$는 다음과 같이 된다$$.

${\displaystyle E_{tps}(d,c)=\ Y-Xd-\Phi c\ ^{2}+\lambda c^{T}\Phi c}$

where ${\displaystyle Y}$ and ${\displaystyle X}$ are just concatenated versions of the point coordinates ${\displaystyle y_{i}}$ and ${\displaystyle x_{i}}$, and ${\displaystyle \Phi }$ is a ${\displaystyle (K\times K)}$ matrix formed from the ${\d$$isplaystyle \phi (\ x_{i}-x_{j}\$ $)\}.$ 새로 형성된 매트릭스의 각 행은 원래 벡터 중 하나에서 나온다.매트릭스 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ \$Phi }$은(는) TPS 커널을 나타낸다$$.느슨하게 말하면, TPS 커널은 포인트 세트의 내부 구조 관계에 대한 정보를 포함하고 있다.뒤틀림 계수 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ c$}$와$$결합하면 비강성 뒤틀림이 생성된다.

TPS의 좋은 특성은 그것이 항상 글로벌 아핀과 로컬 비 아핀 컴포넌트로 분해될 수 있다는 것이다.따라서 TPS 부드러움 항은 비-아핀 구성요소에 전적으로 의존한다.이는 특히 아핀 변환에 포함된 글로벌 포즈 파라미터는 불이익을 받지 않기 때문에 다른 스플라인과 비교할 때 바람직한 특성이다.

적용들

TPS는 영상 정렬 및 형상 일치에서 비강체 변환 모델로 널리 사용되어 왔다.^[4]추가 적용은 고고학적 소견을 3D로^[5] 분석하고 비교하는 것으로 기가메쉬 소프트웨어 프레임워크의 삼각형 메시에 대해 구현되었다.^[6]

얇은 판 스플라인에는 여러 가지 특성이 있어 인기를 끌었다.

1. 그것은 매끄러운 표면을 생산하는데, 그것은 무한히 다른 것이다.
2. 수동 조정이 필요한 자유 매개변수는 없다.
3. 그것은 뒤틀림과 매개변수 추정을 위한 폐쇄형 해결책을 가지고 있다.
4. 그것의 에너지 기능에 대한 물리적 설명이 있다.

그러나 이미 한 차원에 있는 스플라인 때문에 심각한 "오버슈트"가 발생할 수 있다는 점에 유의하십시오.TPS는 객관적이지 않기 때문에 2D에서는 그러한 효과가 훨씬 더 중요할 수 있다.^{[citation needed]}

참고 항목

• 역 거리 가중치
• 반지름 기준 함수
• 분할 표면(스플라인 기반 표면 대신 출현)
• 탄성 지도(다지관 학습을 위한 얇은 판 근사치의 이산형 버전)
• 스플라인
• 다화학적 스플라인(가느다란 판 스플라인)은 다화학적 스플라인(다화학적 스플라인)의 특수한 경우)
• 스무딩 스플라인

참조

외부 링크

• 단순화된 변동 문제에 대한 설명
• MathWorld TPS
• TPS(C++)
• 템플리트 C++의 TPS
• TPS 대화형 모핑 데모
• TPS(R)