동형성(그래프 이론)

그래프 이론에서 $G$ ${\displaystyle$ $G}$ 과 $G$ $\$ {\ $displaystyle$ G $'}$ 의 일부 구획에서 $G$ $'$ ${\$ G $'}$ 의 $G$ 일부 구획까지 그래프의 이형성이 있는 $G'$ 경우. 그래프의 가장자리가 (우리처럼) 하나의 꼭지점에서 다른 정점으로 그려진 선으로 생각되는 경우 $G'$ 그림에서 묘사된 동맹)에서 두 개의 그래프는 위상학적 의미에서 동형체인 경우 정확하게 그래프-구체적 의미에서 서로 동형체다.^[1]

분할 및 평활

일반적으로 그래프 G의 분할^[2](확장이라고도 함)은 G의 가장자리 분할에서 비롯되는 그래프다.끝점이 {u,v }인 일부 에지 e의 하위 분할은 하나의 새로운 정점 w를 포함하고, 에지 세트가 e를 두 개의 새로운 에지({u,w } 및 {w,v })로 대체하는 그래프를 산출한다.

예를 들어 끝점이 {u,v }인 에지 e:

다음 두 개의 가장자리(e와₁ e₂)로 세분하여 새로운 꼭지점에 연결할 수 있다.

역방향 연산은 w의 에지 쌍(e₁, e₂) 사건에 관하여 정점 w를 평활화하거나 평활화하며 w를 포함하는 양쪽 가장자리를 제거하고 (e₁, e₂) 쌍의 다른 끝점을 연결하는 새 가장자리로 대체한다.여기서는 도-2(즉, 2-값) 정점만 평활할 수 있음을 강조한다.

예를 들어, e₁ {u,w } 및 e₂ {w,v }의 두 에지가 있는 단순 연결 그래프:

정점(정점 w)을 가지며, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

그래프 G와 H의 경우, H가 G의 하위 그래프에 대해 동형인지 아닌지를 결정하는 것은 NP-완전한 문제다.^[3]

이심분할

이심분할은 그래프의 각 가장자리를 세분화한다.이것은 항상 초당적인 그래프로 귀결되기 때문에 특별한 분할이다.이^th 절차를 반복할 수 있으므로 n 이심분할은 그래프의 n-1^st 이심분할의 이심분할이다.그러한 두 번째 분할은 항상 단순한 그래프다.

지표면에 삽입

그래프를 세분화하면 평면성이 보존된다는 것은 명백하다.쿠라토프스키의 정리에는 다음과 같이 되어 있다.

유한 그래프는 K₅(정점 5개의 완전 그래프) 또는_3,3 K(정점 6개의 완전 쌍방향 그래프, 이 중 3개가 다른 3개의 그래프에 각각 연결되는)에 대한 하위 그래프를 포함하지 않는 경우에만 평면 그래프를 의미한다.

실제로 K나₅ K에_3,3 대한 그래프 동형체를 Kuratowski subgraph라고 부른다.

로버트슨-에 이어 일반화.Seymour theorem, asserts that for each integer g, there is a finite obstruction set of graphs $L(g)=\left\{G_{i}^{(g)}\right\}$ such that a graph H is embeddable on a surface of genus g if and only if H contains no homeomorphic copy of any of the ${\displaystyle G_{i}^{(g)\$ $G_{i}^{(g)\!}$ 예를 들어 $L(0)=\left\{K_{5},K_{3,3}\right\}$ $L(0)=\left\{K_{5},K_{3,3}\right\}$ ) $L(0)=\left\{K_{5},K_{3,3}\right\}$ = $L(0)=\left\{K_{5},K_{3,3}\right\}$ { $L(0)=\left\{K_{5},K_{3,3}\right\}$ $L(0)=\left\{K_{5},K_{3,3}\right\}$ , $L(0)=\left\{K_{5},K_{3,3}\right\}$ K $L(0)=\left\{K_{5},K_{3,3}\right\}$ , $L(0)=\left\{K_{5},K_{3,3}\right\}$ ${\$ 은(는) 쿠라토프스키 서브그래프로 구성되어 $L(0)=\left\{K_{5},K_{3,3}\right\}$ 있다.

예

다음 예에서 그래프 G와 그래프 H는 동형이다.

그래프 G

그래프 H

G′가 G의 바깥쪽 가장자리를 분할하여 만든 그래프이고 H′가 H의 안쪽 가장자리를 분할하여 만든 그래프라면 G′과 H′는 유사한 그래프 도면을 가진다.

그래프 G′, H′

따라서 G'와 H' 사이에는 이형성이 존재하는데, G와 H는 동형체라는 뜻이다.

참고 항목

참조

^ Archdeacon, Dan (1996), "Topological graph theory: a survey", Surveys in graph theory (San Francisco, CA, 1995), Congressus Numerantium, vol. 115, pp. 5–54, MR 1411236, The name arises because $G$ and $H$ are homeomorphic as graphs if and only if they are homeomorphic as topological spaces
^ Trudeau, Richard J. (1993). Introduction to Graph Theory (Corrected, enlarged republication. ed.). New York: Dover Pub. p. 76. ISBN 978-0-486-67870-2. Retrieved 8 August 2012. Definition 20. If some new vertices of degree 2 are added to some of the edges of a graph G, the resulting graph H is called an expansion of G.
^ 하위그래프 동형성 문제의 이름으로 문헌에서 더 일반적으로 연구되는 문제는 H의 하위구분이 G의 하위그래프에 이형성적인지 여부다.H가 n-vertex 사이클인 경우는 해밀턴 사이클 문제와 동일하므로 NP-완전이다.그러나 이 공식은 H에서 평활을 허용하지 않기 때문에 H가 도 2 정점이 없을 때 G의 서브그래프에 대해 H가 동형인지를 묻는 문제와 동등할 뿐이다.명시된 문제는 해밀턴 주기 감소의 작은 수정으로 NP-완전함을 보일 수 있다: 다른 모든 정점에 인접한 H와 G 각각에 하나의 정점을 추가한다.따라서 그래프 G의 1-Vertex 증분법에는 G가 해밀턴식인 경우에만 (n + 1)-Vertex 휠 그래프에 대한 하위 그래프 동형체가 포함되어 있다.하위 그래프 동형성 문제의 경도는 예를 참조하십시오.

추가 읽기

Yellen, Jay; Gross, Jonathan L. (2005), Graph Theory and Its Applications, Discrete Mathematics and Its Applications (2nd ed.), Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-505-4

[1] Archdeacon, Dan (1996), "Topological graph theory: a survey", Surveys in graph theory (San Francisco, CA, 1995), Congressus Numerantium, vol. 115, pp. 5–54, MR 1411236, The name arises because $G$ and $H$ are homeomorphic as graphs if and only if they are homeomorphic as topological spaces

[2] Trudeau, Richard J. (1993). Introduction to Graph Theory (Corrected, enlarged republication. ed.). New York: Dover Pub. p. 76. ISBN 978-0-486-67870-2. Retrieved 8 August 2012. Definition 20. If some new vertices of degree 2 are added to some of the edges of a graph G, the resulting graph H is called an expansion of G.

[3] 하위그래프 동형성 문제의 이름으로 문헌에서 더 일반적으로 연구되는 문제는 H의 하위구분이 G의 하위그래프에 이형성적인지 여부다.H가 n-vertex 사이클인 경우는 해밀턴 사이클 문제와 동일하므로 NP-완전이다.그러나 이 공식은 H에서 평활을 허용하지 않기 때문에 H가 도 2 정점이 없을 때 G의 서브그래프에 대해 H가 동형인지를 묻는 문제와 동등할 뿐이다.명시된 문제는 해밀턴 주기 감소의 작은 수정으로 NP-완전함을 보일 수 있다: 다른 모든 정점에 인접한 H와 G 각각에 하나의 정점을 추가한다.따라서 그래프 G의 1-Vertex 증분법에는 G가 해밀턴식인 경우에만 (n + 1)-Vertex 휠 그래프에 대한 하위 그래프 동형체가 포함되어 있다.하위 그래프 동형성 문제의 경도는 예를 참조하십시오.

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