스톡스 파라미터

Stokes 매개변수는 전자기 방사선의 양극화 상태를 설명하는 값들의 집합이다. 그것들은 1852년 조지 가브리엘 스톡스에 의해 총강도(^[1][2]I), (굴절) 양극화 정도(p), 양극화 타원의 형상 매개변수 측면에서 일관성이 없거나 부분적으로 편광된 방사선에 대한 보다 일반적인 설명에 대한 수학적으로 편리한 대안으로 정의되었다. 광학계가 빛의 양극화에 미치는 영향은 입력광에 대한 스톡스 벡터를 구성하고 뮬러 미적분을 적용하여 시스템을 떠나는 빛의 스톡스 벡터를 얻을 수 있다. 원래의 스톡스 종이는 1942년^[3] 프란시스 페린에 의해 독립적으로 발견되었고,^[4][5] 1947년 수브라하마니안 찬드라세카르에 의해 스톡스 매개변수로 명명되었다.

정의들

강도 및 편광 타원형 변수에 대한 Stokes 매개변수₀ S₁₂, S₃, S, S의 관계는 아래 방정식과 오른쪽 그림에 나타나 있다.

${\displaystyle {\reasoned}S_{0}&=I\\S_{1}&=Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\\S_{3}&=Ip\sin 2\ended}}}}}}$

Here ${\displaystyle Ip}$, ${\displaystyle 2\psi }$ and ${\displaystyle 2\chi }$ are the spherical coordinates of the three-dimensional vector of cartesian coordinates ${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3})}$. ${\displaystyle I}$ is the total intensity of the beam, and ${\displaystyle p}$${\$$displaystyle$ $p}$은(는) 양극화의 정도를 나타내며$$, 0 ${\displaystyle \le }$ p ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}${\$displaystyle 0\leq$ p$\leq 1}$에 의해 구속된다$.$ . ${\$$displaystyle$$\psi$$}$ $앞$의 2 $인자$는 180° 회전한 타원과 구별할 수 없다는 사실을 나타낸다$$$$. 타원은 90° 회전과 함께 반축 길이를 교환한 타원과 구별할 수 없다. 편광의 위상 정보는 Stokes 파라미터에 기록되지 않는다. 4개의 스톡스 파라미터는 각각 I, Q, U, V로 표시되기도 한다.

스톡스 파라미터에 따라 구면 좌표에 대해 다음과 같은 방정식을 사용하여 해결할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}I&=S_{0}\\p&={\frac {\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}{S_{0}}}\\2\psi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{2}}{S_{1}}}\\2\chi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{3}}{\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}}}}\\\end{aligned}}}$

스톡스 벡터

스톡스 파라미터는 종종 스톡스 벡터라고 알려진 벡터로 결합된다.

${\displaystyle {\vec{S}\ ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\\S_{3}\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}$

스톡스 벡터는 비극화, 부분극화, 완전 극광의 공간에 걸쳐 있다. 비교를 위해, 존스 벡터는 완전히 편광된 빛의 공간에 걸쳐 있을 뿐이지만, 일관성 있는 빛과 관련된 문제에 더 유용하다. 4개의 스톡스 매개변수는 공간의 선호 좌표계가 아니라 쉽게 측정하거나 계산할 수 있기 때문에 선택되었다.

사용된 물리적 규칙에 따라 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 구성$$ 요소에 대한 모호한 기호가 있다는 점에 유의하십시오. 실제로 광원을 향해 빔을 내려다볼 때 스톡스 매개변수를 정의하거나(광 전파 방향 반대) 빔을 선원에서 멀리 볼 때(광 전파 방향과 동일) 두 개의 별도 규약이 사용된다. $이{\displaystyle }$ 두 가지 협약은 V ${\displaystyle V}$에 대해 서로 다른 징후를 나타내며$,$ 규약을 선택하고 준수해야 한다.

예

아래에는 빛의 양극화의 일반적인 상태에 대한 일부 스톡스 벡터가 표시되어 있다.

${\displaystyle {\pmatrix}1\\1\\0\0\end{pmatrix}}$	선형 편극(수평)
${\displaystyle {\pmatrix}1\\-1\0\\0\end{pmatrix}}$	선형 편극(수직)
${\displaystyle {\pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}$	선형 편극(+45°)
${\displaystyle {\pmatrix}1\\0\\-\1\\0\end{pmatrix}}$	선형 편극(-45°)
${\displaystyle {\pmatrix}1\\0\\0\\\1\end{pmatrix}}$	우측 원형 편광
${\displaystyle {\pmatrix}1\\0\\0\\\\-1\end{pmatrix}}$	좌측 원형 극성
${\displaystyle {\pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$	무극화됨

대체 설명

A monochromatic plane wave is specified by its propagation vector, ${\displaystyle {\vec {k}}}$, and the complex amplitudes of the electric field, ${\displaystyle E_{1}}$ and ${\displaystyle E_{2}}$, in a basis ${\displaystyle ({\hat {\epsilon }}_{1},{\hat {\epsi$$론 }}_{2}}}$. 쌍$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{E\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle(E_{1},E_{2})$을 존스 벡터라고 한다$$. 또는 전파 벡터, $,$ phase {\$displaystyle \phi$ $\}$ 및 양극화 상태 $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ $\$$Psi$ $\}$을(를) 지정할 수 있으며, $여기$서$display$ {\displaystyle \$Psi }$은 고정 평면에서 시간의 함수로 전기장에 의해 추적된 곡선이다. 가장 친숙한 양극화 상태는 선형과 원형으로 가장 일반적인 상태의 퇴보적인 경우인 타원형이다.

양극화를 설명하는 한 가지 방법은 양극화 타원의 반주축과 반소축, 그 방향, 회전 방향을 제시하는 것이다(위 그림 참조). Stokes 매개변수 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I$ $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q$ $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$및 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은$$각 매개변수가 측정 가능한 강도의 합 또는 차이에 해당하므로 실험적으로 편리한 양극화 상태에 대한 대체 설명을 제공한다. 다음 그림은 퇴보한 상태에서 스톡스 파라미터의 예를 보여준다.

정의들

Stokes 매개변수는 다음에^{[citation needed]} 의해 정의된다.

${\displaystyle {\reasoned}I&, \equiv\langle E_{)}^{2}\rangle +\langle E_{y}^{2}\rangle \\&, =\langle E_{를}^{2}\rangle +\langle E_{b}^{2}\rangle \\&, =\langle E_{r}^{2}\rangle +\langle E_{나는}^{2}\rangle ,\\Q&, \equiv\langle E_{)}^{2}\rangle -\langle E_{y}^{2}\rangle ,\\U&, \equiv\langle E_{를}^{2}\rangle -\langle E_{b}^{2}\rangle ,\\V&, \equiv\langle E_{r}^{2}\.rangle -\langle E_{나는}^{2}}\rangele .\end{aigned}}$

where the subscripts refer to three different bases of the space of Jones vectors: the standard Cartesian basis (${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$), a Cartesian basis rotated by 45° (${\displaystyle {\hat {a}},{\hat {b}}}$), and a circular basis (${\displaystyl$$e {\hat{l},{\hat {r}}.$ The circular basis is defined so that ${\displaystyle {\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle {\hat {r}}=({\hat {x}}-i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$.

기호 ⟨⟩는 기대값을 나타낸다. 이 빛은 존스 벡터$({\displaystyle {E1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)의 공간² C에서 값을 취하는 임의변수로 볼 수 있다$($$E_{1},E_{2}).$ 주어진 측정은 특정 파동(특정 위상, 양극화 타원, 크기)을 산출하지만, 계속 다른 결과들 사이에서 깜박이고 흔들린다. 기대값은 이러한 결과의 다양한 평균이다. 강렬하지만 양극화되지 않은 빛은 I > 0이 되겠지만 Q = U = V = 0이 되므로 어떤 양극화 유형도 우세하지 않음을 반영한다. 일관성에 관한 기사에는 설득력 있는 파형이 묘사되어 있다.

그 반대는 완벽하게 편광된 광이며, 또한 고정된 비변속 진폭인 순수한 사인 곡선을 가지고 있다. $이것$은${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ $1$,$2$)와 같은 하나의 가능한 $값$만을 가진 임의 변수에 의해 표현된다$.$ 이 경우 대괄호를 절대값 막대로 $대체$하여 잘 정의된 2차 지도를^{[citation needed]} 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\display}I\equiv E_{x} ^{2}+ E_{y} ^{2}= E_{a} ^{2}+ E_{b} ^{2}= E_{r} ^{2}+ E_{l} ^{2}\\Q\equiv E_{x} ^{2}- E_{y} ^{2},\\U\equiv E_{a} ^{2}- E_{b} ^{2},\\V\equiv E_{r} ^{2}- E_{l} ^{2}.\end{{11}}}$

존스 벡터에서 해당 스톡스 벡터로, 보다 편리한 형태가 아래에 제시되어 있다. 지도는 I = Q + U + V로 정의한 원뿔 모양으로, 여기서 주의 순도는 p = 1을 만족한다(아래 참조).

다음 그림은 스톡스 파라미터의 기호가 나선도와 편광 타원의 반주축 방향에 의해 어떻게 결정되는지를 보여준다.

고정 베이스에서의 표현

고정(${\displaystyle \stackrel{}{}^,}$ ${\displaystyle y\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ 기준에서 증가 위상 규칙을 사용할 때 스톡스 파라미터는

${\displaystyle {\reasoned}I&= E_{x} ^{2}+ E_{y} ^{2},\\Q&= E_{x} ^{2}- E_{y} ^{2},\\U&=2\mathrm {Re} (E_{x}E_{y}^{*}),\\V&=-2\mathrm {Im} (E_{x}E_{y}^{*}),\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \stackrel{}{(^,}b\stackrel{}{}^}$ )$${\$displaystyle({\hat {a},{\hat {b$에 대해 다음과 같이 하십시오.

${\displaystyle {\reasoned}I&= E_{a} ^{2}+ E_{b} ^{2},\\Q&=-2\mathrm {Re} (E_{a}^{*}E_{b}),\\U&= E_{a} ^{2}- E_{b} ^{2},\\V&=2\mathrm {Im} (E_{a}^{*}E_{b}).\\end{aigned}}$

및${\displaystyle }$( ${\displaystyle l\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$, ${\displaystyle r\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$) ${\displaystyle({\hat {l},{\hat {r})}$에 대해$,$

${\displaystyle {\reasoned}I&= E_{l} ^{2}+ E_{r} ^{2},\\Q&=2\mathrm {Re} (E_{l}^{*}E_{r}),\\U&=-2\mathrm {Im} (E_{l}^{*}E_{r}),\\V&= E_{r} ^{2}- E_{l} ^{2}.\\end{aigned}}$

특성.

순수하게 단색 일관 방사선에 대해서는 위의 방정식에서 다음과 같이 한다.

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2},}$

전체(비일관) 빔 방사선의 경우 스톡스 매개변수는 평균 수량으로 정의되며, 이전 방정식은 불평등이 된다.^[6]

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}\leq I^{2}}$

단, 총극화 강도 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$를 정의하여 다음과 같이 할 수 있다$.$

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I_{p}^{2}}$

$여기$서 I ${\displaystyle p_{}}$/ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I_{p}/I}$은(는) 총 분극 분율이다.

선형 양극화의 복잡한 강도를 정의해 봅시다.

${\displaystyle {\reasoned}L&\equiv L e^{i2\theta }\\&\equiv Q+iU.\\end{정렬}}}$

양극화 타원의 $회전$ →${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ {$$\$displaystyle \theta \rightarrow \theta '}$에서는 I ${\displaystyle I}$과 V ${\displaystyle V}$이(가) 불변하지만

${\displaystyle {\reasoned}L&\오른쪽 화살표 e^{i2\theta '}L,\Q&\오른쪽 화살표 {\mbox{Re}}\왼쪽(e^{i2\theta '}L\right)\\\U&\오른쪽 화살표 {\\\\\{mbox}}\왼쪽(e^{i2\ta}L\오른쪽)\\end{aigned}}$

이러한 특성으로 스톡스 매개변수는 세 가지 일반화 강도를 구성하는 것으로 생각할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}I&\geq 0,\\\V&\in \mathb {R},\\L&\in \mathb {C},\\ended}}}$

여기서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은 총 강도, ${\displaystyle V}$ $displaystyle V}$은 원형 양극화의 강도, L $displaystyle L}$은 선형 ${\displaystyle 양극화}$의 강도다. 양극화의 총 강도는 I ${\displaystyle p_{}}$= ${\displaystyle \sqrt{{}^{\mathrm{}}}}$ 2${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{}^{\mathrm{}}}}$ ${\displaystyle \sqrt{2}}$ ${\${ L$^{2}+$V$^{2$ 방향과 회전감은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{argin}\theta &={1}{1}:{2}}\arg(L),\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\end{aigned}}$

$Q{\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{Re}}$( ${\displaystyle L}$) ${\displaystyle$ Q$={\mbox{Re}(L)},$ $U$ = $){\displaystyle U={\mbox}(L)},$ 우리는 다음과 같은 것을 가지고 있다$.$

${\displaystyle {\begin{aigned}L&={\sqrt{Q^{2}+U^{2}},\\\theta &={1}{1}:{1}\fran ^{-1}(U/Q)\\end{aigned}}$

양극화 타원과의 관계

편광 타원 모수에 있어 스톡스 모수는

${\displaystyle {\reasoned}I_{p}&=A^{2}+B^{2},\Q&=(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta ),\U&=(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta ),\V&=2ABh.\\\end{aigned}}$

이전 방정식을 뒤집으면

${\displaystyle {\reasoned}A&={\sqrt {{\frac {1}{1}{2}}(I_{p}+ L )}}}\\B&={\sqrt{1}{1}{1}:{2}}(I_{p}- L )\\\\theta =&{\frac{1}{1}:{2}}:\arg(L)\h&=\operatorname {sgn}(V).\\end{aigned}}$

은둔자 연산자 및 양자 혼합 상태와의 관계

기하학적, 대수학적 관점에서 스톡스 매개변수는 힐베르트 공간² C에서 음이 아닌 에르미트인 연산자의 폐쇄적이고 볼록하며 4차원 원뿔과 일대일 대응으로 서 있다. 파라미터 I는 연산자의 트레이스 역할을 하는 반면, 연산자의 매트릭스 항목은 4개의 파라미터 I, Q, U, V의 단순한 선형 함수로 스톡스 연산자의 선형 조합에서 계수 역할을 한다. 운영자의 고유값과 고유 벡터는 편광 타원 매개변수 I, p, ψ, χ에서 계산할 수 있다.

I 집합이 1(즉, 추적 1 연산자)인 스톡스 매개변수는 양자 공간 C의² 혼합 상태(또는 밀도 연산자)의 폐쇄된 단위 3차원 공과 일대일 일치하며, 그 경계는 블로흐 구체이다. 존스 벡터는 기초 공간 C², 즉 같은 시스템의 (비정규화된) 순수 상태에 해당한다. 존스 벡터에서 해당 스톡스 벡터로 통과할 때 상 정보가 손실되는 것처럼 순수 상태 φφ에서 해당 혼합 상태 φ⟩로 전달될 때 위상 정보가 손실된다는 점에 유의한다.

참고 항목

• 뮬러 미적분학
• 존스 미적분학
• 양극화(파동)
• 레일리 스카이 모델
• 스톡스 연산자
• 양극화 혼합

메모들

참조

• E. Collett, SpIE 필드 가이드 vol. FG05, SPIE(2005). ISBN 0-8194-5868-6
• E. 헤히트, 옵틱스, 제2편, 애디슨 웨슬리(1987) ISBN 0-201-11609-X.
• William H. McMaster (1954). "Polarization and the Stokes Parameters". Am. J. Phys. 22: 351. Bibcode:1954AmJPh..22..351M. doi:10.1119/1.1933744.
• William H. McMaster (1961). "Matrix representation of polarization". Rev. Mod. Phys. 33: 8. Bibcode:1961RvMP...33....8M. doi:10.1103/RevModPhys.33.8.